8.3.2圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 CONTENTS 目录 01 02 03 04 圆柱、圆锥、圆台的体积 归纳小结 圆柱、圆锥、圆台的表面积 球的表面积与体积 行业PPT模板http:///hangye/ Part One 情景导入 Part One 北京奥林匹克塔位于北京市朝阳区北辰东路15号，由五座独立的圆柱形塔组成，高度在186米至246.8米之间。它曾被称作“生命之树”，也被网友称为“大钉子”。这座塔是世界上唯一一个由五个独立塔组成的观光塔，具有独特的建筑风格。 思考1:如果对奥林匹克塔粉刷怎样计算需要多少涂料？ 思考2:如何计算圆柱、圆锥、圆台的表面积? Part Two 圆柱、圆锥、圆台的表面积 Part Two 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和。 问题1：圆柱、圆锥、圆台的表面积是什么？ 圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积之和。因此可以利用圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，可以得到它们的表面积公式。 “表面展开图” 表面积=底面积+侧面积 Part Two 1.圆柱的表面积 (是底面半径，是母线长) Part Two 2.圆锥的表面积 r (是底面半径，是母线长) O S l r • Part Two 3.圆台的表面积 r r' 2πr' 2πr . (分别是上、下底面半径，是母线长) Part Two 问题2：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ S圆柱＝ S圆锥＝ S圆台 r'=r r'=0 上底扩大与下底全等 上底缩小为0 Part Two 1.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方体，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A 4πS B 2πS C πS D 解：选A底面半径是，所以正方形的边长是2π 。故圆柱的 面积是 Part Two Part Two Part Three 圆柱、圆锥、圆台的体积 模板来自于： 第一PPT https:/// Part Three 问题3：我们以前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式，你还能根据它们的体积公式推导出圆台的体积公式吗？ l O O' r • • O S l r • Part Three S ’ A 圆锥的高 圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式。因此的体积推导公式如下： ∽ Part Three 问题4：圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ Part Three 练习1：若圆台上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积是( ). A. B. C. D. 练习2：若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是( ). A. B. C. D. Part Three 例2.如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱，求圆柱的体积与圆锥的体积之比. 解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为. 则， 如图所示，易知，所以，即，所以高， 所以圆柱的体积. 圆锥的体积. 所以圆柱与圆锥的体积比为. Part Four 球的表面积与体积公式 模板来自于： 第一PPT https:/// Part Four 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是 O 球的表面积公式 Part Four 例3. 如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(x取3.14) 解：一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6+4π×0.152=0.8478(m2), 所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料 0.8478×0.5×1000=423.9(kg). Part Four 第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”． 我们已经学会了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗? 思考：类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 Part Four 第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积： Part Four 例4.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，则 Part Five 球的表面积与体积公式 模板来自于： 第一PPT https:/// Part Five 感谢观看 解：(1)设圆台的母线长为l, 则由题意得π(2+6)l=π×22+π×62, ∴8πl=40π,∴l=5, ∴该圆台的母线长为5. (2)由(1)可得圆台的表面积S=π×(2+6)×5+π×22+π×62=40π+4π+36π=80π. 2.已知圆台的上、下底面半径分别是2、6,且侧面面积等于两底面面积之和. (1)求圆台的母线长; (2)求圆台的表面积. 例1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　) A.12eq \r(2)π B．12π C.8eq \r(2)π D．10π 解：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π. $$