8．3.2 第一课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 明确目标 发展素养 1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 2.知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 在计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的过程中，把实际问题转化为数学问题并计算，培养直观想象、数学建模和数学运算素养. 第一课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 πr2 2πrl 2πrl＋2πr2 πr2 πrl πrl＋πr2 πr′2 πr2 πl(r＋r′) π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 续表 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长． ( ) (2)若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形．( ) 2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于 (　　) A．15　　　　　　　　 B．15π C．24π D．30π 答案：B 3．若圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 (　　) A．2π B．3π C．π D．4π 答案：D √ × 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积公式 (一)教材梳理填空 πr2h (二)基本知能小试 1．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________． 答案：12π 2．已知圆台上、下底面半径分别为1,2，高为3，则圆台体积为________． 答案：7π 名称 侧面展开图 底面 表面积 圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积＋底面积 圆锥 扇形 一个圆 圆台 扇环 两个同心圆 [方法技巧] 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加．　　 答案：A 答案：D　 解析：由本例(3)知，圆台的母线长为5，所以圆台的表面积为S＝π×(2＋6)×5＋π×22＋π×62＝40π＋4π＋36π＝80π. 答案：80π 题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 【学透用活】 对于圆柱、圆锥、圆台的体积公式的几点认识： (1)等底、等高的两个圆柱的体积相同； (2)等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍； (3)求圆台的体积转化为求圆锥的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为圆锥，采用“大圆锥”减去“小圆锥”的方法求圆台的体积； (4)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系 [方法技巧] 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．　　 答案:D　 答案：A　 答案:D　 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 (一)教材梳理填空 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积： 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S底＝____ 侧面积：S侧＝_____ 表面积：S＝____________ (r是底面半径，l是母线长) 圆锥 底面积：S底＝____ 侧面积：S侧＝____ 表面积：S＝______________ (r是底面半径，l是母线长) 圆台 上底面面积：S上底＝______ 下底面面积：S下底＝______ 侧面积：S侧＝__________ 表面积： S＝____________________ (r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长) 名称 公式 圆柱 V＝_____ (r是底面半径，h是高) 圆锥 V＝___________ (r是底面半径，h是高) 圆台 V＝____________________ (r′，r分别是上、下底面半径，h是高) πr2h πh(r′2＋r′r＋r2) 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【学透用活】 准确认识圆柱、圆锥、圆台的展开图 [典例1]　(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 (　　) A．12π　　　　　　　 B．12π C．8π D．10π (2)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为______． (3)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为________． [解析]　(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.故选B. (2)设母线长为l，由题意得l·lsin 60°＝，所以母线长l＝2，又底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π. (3)设圆台的母线长为l，则由题意得π(2＋6)l＝π×22＋π×62， ∴8πl＝40π，∴l＝5，∴该圆台的母线长为5. [答案]　(1)B　(2)2π　(3)5 【对点练清】 1．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 (　　) A．4πS B．2πS C．πS D.πS 解析：底面半径是 ，所以正方形的边长是2π＝2，故圆柱的侧面积是(2)2＝4πS.故选A. 2．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面积是底面积的 (　　) A．4倍 B．3倍 C.倍 D．2倍 解析：由已知得l＝2r，＝＝＝2，故选D. 3．本例(3)的条件不变，则圆台的表面积是_________． (2)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________． [典例2]　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π [解析]　(1)设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为 .因为它们的侧面积相等，所以2πr·＝πr·，即2＝，故r2＝9，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B. (2)设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l. 作A1D⊥AB于点D， 则A1D＝3，∠A1AB＝60°. 又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝＝，∴R－r＝. BD＝A1D·tan 60°＝3， ∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3. ∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2) ＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]＝21π. ∴圆台的体积为21π. [答案]　(1)B　(2)21π 【对点练清】 1．若圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是 (　　) A.π B．2 C.π D.π 解析： S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2， S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝. ∴V＝π(1＋4＋2)×＝π.故选D. 2．若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　) A. B. C．64π D．128π 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l. ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴2r＝，即l＝r. 由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π， ∴r＝4.∴l＝4，高h＝＝4. ∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝.故选A. 3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的 A．5π B．6π C．20π D．10π 解析：用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图， 则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.故选D. 题型三　与组合体有关的表面积与体积问题 【学透用活】 [典例3]　如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱，求圆柱的表面积． [解]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 如图所示，易知△AEB∽△AOC， 所以＝，即＝，所以r＝1， S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π. 所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π. 所以圆柱的表面积为(2＋2)π. [方法技巧] 关于组合体的表面积与体积问题的解题策略 (1)分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2)设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积． (3)计算求值：根据设计的计算方法求值． [提醒]　组合体分割成规则的几何体求其表面积、体积之和(或差)，保证不重不漏． 【对点练清】 1．[变设问]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知，圆柱的底面半径为r＝1，高h＝， 所以圆柱的体积V1＝πr2h＝π×12×＝π. 圆锥的体积V2＝π×22×2＝π. 所以圆柱与圆锥的体积比为3∶8. 2．[变条件]本例中的“高为”改为“高为h”，试求圆柱侧面积的最大值． 解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r， 则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2. 易知△AEB∽△AOC，所以＝，即＝， 所以h＝2－r，S圆柱侧＝2πrh＝2πr(2－r) ＝－2πr2＋4πr，所以当r＝1，h＝时，圆柱的侧面积最大，其最大值为2π. 3.如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2.求该组合体的表面积． 解：挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积等于4π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1.如图所示，底面半径为1，高为1的圆 柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1­ABCD.设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1­ABCD的体积为V，AB＝x. (1)将S表示为x的函数； (2)求V的最大值． 解：(1)连接AC（图略）.∵矩形ABCD内接于⊙O， ∴AC为⊙O的直径． ∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝， ∴S＝AB·BC＝x(0<x<2)． (2)∵长方体的高AA1＝1，∴V＝S·AA1＝x＝＝.∵0<x<2，∴0<x2<4， 故当x2＝2即x＝时，V取得最大值，此时Vmax＝2. 二、应用性——强调学以致用 2．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸，深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？ (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) [析题建模]　本题是涉及数学文化的题目，关键是读懂题意，由题意可知：天池盆是圆台形状的，且上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，积水深为9寸，利用圆台的体积公式求解即可． 解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． 因为积水深9寸，所以水面半径为 ×(14＋6)＝10(寸)．则盆中水的体积为π×9×(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)． 所以平地降雨量等于＝3(寸)．故平地降雨量为3寸． $