精品解析：山东省滨州市无棣县名校联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学第一次阶段检测试题 一、选择题 1. 下列四个数中，绝对值最大的实数是（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，根据实数的大小比较方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴绝对值最大的实数是． 故选：B． 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. 极氪 B. 小鹏 C. 理想 D. 蔚来 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 3. 预计2025年，中国用户将超过460000000，用科学记数法表示数据460000000其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：460000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一分析出每个几何体的三视图，进行判断即可． 【详解】解：A、立方体的主视图、左视图、俯视图均为正方形，且三个正方形相同，不符合题意； B、球体的主视图、左视图、俯视图均为圆，三个圆均相同不符合题意； C、三棱柱的主视图是一个矩形，左视图也是一个矩形，但与主视图的矩形不相同，俯视图是一个三角形，不符合题意； D、圆柱体的主视图和俯视图均为矩形，且两个矩形相同，左视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查三视图．熟练掌握常见几何体的三视图，是解题的关键． 5. 小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：D． 6. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 7. 如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，三角形内角和定理； 先求得正多边形的外角，进而根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵五边形为正五边形， ， ， 故选：A． 8. 每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率．画树状图（用、、分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为：（用分别表示“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程） ∵共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一课程的结果数为3， ∴两人恰好选择同一课程的概率． 故选：A． 9. 如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及平行四边形的性质可知是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵在中， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴，， ∵，， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 10. 如图，已知，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，分别连接线段．已知，点为的中点，点为线段上任意一点，有下列四个结论：①垂直平分；②四边形是菱形；③；④的最小值是．其中正确的是（ ） A ①③ B. ①④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】运用是等边三角形和三线合一性质可以判断①，与不一定相等可以判断②，根据对角线的互相垂直的四边形的面积公式的推导过程可以判断③，连接，，推导，再利用含30度角的直角三角形的性质可以判断④，从而得解． 【详解】解：∵， ， ∴是等边三角形，， 由作图可知：平分， ∴是中边上的中线和高， ∴垂直平分，即①正确， 根据题意可知：与不一定相等， ∴四边形不一定是菱形，②错误； ∵垂直平分 ∴，即③正确， 连接，， ∵垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点A、E、F三点共线时取等号， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴的最小值是，即④正确， 故正确的是：①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，最短路径问题，角平分线的画法等知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 二、填空题： 11. 当x＝_____时，分式的值为零． 【答案】3 【解析】 【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，据此即可求出x的值． 【详解】∵分式的值为零， ∴x2-9=0，且x+3≠0， 解得：x=3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 12. 不等式的最小整数解为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解．先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可． 【详解】解：， 由，得：； 由，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的最小整数解为2； 故答案为：2． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，解之即可得出的值． 【详解】关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 的值为． 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，已知，，则___________度． 【答案】100 【解析】 【分析】连接，易得，根据三角形内角和定理得，由点是弧的中点得，所以，然后利用进行计算． 【详解】解：连接，如图， ， ， ， 点是弧的中点， ， ∵ ∴是等边三角形， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，等边三角形的判定与性质．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 15. 中，，，．根据作图痕迹，点D是射线和直线的交点．连接，若的周长为18，则的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了作图一复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．过点D作于点H，根据作法可得垂直平分，平分，从而得到，，再由的周长为18，可求出的长，再由勾股定理可得的长，然后根据三角形的面积公式计算，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H，过点D作于点E， 根据作法得：垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为． 故答案为：15． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则．其中正确结论有_______． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点．依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴． 又∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴． 又∵对称轴是直线， ∴． ∴，故①正确． 由题意，当时，y取最大值为， ∴对于任意实数m，都有． ∴，故②错误． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故③错误． ∵抛物线与x轴交于点， ∴． 又∵， ∴． ∴，故④正确． 由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且与x轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一交点为． ∴抛物线为． ∴方程的根可以看作直线与抛物线的交点的横坐标． ∵在x轴上方， ∴若为方程的两个根，则，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 故答案为：①④⑤． 三、解答题： 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】（1）；（2），2 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）根据绝对值，零次幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值进行运算，再算加减即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； ∵， ∴， ∴原式． 18. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知上述性质是解题的关键． 19. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； （3）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （）根据题意得， 然后解方程并检验即可； （）由题意得， 根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，（舍）， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 20. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为　 　度，并将条形统计图补充完整． （2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】（1）72；补图见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心距度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （2）画出树状图，由概率公式即可得出答案． 【详解】（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°； 故答案为72； 全年级总人数为45÷15%=300（人），“良好”的人数为300×40%=120（人），将条形统计图补充完整，如图所示： （2）画树状图，如图所示： 共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）=． 考点：列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理求得，再利用等角的余角相等求得，据此即可证明是的切线； （2）利用三角函数的定义求得，在中，利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 而是的直径， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 在中，， ， ， 又， ， ， 设， ，， ， ，则， 解得： 经检验是所列方程的解， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与相似三角形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理．正确证明是解决本题的关键． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 【答案】任务1：米；任务2：这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用． 任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得， 任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2． 【详解】解：任务1：如图，过作于， ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）； 任务2：如图，过作于，过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米）， ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米）． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】如图1，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边、连接．则的长为________； 【问题提出】如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明与相等； 【问题解决】如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 【答案】问题发现：；问题提出：见解析；问题解决： 【解析】 【分析】问题发现：证明，即可得到结论； 问题提出：证明，则，由得到，则，即可证明结论； 问题解决：连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】问题发现：证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 问题提出：在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． 问题解决：如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点M在直线的下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值． （3）若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）当时，有面积最大值，此时点M的坐标为． （3）存在，点M的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接，再求得直线得解析式为，设，则，进而用表示出的面积，最后运用二次函数的性质即可解答； （3）由题意可得：，设，然后分、、为对角线，分别根据平行四边形对角线相互平分解答即可． 【小问1详解】 解：将点A，B，C代入二次函数解析式， 可得，解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点M作y轴得平行线交直线于点P，连接， 设直线得解析式为，将B，C坐标代入， 可得，解得， 所以直线得解析式为， 设，则， ∵ ， ∵， ∴当时，有面积最大值，此时点M的坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 由题意可得：， 设以对角线分类， 当为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， 由中点坐标公式可得：，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：（舍弃）或， 所以点M的坐标为； 当为对角线时，同理可得： ，即， 解得：或， 所以点M的坐标为或． 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的综合、二次函数的性质、平行四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期九年级数学第一次阶段检测试题 一、选择题 1. 下列四个数中，绝对值最大的实数是（ ） A. 3 B. C. D. 0 2. 我国新能源汽车表现亮眼，连续9年摘得全球产销量第一桂冠，产销量全球占比均超过60%．以下新能源汽车图标既是中心对称，还是轴对称的是（ ） A. 极氪 B. 小鹏 C. 理想 D. 蔚来 3. 预计2025年，中国用户将超过460000000，用科学记数法表示数据460000000其结果是（ ） A B. C. D. 4. 如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是（　　） A. B. C. D. 5. 小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正五边形中，延长，交于点F，则的度数是（ ） A B. C. D. 8. 每周四下午的活动课是学校的特色课程，同学们可以选择自己喜欢的课程．小明和小丽从“二胡课”“轮滑课”“围棋课”三种课程中随机选择一种参加，则两人恰好选择同一种课程的概率是（ ） A B. C. D. 9. 如图，中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，分别连接线段．已知，点为的中点，点为线段上任意一点，有下列四个结论：①垂直平分；②四边形是菱形；③；④的最小值是．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题： 11. 当x＝_____时，分式的值为零． 12. 不等式的最小整数解为_______． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______． 14. 如图，是的内接三角形，点D是弧的中点，已知，，则___________度． 15. 中，，，．根据作图痕迹，点D是射线和直线交点．连接，若的周长为18，则的面积为________． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论： ①； ②对于任意实数m，都有； ③当时，y随x的增大而增大； ④； ⑤若为方程的两个根，则．其中正确结论有_______． 三、解答题： 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中满足． 18. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 19. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 20. 中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为　 　度，并将条形统计图补充完整． （2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 21. 如图，点在以为直径的上，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）点是半径上的点，过点作的垂线与交于点，与的延长线交于点，若，，求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架稳定篷面．支架的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点共线），即米，支架与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 23. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】如图1，在等边中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边、连接．则的长为________； 【问题提出】如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．试说明与相等； 【问题解决】如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为6，，求正方形的边长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于，两点，与y轴交于点，是抛物线上的一个动点． （1）求该二次函数的解析式． （2）若点M在直线下方，则当点M运动到什么位置时，的面积最大？并求出的面积的最大值． （3）若N是x轴上的一动点，是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$