精品解析：广东省汕头市龙湖区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年广东省汕头市龙湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可． 【详解】解：把代入，得 ． 故选C． 2. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形． 3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 5. 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得，故可得答案 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， 故选：C 6. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵点的坐标为， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B． 7. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用，正确寻找题目的等量关系是解题的关键．设矩形场地垂直于墙一边长为，可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程即可． 【详解】解：设矩形场地垂直于墙一边长为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长为； 当时，平行于墙的一边的长为，不符合题意； ∴该矩形场地长为米， 故选C． 8. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接，先判断出圆心一点在直线上，再根据垂径定理可得，然后设圆形工件的半径为，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，设这个残缺圆形工件的圆心为点，连接， ∵是弦的垂直平分线， ∴圆心一点在直线上， 又∵是弦的垂直平分线，， ∴，， 设圆形工件的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， ∴圆形工件的半径为， 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象、反比例函数的图象、一次函数的图象．首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，∵对称轴在y轴右边 ∴， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限， 故选：B． 10. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】解：由题意得，， 即， 当时，函数的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为， 满足一元二次方程， ， 解得，． 故答案为：． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 14. 如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为，矩形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为； 【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则， ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 解方程：x2+4x+1=0． 【答案】，． 【解析】 【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可． 【详解】解：∵a=1，b=4，c=1， ∴△=42﹣4×1×1=16﹣4=12＞0， ∴， ∴，． 点睛】考点：解一元二次方程-公式法． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，则点旋转到点的过程中扫过的图形面积为 ．（结果保留） 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，旋转变换，勾股定理，扇形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点； （2）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点即可； （3）利用勾股定理求出，再利用扇形面积公式求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标； 【小问2详解】 如图，即为所求，点的坐标； 【小问3详解】 ， 扫过图形面积为． 故答案为：． 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， （1）求的值； （2）若是该方程的两个实数根，则 ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据根的判别式可得，再根据是非负整数，即可求解； （2）根据根与系数的关系得，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ， 解得：， 是非负整数， ． 【小问2详解】 解：当时，方程化， ∴， ∴， ， 故答案为：． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数为． （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）利用可得反比例函数为，再求解，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案； （3）求解的解析式为：，结合过点B作平行于x轴，交于点D，，可得，，由为，可得，，再利用梯形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过， ∴， ∴反比例函数为：， 把代入可得：， ∴， ∴，解得：， ∴一次函数为． 【小问2详解】 由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得 不等式的解集为：． 【小问3详解】 ∵，同理可得的解析式为：， ∵过点B作平行于x轴，交于点D，， ∴， ∴，即， ∴， ∵为， 当，则，即， ∴， ∴梯形的面积为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】（1） （2）该款吉祥物售价50或63元时，月销售利润达8400元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 21. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可推出，即可证明直线是的切线； （2）证明，，得到，据此计算即可证明结论成立； （3）利用含30度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，     ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 【小问3详解】 解：∵是等边三角形， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵，，即， ∴． 【点睛】此题考查了圆和三角形的综合题，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 数学活动课上，某小组将一个含的三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 【答案】（1）；；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）如图，由四边形是正方形，是等腰直角三角形，，证明，再进一步可得结论； （2）如图，由，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质可得结论； （3）如图， 证明在以为圆心，为半径的上，过作于，当时，证明，可得，，证明四边形是正方形，可得当旋转角从变化到时，在上运动，再进一步解答即可； 【详解】解：；；理由如下： 如图，∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； （3）如图，∵，， ∴在以为圆心，为半径的上， 过作于， 当时， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， ∴四边形是正方形， ∴当旋转角从变化到时，在上运动， ∵，，， ∴， ∴点经过路线的长度为. 【点睛】本题考查的是正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，圆周角的应用，勾股定理的逆定理的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键. 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数对称轴公式求出，再把代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）先求出，，则，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为； （3）分如图3-1，图3-2，图3-3，图3-4，图3-5，图3-6所示，为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数经过点， ∴，即， ∴， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数经过点，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数与y轴交于点C， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴； ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，最大，最大值为， ∴此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：设，则，， ∵轴， ∴轴，即， ∴是以、为顶点的菱形的边； 如图3-1所示，当为对角线时， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，即轴， ∴点C与点N关于抛物线对称轴对称， ∴点N的坐标为， ∴， ∴； 如图3-2所示，当为边时，则， ∵，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-3所示，当为边时，则， 同理可得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 如图3-4所示，当为边时，则， 同理可得， 解得（舍去）或（舍去）； 如图3-5所示，当为对角线时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴轴，这与题意相矛盾， ∴此种情形不存在 如图3-6所示，当为对角线时，设交于S， ∵轴， ∴， ∵， ∴，这与三角形内角和为180度矛盾， ∴此种情况不存在； 综上所述，或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省汕头市龙湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 2. 下面四幅图是我国一些博物馆标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 3. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 5. 为半圆的直径，点为半圆上一点，且．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点；③作射线，则（ ） A. B. C. D. 6. 平面坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交弧于点，测出，，则圆形工件的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是___________． 12. 已知一元二次方程的一个根为1，则______． 13. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 14. 如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 15. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ________． 三、解答题（一）（本大题3小题，每题7分，共21分） 16. 解方程：x2+4x+1=0． 17. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； （3）在（2）的条件下，则点旋转到点的过程中扫过的图形面积为 ．（结果保留） 18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且是非负整数， （1）求的值； （2）若是该方程两个实数根，则 ． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与x轴相交于点C，连接． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）当时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过点B作平行于x轴，交于点D，求梯形面积． 20. 2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． （1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 21. 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交的延长线于点M． （1）求证：直线是的切线； （2）当时，判断形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，，连接交于点P，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．） 22. 数学活动课上，某小组将一个含三角尺利一个正方形纸板如图1摆放，若，．将三角尺绕点逆时针方向旋转角，观察图形的变化，完成探究活动． 【初步探究】 如图2，连接，并延长，延长线相交于点交于点． 问题1　　和的数量关系是________，位置关系是_________． 【深入探究】 应用问题1的结论解决下面的问题． 问题2　　如图3，连接，点是的中点，连接，．求证． 【尝试应用】 问题3　　如图4，请直接写出当旋转角从变化到时，点经过路线的长度． 23. 如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $