精品解析：山东省烟台市莱阳第一中学2024-2025学年高二下学期3月阶段测试数学试题

高二数学阶段性检测 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. （ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 2. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ） A. 200 B. 225 C. 250 D. 450 3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知随机变量，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二､多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 随机变量，且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ） A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差 B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率 C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望 D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为 11. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 三､填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若，则________． 13. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______． 14. 5位女生和2位男生站成一排，若2位男生相邻，则不同的排法共有__________．种；若每位女生至少与一位女生相邻，则不同的排法共有__________种．（第一空2分，第二空3分，用数字作答） 四､解答题（第15题13分，第16题15分，第17题17分，第18题17分，第19题15分，共5小题77分） 15. 设实数满足. （1）求； （2）求； （3）求展开式中含项的系数. 16. 现有4名男生和3名女生， （1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ （2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 17. 甲､乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（有一方先胜四局即获胜，比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率都是，且各局比赛的结果相互独立. （1）求比赛结束时恰好打了4局的概率； （2）若已知前4局中甲已胜了3局，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及数学期望. 18. 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． （1）求该学生为肥胖学生的概率； （2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的数学期望和方差． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学阶段性检测 时间：120分钟 满分：150分 一､选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. （ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据阶乘、排列数以及组合数运算求解. 【详解】由题意可知：. 故选：A. 2. 学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙2名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为（ ） A. 200 B. 225 C. 250 D. 450 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理，结合组合数公式，即可求解. 【详解】甲和乙的选择方法分别有种方法， 所以甲和乙不同的选择方法有种. 故选：B 3. 展开式中第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据第6项的二项式系数即可求解. 【详解】展开式中第6项的二项式系数是， 故选：C. 4. 已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解. 【详解】由题得， 由题知在中，最大值只有， 即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知. 故选：. 5. 设，为两个事件，若事件和同时发生的概率为，在事件发生的条件下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可得答案. 【详解】解：由题意得，， 根据条件概率的公式得：，解得. 所以事件发生的概率为. 故选：A. 【点睛】本题考查条件概率公式，是基础题. 6. 某人射击一次击中的概率是，经过次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复试验的概率公式即可求解. 【详解】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为： ， 故选：A. 7. 已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 8. 已知随机变量，若，则等于（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布方差公式得，再结合求解即可. 【详解】解：因为随机变量，所以， 因为，所以，即. 故选：B 二､多选题（每小题6分，共3小题18分） 9. 随机变量，且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解A，根据二项分布的期望公式即可求解C，进而利用二项分布的概率公式求解B，根据方差的计算性质求解D. 【详解】对于A，， 且，故A正确； 对于C，， ，故C正确； 对于B，，，故B正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC. 10. 一只口袋中装有形状、大小都相同的8个小球，其中有黑球2个，白球2个，红球4个，分别用有放回和无放回两种不同方式依次摸出3个球.则（ ） A. 若有放回摸球，设摸出红色球的个数为，则方差 B. 若有放回摸球，则摸出是同一种颜色球的概率 C. 若无放回摸球，设摸出红色球的个数为，则期望 D. 若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意有放回摸球时服从二项分布，无放回摸球时服从超几何分布，根据两种不同方式和条件概率判断各个选项； 【详解】对于A，若有放回摸球时，摸到红球的概率为， 依次摸出3个球，则，所以，A正确； 对于B，若有放回摸球时，摸到黑球的概率为， 摸到白球的概率为，摸到红球的概率为，依次摸出3个球， 所以摸出是同一种颜色球的概率，B错误； 对于C，无放回摸球时，依次摸出3个球，设摸出红色球的个数为，服从超几何分布， 的可能取值为0，1，2，3， 则 则期望，C正确； 对于D，若无放回摸球，在摸出的球只有两种不同颜色时，即黑白、黑红、红白， 则摸出的球只有两种不同颜色的概率为， 摸出球是2红1白的概率为， 在摸出的球只有两种不同颜色的条件下，摸出球是2红1白的概率为，D正确； 故选：ACD. 11. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ） A. B. C. 事件与是互斥事件 D. 事件与是相互独立事件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式、互斥及对立事件的定义判断选项即可求解. 【详解】由题意，，故A正确； ，故B错误； 事件A，B可能同时发生，所以事件与不是互斥事件，故C错误； 事件是否发生，不影响事件B发生的概率，所以事件与是相互独立事件，故D正确. 故选：. 三､填空题（每小题5分，共3小题15分） 12. 若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据组合数的性质来求解的值. 【详解】已知， 根据组合数性质可得或.  当时，可得.但因为，舍去； 当时，解得，则成立，也满足的条件.   故答案为：5 13. 排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即可． 【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜． 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为． 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为． 故答案为：． 14. 5位女生和2位男生站成一排，若2位男生相邻，则不同的排法共有__________．种；若每位女生至少与一位女生相邻，则不同的排法共有__________种．（第一空2分，第二空3分，用数字作答） 【答案】 ①. 1440 ②. 2160 【解析】 【分析】按照捆绑法，以及分类和分步计数原理，即可求解. 【详解】若2位男生相邻，则不同的排法共有种；若每位女生至少与一位女生相邻，若5位女生相邻，则排法有种，若2位女生相邻，另外3位女生相邻，则排法有种，综上所述，共有种排法. 故答案为：1440；2160 四､解答题（第15题13分，第16题15分，第17题17分，第18题17分，第19题15分，共5小题77分） 15. 设实数满足. （1）求； （2）求； （3）求展开式中含项的系数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式，运用赋值法进行求解即可； （2）根据已知等式，结合（1）的结论，运用赋值法进行求解即可； （3）根据二项式的通项公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中， 令，得 【小问2详解】 在中， 令，得 【小问3详解】 二项式的通项公式为， 因此展开式中含项的系数为：. 16. 现有4名男生和3名女生， （1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？ （2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数. 【答案】（1）1440 （2）1440 （3）25 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，结合排列组合知识求解； （2）利用插空法，结合排列组合知识求解； （3）利用间接法求解． 【小问1详解】 由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种. 【小问2详解】 由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种. 【小问3详解】 由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种. 17. 甲､乙两名同学进行乒乓球比赛，比赛采用七局四胜制（有一方先胜四局即获胜，比赛结束）.假设每局比赛甲获胜的概率都是，且各局比赛的结果相互独立. （1）求比赛结束时恰好打了4局的概率； （2）若已知前4局中甲已胜了3局，记表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）分甲获胜、乙获胜两种情况，由互斥事件的概率加法公式可得答案； （2）求出的所有可能取值及相应概率，根据期望公式计算的答案. 【小问1详解】 第一种情况：比赛结束时恰好打了4局且甲获胜， 则概率为； 第二种情况：比赛结束时恰好打了4局且乙获胜， 则概率为. 所以比赛结束时恰好打了4局的概率为； 【小问2详解】 依题意得的所有可能取值为， ， 的分布列为 1 2 3 . 18. 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生． （1）求该学生为肥胖学生的概率； （2）在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过全概率公式求解即可得； （2）通过条件概率公式求解即可得． 【小问1详解】 记“任取1名中小学生是肥胖学生”，“学生为小学生”， “学生为初中生”，“学生为高中生”． 则，且，，两两互斥， 由题意得，，， ，，， 则 ， 即随机抽取1名学生，该学生为肥胖学生的概率为0.025． 【小问2详解】 “抽取的学生是肥胖学生且为高中生”， 则， 所以， 即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为0.24. 19. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的20件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，．由此得到样本的频率分布直方图（如下图）． （1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的20件产品中任取3件，设为质量超过505克的产品数量，求的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，设为质量超过505克的产品数量，求的数学期望和方差． 【答案】（1）6 （2）分布列见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图计算即可得； （2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列即可得； （3）先分析Y服从二项分布，再利用二项分布期望与方程得公式求解即可得． 【小问1详解】 质量超过505克的产品的频率为， 所以质量超过505克的产品数量为 (件)； 【小问2详解】 重量超过505的产品数量为6件，则重量未超过505克的产品数量为14件， X的取值可能为0，1，2，3，X服从超几何分布， ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P 【小问3详解】 由质量超过505克的产品的频率为， 故可估计从该流水线上任取1件产品质量超过505克的产品的概率为， 从流水线上任取5件产品互不影响，该问题可看成5次独立重复试验， 即，则，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $