第14课 多项式的乘法-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第14课 多项式的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1. 掌握多项式与多项式相乘的法则. 2.会运用多项式、单项式的加、减、乘运算化简整式. 3.了解多项式的升幂排列和降幂排列 ( 知识精讲 ) 知识点01 多项式乘多项式 多项式与多项式乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ( 能力拓展 )考点01 多项式乘多项式 【典例1】计算： （1）（x﹣2）（x+3）； （2）（x+3）（3x﹣2）； （3）2（x﹣8）（x﹣5）﹣（2x﹣1）（x+2）； （4）（x+2）（y+3）﹣（x+1）（y﹣2）； （5）（3+a）（3﹣2a）+a2． 【即学即练1】计算： （1）（x﹣5）（x﹣2）； （2）（2x﹣3）（3x+4）； （3）（x+3）（﹣x﹣1）； （4）（m+2）（m2﹣2m+4）； （5）； （6）（x2﹣1）（x+1）﹣（x2﹣2）（x﹣4）． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算（x﹣1）（x+5）的结果为（　　） A．﹣x2+4x﹣5 B．﹣x2+4x+5 C．x2﹣4x+5 D．x2+4x﹣5 2．计算（x﹣l）（x﹣2）的结果为（　　） A．x2+2 B．x2﹣3x+2 C．x2﹣3x﹣3 D．x2﹣2x+2 3．计算（2a+b）（a﹣2b）等于（　　） A．2a2﹣2ab﹣2b2 B．2a2﹣2ab+2b2 C．2a2﹣3ab﹣2b2 D．2a2﹣3ab+2b2 4．下列各式中，计算结果是x2﹣3x﹣28的是（　　） A．（x+7）（x+4） B．（x﹣2）（x+14） C．（x+4）（x﹣7） D．（x+7）（x﹣4） 5．已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．5 6．若（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3，则n的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 8．计算：（x+1）（x﹣3）＝　 　． 9．计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　． 10．计算：（x﹣2）（3x+1）＝　 　． 11．计算：（x+2y）（﹣2x+3y）＝ 　 　． 12．若xy＝﹣1，x+4y＝﹣3，则代数式（x﹣2）（2y﹣1）的值为　　． 13．若（x+2）（x﹣4）＝x2+mx﹣8，则m的值为　 　． 14．计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　 　． 15．计算： （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）． 16．计算： （1）（2x+3）（﹣x﹣1）； （2）（2m﹣1）（3m﹣2）； （3）x（y﹣x）﹣y（x﹣y）． 17．计算： （1）（2x2﹣3）（1﹣2x）； （2）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （3）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）； （4）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9）． 18．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）m，宽为（2a﹣b）m的长方形空地，学校计划在中间留一块长为（3a﹣b）m、宽为2bm的小长方形地面用来修建一座雕像，然后给剩余部分种上花（阴影部分）． （1）求种花的面积； （2）当a＝5，b＝2时，求种花部分的面积． 题组B 能力提升练 19．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 20．若n为整数，则代数式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（　　） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 21．计算： （1）（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）； （2）（x﹣2y）（x2+2xy﹣3y2）； （3）（3x4﹣3x2+1）（x4+x2﹣2）． 22．某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b），各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． （1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为 　 　； （2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以解释． 23．欢欢和乐乐两人分别计算（2x+a）•（3x+b），欢欢抄错了a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，乐乐漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）求a，b的值． （2）请你计算这道题的正确结果． 题组C 培优拔尖练 24．若关于x的多项式（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 25．若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） 26．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 27．阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　 　． 28．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x﹣1）（x+2），则此多项式的零点为　 ； （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小亮继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14课 多项式的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1. 掌握多项式与多项式相乘的法则. 2.会运用多项式、单项式的加、减、乘运算化简整式. 3.了解多项式的升幂排列和降幂排列 ( 知识精讲 ) 知识点01 多项式乘多项式 多项式与多项式乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ( 能力拓展 )考点01 多项式乘多项式 【典例1】计算： （1）（x﹣2）（x+3）； （2）（x+3）（3x﹣2）； （3）2（x﹣8）（x﹣5）﹣（2x﹣1）（x+2）； （4）（x+2）（y+3）﹣（x+1）（y﹣2）； （5）（3+a）（3﹣2a）+a2． 【思路点拨】（1）根据多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可； （4）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可； （5）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可． 【解析】解：（1）（x﹣2）（x+3） ＝x2+x﹣6； （2）（x+3）（3x﹣2） ＝3x2+7x﹣6； （3）2（x﹣8）（x﹣5）﹣（2x﹣1）（x+2） ＝2x2﹣26x+80﹣2x2﹣3x+2 ＝﹣29x+82； （4）（x+2）（y+3）﹣（x+1）（y﹣2） ＝xy+3x+2y+6﹣xy+2x﹣y+2 ＝5x+y+8； （5）（3+a）（3﹣2a）+a2 ＝9﹣3a﹣2a2+a2 ＝9﹣3a﹣a2． 【点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式的乘法法则计算． 【即学即练1】计算： （1）（x﹣5）（x﹣2）； （2）（2x﹣3）（3x+4）； （3）（x+3）（﹣x﹣1）； （4）（m+2）（m2﹣2m+4）； （5）； （6）（x2﹣1）（x+1）﹣（x2﹣2）（x﹣4）． 【思路点拨】根据多项式乘多项式的计算方法进行计算即可． 【解析】解：（1）（x﹣5）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣5x+10＝x2﹣7x+10； （2）（2x﹣3）（3x+4）＝6x2+8x﹣9x﹣12＝6x2﹣x﹣12； （3）（x+3）（﹣x﹣1）＝﹣x2﹣x﹣3x﹣3＝﹣x2﹣4x﹣3； （4）（m+2）（m2﹣2m+4）＝m3﹣2m2+4m+2m2﹣4m+8＝m3+8； （5）＝a2﹣2ab+4b2； （6）（x2﹣1）（x+1）﹣（x2﹣2）（x﹣4） ＝（x3+x2﹣x﹣1）﹣（x3﹣4x2﹣2x+8） ＝x3+x2﹣x﹣1﹣x3+4x2+2x﹣8 ＝5x2+x﹣9． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确计算的前提． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算（x﹣1）（x+5）的结果为（　　） A．﹣x2+4x﹣5 B．﹣x2+4x+5 C．x2﹣4x+5 D．x2+4x﹣5 【思路点拨】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可． 【解析】解：（x﹣1）（x+5）＝x2+5x﹣x﹣5＝x2+4x﹣5， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 2．计算（x﹣l）（x﹣2）的结果为（　　） A．x2+2 B．x2﹣3x+2 C．x2﹣3x﹣3 D．x2﹣2x+2 【思路点拨】根据多项式的乘法法则计算即可． 【解析】解：原式＝ x2﹣2x﹣x+2＝ x2﹣3x+2． 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 3．计算（2a+b）（a﹣2b）等于（　　） A．2a2﹣2ab﹣2b2 B．2a2﹣2ab+2b2 C．2a2﹣3ab﹣2b2 D．2a2﹣3ab+2b2 【思路点拨】直接利用整式的乘法运算法则计算得出答案． 【解析】解：（2a+b）（a﹣2b） ＝2a2﹣4ab+ab﹣2b2 ＝2a2﹣3ab﹣2b2， 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是关键． 4．下列各式中，计算结果是x2﹣3x﹣28的是（　　） A．（x+7）（x+4） B．（x﹣2）（x+14） C．（x+4）（x﹣7） D．（x+7）（x﹣4） 【思路点拨】各项利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，即可做出判断． 【解析】解：（x+4）（x﹣7）＝x2﹣7x+4x﹣28＝x2﹣3x﹣28， 故选：C． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．已知m+n＝2，mn＝﹣2，则（1﹣m）（1﹣n）的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．5 【思路点拨】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn，再代入计算即可． 【解析】解：∵m+n＝2，mn＝﹣2， ∴（1﹣m）（1﹣n）＝1﹣n﹣m+mn＝1﹣（n+m）+mn＝1﹣2﹣2＝﹣3； 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 6．若（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3，则n的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【思路点拨】根据多项式乘多项式，把原式的等号左边展开后，得到m，n的值，从而得到结果． 【解析】解：∵（x﹣m）（x+3）＝x2﹣nx﹣3， ∴x2+3x﹣mx﹣3m＝x2﹣nx﹣3， ∴x2+（3﹣m）x﹣3m＝x2﹣nx﹣3， ∴3﹣m＝﹣n，3m＝3， ∴m＝1，n＝﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键． 7．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（　　） A．（x+6）（x+4）﹣6x B．x（x+4）+24 C．4（x+6）+x2 D．x2+24 【思路点拨】根据题意可把阴影部分分成两个长方形或一个长方形和一个正方形来计算面积，也可以用大长方形的面积减去空白处小长方形的面积来计算． 【解析】解：A、大长方形的面积为：（x+6）（x+4），空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为（x+6）（x+4）﹣6x，故不符合题意； B、阴影部分可分为两个长为x+4，宽为x和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x+4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x+4）+24，故不符合题意； C、阴影部分可分为一个长为x+6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x+6）+x2，故不符合题意； D、阴影部分的面积为x（x+4）+24＝x2+4x+24，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了长方形和正方形的面积计算，难度适中，要注意利用数形结合的思想． 8．计算：（x+1）（x﹣3）＝　x2﹣2x﹣3　． 【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则计算：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【解析】解：（x+1）（x﹣3）＝x2﹣3x+x﹣3＝x2﹣2x﹣3， 故答案为x2﹣2x﹣3． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，易于掌握． 9．计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　a3﹣b3　． 【思路点拨】根据多项式乘以多项式法则进行计算即可． 【解析】解：（a﹣b）（a2+ab+b2） ＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3 ＝a3﹣b3， 故答案为：a3﹣b3． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则的应用，能熟记法则的内容是解此题的关键，注意：（a+b）（m+n）＝am+an+bm+bn． 10．计算：（x﹣2）（3x+1）＝　3x2﹣5x﹣2　． 【思路点拨】按多项式乘多项式展开，再进行加减运算，即可求解． 【解析】解：（x﹣2）（3x+1） ＝3x2+x﹣6x﹣2 ＝3x2﹣5x﹣2， 故答案为：3x2﹣5x﹣2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． 11．计算：（x+2y）（﹣2x+3y）＝ 　﹣2x2﹣xy+6y2　． 【思路点拨】根据多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【解析】解：原式＝﹣2x2+3xy﹣4xy+6y2 ＝﹣2x2﹣xy+6y2， 故答案为：﹣2x2﹣xy+6y2． 【点睛】本题考查整式的乘法，熟练掌握该知识点是关键． 12．若xy＝﹣1，x+4y＝﹣3，则代数式（x﹣2）（2y﹣1）的值为　3　． 【思路点拨】首先根据多项式乘多项式法则化简，然后整体代数求解即可． 【解析】解：原式＝2xy﹣x﹣4y+2 ＝2xy﹣（x+4y）+2 ＝2×（﹣1）﹣（﹣3）+2 ＝3． 故答案为：3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式以及代数求值，熟练掌握该知识点是关键． 13．若（x+2）（x﹣4）＝x2+mx﹣8，则m的值为　﹣2　． 【思路点拨】利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【解析】解：（x+2）（x﹣4） ＝x2+2x﹣4x﹣8 ＝x2﹣2x﹣8 ＝x2+mx﹣8， 则m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 14．计算：（3a+2b）（a﹣b）+（2a﹣b）（a+b）＝ 　5a2﹣3b2　． 【思路点拨】利用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【解析】解：原式＝3a2﹣3ab+2ab﹣2b2+2a2+2ab﹣ab﹣b2 ＝5a2﹣3b2， 故答案为：5a2﹣3b2． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 15．计算： （1）（x﹣1）（x2+x+1）； （2）（x+3）（x﹣2）﹣x（x﹣1）． 【思路点拨】（1）先根据多项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则计算乘法，然后合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1 ＝x3+x2﹣x2+x﹣x﹣1 ＝x3﹣1； （2）原式＝x2﹣2x+3x﹣6﹣x2+x ＝x2﹣x2﹣2x+x+3x﹣6 ＝2x﹣6． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则． 16．计算： （1）（2x+3）（﹣x﹣1）； （2）（2m﹣1）（3m﹣2）； （3）x（y﹣x）﹣y（x﹣y）． 【思路点拨】（1）利用多项式乘多项式的运算法则运算即可； （2）利用多项式乘多项式的运算法则运算即可； （3）先利用单项式乘多项式的法则运算，再合并同类项即可． 【解析】解：（1）原式＝﹣2x2﹣2x﹣3x﹣3 ＝﹣2x2﹣5x﹣3； （2）原式＝6m2﹣4m﹣3m+2 ＝6m2﹣7m+2； （3）原式＝xy﹣x2﹣xy+y2 ＝﹣x2+y2． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，正确利用上述法则进行运算是解题的关键． 17．计算： （1）（2x2﹣3）（1﹣2x）； （2）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2）； （3）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2）； （4）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9）． 【思路点拨】（1）根据多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式的乘法法则计算即可； （3）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可； （4）根据多项式的乘法法则和合并同类项计算即可． 【解析】解：（1）（2x2﹣3）（1﹣2x） ＝2x2﹣4x3﹣3+6x ＝﹣4x3+2x2+6x﹣3； （2）（a+2b）（a2﹣2ab+4b2） ＝a3﹣2a2b+4ab2+2a2b﹣4ab2+8b3 ＝a3+8b3； （3）（﹣3x）2﹣（3x+1）（3x﹣2） ＝9x2﹣9x2+3x+2 ＝3x+2； （4）3y（y﹣4）（2y+1）﹣（2y﹣3）（4y2+6y﹣9） ＝3y（2y2+y﹣8y﹣4）﹣（8y3+12y2﹣18y﹣12y3﹣18y+27） ＝﹣2y3﹣21y2+24y﹣27． 【点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式的乘法法则解答． 18．如图，某中学校园内有一块长为（3a+b）m，宽为（2a﹣b）m的长方形空地，学校计划在中间留一块长为（3a﹣b）m、宽为2bm的小长方形地面用来修建一座雕像，然后给剩余部分种上花（阴影部分）． （1）求种花的面积； （2）当a＝5，b＝2时，求种花部分的面积． 【思路点拨】（1）利用分割法求出种花的面积即可； （2）将a＝5，b＝2代入（1）中的结果进行计算即可． 【解析】解：（1）种花面积为： （3a+b）（2a﹣b）﹣（3a﹣b）2b ＝6a2﹣3ab+2ab﹣b2﹣6ab+2b2 ＝6a2﹣7ab+b2； （2）将a＝5，b＝2代入上式， 得6×52﹣7×5×2+22 ＝150﹣70+4 ＝80+4 ＝84（m2）， 答：种花部分的面积是84m2． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 题组B 能力提升练 19．图1是长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，已知CD的长度固定不变，BC的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为S1，S2，若a＝4，b＝2，S1﹣S2的值是（　　） A．8 B．16 C．12 D．32 【思路点拨】根据题意，分别表示出S1，S2，两块面积相减，即可得到结果． 【解析】解：设EF＝x， S1＝（4b+x）•2b＝（8+x）×4＝32+4x， S2＝（a+x）•a＝（4+x）×4＝16+4x， ∴S1﹣S2＝（32+4x）﹣（16+4x）＝32+4x﹣16﹣4x＝16． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练相关运算法则是解题的关键． 20．若n为整数，则代数式（3n+3）（n+3）﹣6的值一定可以（　　） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 【思路点拨】先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可． 【解析】解：原式＝3n2+12n+9﹣6 ＝3n2+12n+3 ＝3（n2+4n+1）， ∴该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的四则混合运算、因式分解的应用等知识点，掌握整式的四则混合运算法则成为解题的关键． 21．计算： （1）（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）； （2）（x﹣2y）（x2+2xy﹣3y2）； （3）（3x4﹣3x2+1）（x4+x2﹣2）． 【思路点拨】这一组题目，都是利用多项式乘法法则进行运算即可． 【解析】解：（1）（2a+b）（4a2﹣2ab+b2） ＝8a3﹣4a2b+2ab2+4a2b﹣2ab2+b3 ＝8a3+b3； （2）（x﹣2y）（x2+2xy﹣3y2） ＝x3+2x2y﹣3xy2﹣2x2y﹣4xy2+6y3 ＝x3﹣7xy2+6y3； （3）（3x4﹣3x2+1）（x4+x2﹣2） ＝3x8+3x6﹣6x4﹣3x6﹣3x4+6x2+x4+x2﹣2 ＝3x8﹣8x4+7x2﹣2． 【点睛】本题考查是多项式乘以多项式，关键是不能丢项落项，细心运算． 22．某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为（2a+b）（a+b），各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． （1）根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2　； （2）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以解释． 【思路点拨】（1）根据图形中正方形面积的不同计算方法即可得出答案； （2）利用长为x+p，宽为x+q的长方形的面积加以解释即可． 【解析】解：（1）图2中，从“整体”上看是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2， 组成“整体”的四部分的面积和为a2+2ab+b2， 因此有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）如图3，“整体”上是长为x+p，宽为x+q的长方形，因此面积为（x+p）（x+q），而组成大长方形的四部分的面积和为＝x2+（p+q）x+pq， 因此有（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的几何意义是正确解答的关键． 23．欢欢和乐乐两人分别计算（2x+a）•（3x+b），欢欢抄错了a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，乐乐漏抄了第二个括号中x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6． （1）求a，b的值． （2）请你计算这道题的正确结果． 【思路点拨】（1）根据题意可得出2b﹣3a＝﹣13①，2b+a＝﹣1②，联立方程组即可得出答案； （2）根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【解析】解：（1）欢欢由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果是6x2﹣13x+6， 可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6， 可得2b﹣3a＝﹣13①， 乐乐由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是2x2﹣x﹣6， 可知（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6， 可得2b+a＝﹣1②， ①②联立方程组得， 解得：， ∴a，b的值分别为3，2． （2）（2x+3）（3x﹣2）＝6x2+5x﹣6． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 24．若关于x的多项式（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则：去括号合并同类项，再根据结果中不含x2项，列方程求出a． 【解析】解：（x2+ax+2）（2x﹣4） ＝2x3﹣4x2+2ax2﹣4ax+4x﹣8 ＝2x3+（2a﹣4）x2+（4﹣4a）x﹣8， ∵结果中不含x2项， ∴2a﹣4＝0， ∴a＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用结果中不含x2项列出方程式解题关键． 25．若多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关，则m和n满足（　　） A．m＝4n B．m＝0且n＝0 C．4m＝n D．m+4n＝0 【思路点拨】先根据多项式乘多项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的值与x的取值无关，可知含x的项的系数为0，据此求解即可． 【解析】解：2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3 ＝2x2﹣（2x2﹣4nx+mx﹣2mn）+3 ＝2x2﹣2x2+4nx﹣mx+2mn+3 ＝（4n﹣m）x+2mn+3， ∵多项式2x2﹣（2x+m）（x﹣2n）+3的值与x的取值无关， ∴4n﹣m＝0， ∴m＝4n． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项，正确记忆相关知识点是解题关键． 26．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【思路点拨】根据多项式乘多项式的法则进行求解，即可得到答案． 【解析】解：（x+a）（x+b）＝x2+mx+12， x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+12， ∴a+b＝m，ab＝12， ∵m、a、b都是整数， ∴当a＝3，b＝4时，m＝a+b＝7； 当a＝﹣3，b＝﹣4时，m＝a+b＝﹣7； 当a＝2，b＝6时，m＝a+b＝8； 当a＝﹣2，b＝﹣6时，m＝a+b＝﹣8； 当a＝1，b＝12时，m＝a+b＝13； 当a＝﹣1，b＝﹣12时，m＝a+b＝﹣13； 则m的可能值的个数为6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 27．阅读以下内容： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024＝　﹣1　． 【思路点拨】根据题意，先求出1+2+22+23+24+25+…+22023＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1）＝22024﹣1，再计算1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024即可． 【解析】解：根据题意可得： 1+2+22+23+24+25+…+22023 ＝（2﹣1）×（22023+⋯+22+2+1） ＝22024﹣1， ∴1+2+22+23+24+25+…+22023﹣22024 ＝22024﹣1﹣22024 ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，从题目中找出式子间的变化规律是解题的关键． 28．小亮学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n＝0或px+q＝0时，多项式A＝（mx+n）（px+q）＝mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． （1）已知多项式（3x﹣1）（x+2），则此多项式的零点为　或x＝﹣2　； （2）已知多项式B＝（x﹣2）（x+m）＝x2+（a﹣1）x﹣3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； （3）小亮继续研究（x﹣4）（x﹣2），x（x﹣6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x＝3对称，他把这些多项式称为“3﹣系多项式”．若多项式M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4是“3﹣系多项式”，则a＝　2　，b＝　﹣2　，c＝　1　． 【思路点拨】（1）根据题意，令（3x﹣1）（x+2）＝0，解方程得出x的值，即可得出答案； （2）根据题意，把x＝2代入多项式B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0，然后解关于a的方程即可得出a的值，再把a的值代入B，进而得出答案； （3）根据题意，由“3﹣系多项式”定义，进而得出答案． 【解析】解：（1）令（3x﹣1）（x+2）＝0， ∴3x﹣1＝0或x+2＝0， ∴或x＝﹣2； （2）把x＝2代入B，得B＝4+2（a﹣1）﹣3a＝0， ∴a＝2， 把a＝2代入B，得B＝x2+x﹣6＝（x﹣2）（x+3）， 令x+3＝0， ∴x＝﹣3， （3）∵M＝（2x﹣b）（cx﹣7c）＝0， 解得：或x＝7； ∴M的两个零点分别是或7， 根据“3﹣系多项式”的定义，有， ∴b＝﹣2， 把b＝﹣2代入M， 得M＝（2x﹣b）（cx﹣7c） ＝（2x+2）（cx﹣7c） ＝2cx2﹣12cx﹣14c ∵M＝ax2﹣（8a﹣4c）x+5b﹣4， ∴a＝2c，5b﹣4＝﹣14c， ∴c＝1，a＝2． 故答案为：2，﹣2，1． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式的运算，正确进行计算谁讲题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$