第12课 同底数幂的乘法-2024-2025学年七年级数学下册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第12课 同底数幂的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解同底数幂相乘的法则，会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题. 2.理解幂的乘方法则，会运用幂的乘方法则计算幂的乘方. 3.理解积的乘方法则，会计算积的乘方. 4.会进行简单的幂的混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ； 知识点02 幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.； 知识点02 积的乘方 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.；（m，n为整数）； ( 能力拓展 )考点01 同底数幂的乘法 【典例1】计算： （1）a3•a； （2）﹣b•（﹣b）2； （3）3×33﹣3×9； （4）b•b2•b3． 【即学即练1】计算： （1）（﹣x）5•x4 （2）（x﹣y）•（y﹣x）2•（x﹣y）3 （3）x2•x3+x•x4 2．计算： （1）102×10×105； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a； （5）（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6． 考点02 幂的乘方 【典例2】计算： （1）（103）3；（2）﹣（a2）5；（3）（x3）4•x2． 【即学即练2】计算： （1）（72）3； （2）（b4）3 （3）（a3）2•a2； （4）（xm）4•x3； （5）（m2）n•mn+1； （6）xm•（x2m）3 考点03 积的乘方 【典例3】计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣3pq）2； （3）（3×103）2； （4）． 【即学即练3】计算： （1）（﹣5ab）3； （2）﹣（3x2y）2； （3）（﹣1ab2c3）3； （4）（﹣xmy3m）2． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算a5•a2的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a7 D．a10 2．下列计算正确的是（　　） A．a4•a3＝a B．a4•a3＝a7 C．a4•a3＝a12 D．a4•a3＝a64 3．计算（﹣xy4）3的结果是（　　） A．﹣x3y7 B．﹣xy12 C．x3y12 D．﹣x3y12 4．下列运算正确的是（　　） A．3a﹣a＝2a2 B．a3•a2＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a3）2＝a6 5．计算：＝（　　） A． B． C． D． 6．计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 7．下列计算正确的是（　　） A．（2a2）3＝8a5 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．22a2﹣3a2＝a2 8．计算：﹣a2•（﹣a）2＝　　． 9．计算：﹣（3a3b）2＝ 　　． 10．计算：＝　　． 11．计算： （1）﹣x3•x4； （2）﹣a•（﹣a）4； （3）﹣y3•（﹣y）2； （4）﹣（﹣a）5•（﹣a）． 12．计算： （1）（ab）4； （2）（﹣3b）3； （3）（）4； （4）﹣（xy）5； （5）（7ab）2； （6）（﹣4ab）3． 13．计算：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 14．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 题组B 能力提升练 15．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 16．已知x+y﹣3＝0，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 17．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 18．计算：（x﹣y）3•（y﹣x）4＝ 　 　.（结果用幂的形式表示） 19．计算： （1）（﹣x2）•x4+（﹣x2）3； （2）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（a﹣b）． 20．计算：（1）（﹣22）3 （2）（﹣x3）2（﹣x2）3 （3） （4）（a2n﹣2）2•（an+1）3 （5）（﹣x5）4+（﹣x4）5 （6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 （7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3 （8）x3•xn﹣1﹣xn﹣2•x4+xn+2 （9）﹣a2•（﹣a）2•（﹣a）2k•（﹣a）2k+1 （10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2•（﹣y）4•（x2y）2． 21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 题组C 培优拔尖练 22．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a 23．已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b 24．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0；②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④． A．1 B．2 C．3 D．4 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　　； （5，1）＝　　； （3，27）＝　　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　 　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 26．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p⊕2q的值； （3）若运算9⊕9t的结果为810，则t的值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12课 同底数幂的乘法 ( 目标导航 ) 学习目标 1.理解同底数幂相乘的法则，会运用同底数幂的乘法法则进行同底数幂相乘，并解决简单的实际问题. 2.理解幂的乘方法则，会运用幂的乘方法则计算幂的乘方. 3.理解积的乘方法则，会计算积的乘方. 4.会进行简单的幂的混合运算. ( 知识精讲 ) 知识点01 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. ； 知识点02 幂的乘方 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.； 知识点02 积的乘方 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.；（m，n为整数）； ( 能力拓展 )考点01 同底数幂的乘法 【典例1】计算： （1）a3•a； （2）﹣b•（﹣b）2； （3）3×33﹣3×9； （4）b•b2•b3． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，即可解答． 【解析】解：（1）a3•a ＝a4． （2）﹣b•（﹣b）2 ＝﹣b•b2 ＝﹣b3． （3）3×33﹣3×9 ＝3×27﹣27 ＝54． （4）b•b2•b3＝b6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法法则． 【即学即练1】计算： （1）（﹣x）5•x4 （2）（x﹣y）•（y﹣x）2•（x﹣y）3 （3）x2•x3+x•x4 【思路点拨】（1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可； （3）利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则进行运算即可． 【解析】解：（1）（﹣x）5•x4 ＝﹣x5•x4 ＝﹣x9； （2）（x﹣y）•（y﹣x）2•（x﹣y）3 ＝（x﹣y）•（x﹣y）2•（x﹣y）3 ＝（x﹣y）6； （3）x2•x3+x•x4 ＝x5+x5 ＝2x5． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．计算： （1）102×10×105； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a； （5）（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6． 【思路点拨】（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）（5）根据同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可． 【解析】解：（1）102×10×105＝102+1+5＝108； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝﹣b2×b2×（﹣b3）＝b2+2+3＝b7； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）＝m2+3+1＝m6； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a＝﹣a8+a8＝0； （x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6＝﹣（y﹣x）6﹣（y﹣x）6＝﹣2（y﹣x）6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及科学记数法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 考点02 幂的乘方 【典例2】计算： （1）（103）3；（2）﹣（a2）5；（3）（x3）4•x2． 【思路点拨】（1）（2）根据幂的乘方运算法则计算即可； （3）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】解：（1）（103）3＝103×3＝109； （2）原式＝﹣a2×5＝﹣a10； （3）原式＝x12•x2＝x14． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 【即学即练2】计算： （1）（72）3； （2）（b4）3 （3）（a3）2•a2； （4）（xm）4•x3； （5）（m2）n•mn+1； （6）xm•（x2m）3 【思路点拨】（1）根据幂的乘方求出即可； （2）根据幂的乘方求出即可； （3）根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法求出即可； （4）根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法求出即可； （5）根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法求出即可； （6）根据幂的乘方进行计算，再根据同底数幂的乘法求出即可． 【解析】解：（1）（72）3 ＝76； （2）（b4）3 ＝b12； （3）（a3）2•a2 ＝a6•a2 ＝a8； （4）（xm）4•x3； ＝x4m•x3 ＝x4m+3； （5）（m2）n•mn+1； ＝m2n•mn+1 ＝m3n+1； （6）xm•（x2m）3 ＝xm•x6m ＝x7m． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方法则等知识点，能灵活根据幂的乘方和积的乘方法则进行计算是解此题的关键，注意：（am）n＝amn，（ab）n＝anbn． 考点03 积的乘方 【典例3】计算： （1）（x3y3）m； （2）（﹣3pq）2； （3）（3×103）2； （4）． 【思路点拨】分别根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可得解． 【解析】解：（1）（x3y3）m＝x3my3m； （2）（﹣3pq）2＝9p2q2； （3）（3×103）2， ＝32×103×2， ＝9×106； （4）（﹣ab2c3）3＝﹣a3b6c9． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方的性质，熟记性质是解题的关键． 【即学即练3】计算： （1）（﹣5ab）3； （2）﹣（3x2y）2； （3）（﹣1ab2c3）3； （4）（﹣xmy3m）2． 【思路点拨】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进行计算即可． 【解析】解：（1）（﹣5ab）3＝（﹣5）3a3b3＝﹣125a3b3； （2）﹣（3x2y）2＝﹣32x4y2＝﹣9x4y2； （3）（﹣1ab2c3）3＝（﹣ab2c3）3＝（﹣）3a3b6c9＝﹣a3b6c9； （4）（﹣xmy3m）2＝（﹣1）2x2my6m＝x2my6m． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握幂的乘方及积的乘方法则是解答本题的关键． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．计算a5•a2的结果是（　　） A．a5 B．a6 C．a7 D．a10 【思路点拨】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得出正确答案． 【解析】解：a5•a2＝a5+2＝a7． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法，熟知运算法则是计算关键． 2．下列计算正确的是（　　） A．a4•a3＝a B．a4•a3＝a7 C．a4•a3＝a12 D．a4•a3＝a64 【思路点拨】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算即可作出判断． 【解析】解：A、a4•a3＝a7，故此选项不符合题意； B、a4•a3＝a7，故此选项符合题意； C、a4•a3＝a7，故此选项不符合题意； D、a4•a3＝a7，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算（﹣xy4）3的结果是（　　） A．﹣x3y7 B．﹣xy12 C．x3y12 D．﹣x3y12 【思路点拨】根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则进行计算即可． 【解析】解：根据积的乘方运算法则和幂乘方运算法则可得： （﹣xy4）3＝﹣x3（y4）3＝﹣x3y12． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了乘方运算．解题的关键是熟练掌握积的乘方运算法则和幂乘方运算法则是，解题的关键． 4．下列运算正确的是（　　） A．3a﹣a＝2a2 B．a3•a2＝a6 C．（ab）2＝ab2 D．（﹣a3）2＝a6 【思路点拨】根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解析】解：A、3a﹣a＝2a，故此选项不符合题意； B、a3•a2＝a5，故此选项不符合题意； C、（ab）2＝a2b2，故此选项不符合题意； D、（﹣a3）2＝a6，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5．计算：＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【解析】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．计算：（﹣2m4）3＝（　　） A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【解析】解：（﹣2m4）3＝（﹣2）3×（m4）3＝﹣8m12， 故选：D． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，正确运用运算法则运算是关键． 7．下列计算正确的是（　　） A．（2a2）3＝8a5 B．（﹣a2b）2＝﹣a4b2 C．（﹣a3）2＝﹣a5 D．22a2﹣3a2＝a2 【思路点拨】利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【解析】解：A、（2a2）3＝8a6，故A不符合题意； B、（﹣a2b）2＝a4b2，故B不符合题意； C、（﹣a3）2＝﹣a6，故C不符合题意； D、22a2﹣3a2＝a2，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 8．计算：﹣a2•（﹣a）2＝　﹣a4　． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】解：﹣a2•（﹣a）2＝﹣a2•a2＝﹣a4， 故答案为：﹣a4． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟知：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 9．计算：﹣（3a3b）2＝ 　﹣9a6b2　． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则计算即可． 【解析】解：﹣（3a3b）2＝﹣9a6b2， 故答案为：﹣9a6b2． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．计算：＝　﹣x3y6　． 【思路点拨】直接根据积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘计算即可． 【解析】解：＝（﹣）3x3（y2）3＝﹣x3y6． 故答案为：﹣x3y6． 【点睛】本题主要考查了积的乘方的性质，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键，是基础题． 11．计算： （1）﹣x3•x4； （2）﹣a•（﹣a）4； （3）﹣y3•（﹣y）2； （4）﹣（﹣a）5•（﹣a）． 【思路点拨】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【解析】解：（1）原式＝﹣x3+4＝﹣x7； （2）原式＝﹣a•a4＝﹣a1+4＝﹣a5； （3）原式＝﹣y3•y2＝﹣y3+2＝﹣y5； （4）原式＝﹣（﹣a5）•（﹣a）＝﹣a6． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，熟记运算法则是解答本题的关键．am•an＝am+n． 12．计算： （1）（ab）4； （2）（﹣3b）3； （3）（）4； （4）﹣（xy）5； （5）（7ab）2； （6）（﹣4ab）3． 【思路点拨】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【解析】解：（1）原式＝a4b4； （2）原式＝（﹣3）3•b3＝﹣27b3； （3）原式＝； （4）原式＝﹣x5y5； （5）原式＝72a2b2＝49a2b2； （6）原式＝（﹣4）3•a3b3＝﹣64a3b3． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 13．计算：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4． 【思路点拨】分别根据同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方法则化简，再合并同类项即可． 【解析】解：a3•a•a4+（﹣2a4）2+（a2）4＝a8+4a8+a8＝6a8． 【点睛】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 14．计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2． 【思路点拨】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可； （2）根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方进行计算，再合并同类项即可． 【解析】解：（1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2 ＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（﹣2x2）3+x2•x4﹣（﹣3x3）2 ＝﹣8x6+x6﹣9x6 ＝﹣16x6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 题组B 能力提升练 15．已知am＝6，an＝3，则am+n的值为（　　） A．9 B．18 C．3 D．2 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】解：∵am＝6，an＝3， ∴am+n ＝am•an ＝6×3 ＝18， ∴B符合题意，ACD不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 16．已知x+y﹣3＝0，则3x•3y的值是（　　） A．9 B．27 C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【解析】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴3x•3y＝3x+y＝33＝27． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可． 【解析】解：原式＝（﹣）2023×（）2023× ＝（﹣×）2023× ＝（﹣1）2023× ＝﹣1× ＝﹣． 故选：C． 【点睛】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟知幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘是解题的关键． 18．计算：（x﹣y）3•（y﹣x）4＝ 　（x﹣y）7　.（结果用幂的形式表示） 【思路点拨】先把底数变为相同的，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【解析】解：（x﹣y）3•（y﹣x）4 ＝（x﹣y）3•（x﹣y）4 ＝（x﹣y）7， 故答案为：（x﹣y）7． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．计算： （1）（﹣x2）•x4+（﹣x2）3； （2）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（a﹣b）． 【思路点拨】（1）根据幂的乘方和同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【解析】解：（1）（﹣x2）•x4+（﹣x2）3 ＝﹣x6+（﹣x6） ＝﹣x6﹣x6 ＝﹣2x6； （2）（a﹣b）2•（b﹣a）3•（a﹣b） ＝（a﹣b）2•[﹣（a﹣b）]3•（a﹣b） ＝（a﹣b）2•[﹣（a﹣b）3]•（a﹣b） ＝﹣（a﹣b）6． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，掌握运算法则是关键． 20．计算：（1）（﹣22）3 （2）（﹣x3）2（﹣x2）3 （3） （4）（a2n﹣2）2•（an+1）3 （5）（﹣x5）4+（﹣x4）5 （6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 （7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3 （8）x3•xn﹣1﹣xn﹣2•x4+xn+2 （9）﹣a2•（﹣a）2•（﹣a）2k•（﹣a）2k+1 （10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2•（﹣y）4•（x2y）2． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的定义解答． 【解析】解：（1）（﹣22）3＝﹣26； （2）（﹣x3）2（﹣x2）3 ＝﹣x6•x6 ＝﹣x12； （3）＝﹣a3b6； （4）（a2n﹣2）2•（an+1）3 ＝a4n﹣4•a3n+3 ＝a7n﹣1； （5）（﹣x5）4+（﹣x4）5 ＝x20﹣x20 ＝0； （6）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 ＝（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3 ＝64a6﹣9a6﹣64a6 ＝﹣9a6． （7）（m﹣n）2（n﹣m）2（n﹣m）3 ＝（n﹣m）2（n﹣m）2（n﹣m）3 ＝（n﹣m）7； （8）x3•xn﹣1﹣xn﹣2•x4+xn+2 ＝xn+2﹣xn+2+xn+2 ＝xn+2； （9）﹣a2•（﹣a）2•（﹣a）2k•（﹣a）2k+1 ＝a4k+5； （10）﹣（3x2y2）﹣（﹣3x）2•（﹣y）4•（x2y）2 ＝﹣（3x2y2）﹣9x2•y4•x4y2 ＝﹣3x2y2﹣9x6y6． 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键． 21．若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题： （1）若3x×9x×27x＝312，求x的值． （2）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y． 【思路点拨】（1）由3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x＝312得出6x＝12，即可得出答案； （2）将5m＝x+3代入y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2可得答案． 【解析】解：（1）3x×9x×27x＝3x×（32）x×（33）x＝3x×32x×33x＝36x． ∵36x＝312， ∴6x＝12， ∴x＝2． （2）∵x＝5m﹣3， ∴5m＝x+3， ∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2， ∴y＝﹣x2﹣6x﹣5． 【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形． 题组C 培优拔尖练 22．已知a＝255，b＝344，c＝433，d＝522，将这四个数按从大到小的顺序排列起来，正确的是（　　） A．a＞b＞c＞d B．c＞d＞a＞b C．b＞c＞a＞d D．d＞c＞b＞a 【思路点拨】把四个数字的指数化为11，然后比较底数的大小． 【解析】解：a＝255＝3211，b＝344＝8111，c＝c＝433＝6411，d＝d＝522＝2511， ∵81＞64＞32＞25， ∴b＞c＞a＞d． 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 23．已知2a＝4，2b＝12，2c＝6，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A．2a+c＝2b+1 B．2a+c＝22b C．a：b：c＝1：3：2 D．2ac＝22b 【思路点拨】先根据题意得出2a×2c＝2a+c＝4×6＝24，2×2b＝2b+1＝2×12＝24，即可得出答案． 【解析】解：∵2a＝4，2b＝12，2c＝6， ∴2a×2c＝2a+c＝4×6＝24，2×2b＝2b+1＝2×12＝24， ∴2a+c＝2b+1， ∴a+c＝b+1， 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以1og5125＝3．则下列说法正确的个数为（　　） ①log61＝0；②log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）；③若log4（a+14）＝4，则a＝50；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】①根据新定义证明即可； ②设a＝log2x，b＝log2y，根据新定义，得x＝2a，y＝2b，则xy＝2a+b，从而证得log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）； ③根据新定义，得a+14＝44，解方程求出a的值即可； ④根据②，得log223＝log22×4＝log22+log24＝log22+log22×2＝log22+log22+log22＝3log22． 【解析】解：①∵60＝1， ∴①正确，符合题意； ②设a＝log2x，b＝log2y， ∴x＝2a，y＝2b， ∴xy＝2a+b， ∴log2xy＝a+b， ∴log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）， ∴②正确，符合题意； ③∵log4（a+14）＝4， ∴a+14＝44， ∴a＝242， ∴③不正确； ④由②，得log223＝log22×4＝log22+log24＝log22+log22×2＝log22+log22+log22＝3log22， ∴④正确． 综上，共有3个正确，分别是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，理解新定义并掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 25．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，则（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”． 例如：因为23＝8，所以 （2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义说明等式 （3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下： 设 （3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5， 故3m⋅3n＝3m+n＝3×5＝15， 则 （3，15）＝m+n， 即 （3，3）+（3，5）＝（3，15）． （1）根据上述规定，填空：（2，4）＝　2　； （5，1）＝　0　； （3，27）＝　3　． （2）计算 （5，2）+（5，7）＝　（5，14）　，并说明理由． （3）利用“雅对”定义证明：（2n，3n）＝（2，3），对于任意自然数n都成立． 【思路点拨】（1）根据上述规定即可得到结论； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设（2n，3n）＝x，于是得到（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n根据“雅对”定义即可得到结论． 【解析】解：（1）∵22＝4， ∴（2，4）＝2； ∵50＝1， ∴（5，1）＝0； ∵33＝27， ∴（3，27）＝3； 故答案为：2，0，3； （2）设（5，2）＝x，（5，7）＝y， 则5x＝2，5y＝7， ∴5x+y＝5x•5y＝14， ∴（5，14）＝x+y， ∴（5，2）+（5，7）＝（5，14）， 故答案为：（5，14）； （3）设（2n，3n）＝x，则（2n）x＝3n，即（2x）n＝3n 所以2x＝3，即（2，3）＝x， 所以（2n，3n）＝（2，3）． 【点睛】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． 26．定义一种幂的新运算：xa⊕xb＝xab+xa+b，请利用这种运算规则解决下列问题： （1）求22⊕23的值； （2）若2p＝3，2q＝5，3q＝7，求2p⊕2q的值； （3）若运算9⊕9t的结果为810，则t的值是多少？ 【思路点拨】（1）根据所给的新定义把x＝2代入xa⊕xb＝xab+xa+b中进行求解即可； （2）先根据积的乘方求出2pq＝7，再根据2p⊕2q＝2pq+2p+q进行求解即可； （3）先求出9⊕9t＝10×9t，再根据9⊕9t＝810，得到10×9t＝810，由此即可得到答案． 【解析】解：（1）∵xa⊕xb＝xab+xa+b， ∴22⊕23 ＝22×3+22+3 ＝26+25 ＝64+32 ＝96； （2）∵2p＝3，3q＝7， ∴（2p）q＝3q， ∴2pq＝7 ∴2p⊕2q ＝2pq+2p+q ＝7+3×5 ＝7+15 ＝22； （3）9⊕9t ＝91•t+91+t ＝9t+9×9t ＝10×9t， ∵9⊕9t＝810， ∴10×9t＝810 ∴9t＝81， ∴t＝2． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，幂的乘方的逆运算等计算，正确理解所给的新定义是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$