第16章 相交线与平行线（考点串讲，4大常考点+12大重难点题型+3大易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（沪教版2024）

七年级数学下学期·期中复习大串讲 第16章 相交线与平行线 （4考点&12题型） 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 十二大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选5道期中真题对应考点练 相等 最短 一条 相等 互补 相等 知识结构 3 考点1 四个概念 概念1 对顶角 1.[2024郑州模拟] 如图，直线，相交于点 ， ， ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. 针对训练 概念2 点到直线的距离 2.如图，点是直线外的一点，点，，在直线上，且 ，垂 足为，，垂足为 ，则下列说法中正确的是( ) C A.，，三条线段中， 最短 B.线段的长是点到直线 的距离 C.线段的长是点到直线 的距离 D.线段的长是点到直线 的距离 5 概念3 三线八角 3.（1）如图，与 是直线____和____被直线____所截得的______角； 内错 （2）与 是直线____和____被直线____所截得的______角； （3）与 是直线____和____被直线____所截得的________角。 同位 同旁内 6 概念4 相交线和平行线 4.一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识： ①______；②______。 相交 垂直 7 考点2 两个判定 判定1 垂线的判定 5.如图，直线，相交于点， 。 （1）若 ， ，则 _____。 8 （2）若，判断与 的位置关系，并说明理由。 解：。理由如下：因为，所以 。 又因为,所以 。 所以 。所以 。 （3）若，求和 的度数。 解：因为 , 所以。所以 。 因为，所以 ，所以 。 所以 , 。 9 判定2 平行线的判定 6.[2024西安期末] 如图，在四边形 中， 点在的延长线上，点在 的延长线上， 连接，相交于点 ， ，平分 ， 。 （1）试说明： 。 解：因为 ， ，所以 ，所以 。 10 （2）与 的位置关系如何？请说明理由。 解： 。理由如下： 因为平分，所以 。 因为，所以，所以 。 11 考点3 两个性质 性质1 垂线段的性质 7.[2024成都模拟] 如图，在点 处，有一个牧 童在放牛，牛吃饱后要到河边饮水，牧童把牛 牵到河边，沿 的路径走才能使所走的路程 最少，其依据是( ) B A.经过一点有无数条直线 B.垂线段最短 C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条直线 12 性质2 平行线的性质 8.[2024长春二道区开学考试] 如图，已知点，在直线上， 是 的平分线，过点作的平行线交于点，试说明： 。 13 解：如图，因为 ， 所以， 。 因为是 的平分线， 所以，所以 。 因为 ， ，所以 。 14 考点4 一个作图——用尺规作直线的平行线 9.[2024茂名期末] 已知及射线上的点 （如图），请用尺规 过点作的平行线 ，不写作法，保留作图痕迹。 解：如图， 即为所求作。 15 题型剖析 题型1 三个概念 概念1 相交线与垂线 1.如图，已知直线，相交于点 ，下列说法错误的是( ) D （第1题） A. B.若，则 C.若 ，则 D.若 ，则 概念2 同位角、内错角、同旁内角 2.如图，用图中标出的5个角填空：与____是同位角， 与____是同 旁内角， 与____是内错角. （第2题） 17 3.[2024·长沙月考] 在如图所示的6个角中，同位角有___对，它们是 __________________；内错角有___对，它们是__________________； 同旁内角有___对，它们是____________________________________. 2 与，与 2 与，与 4 与，与，与，与 （第3题） 18 概念3 平行线 4.下列说法中，正确的是( ) C A.两条不相交的直线叫作平行线 B.一条直线的平行线有且只有一条 C.在同一平面内，若直线，，则 D.若两条线段不相交，则它们互相平行 19 题型2 三个性质 性质1 对顶角的性质 5.如图，两条直线，交于点，平分，若 ，则 _____. 20 性质2 相交线的性质 6.[期中·周口川汇区]如图 7-1，直线AC 和直线 BD 相交于点M， ME 平 分 ∠ BMC，若∠ 1+ ∠ 2=100°，则∠ 3的度数为______ ° . 65 思路引导： 解：由对顶角相等可知∠ 1= ∠ 2， 又∵∠ 1+ ∠ 2=100° ，∴∠ 1= ∠ 2=50° . ∴∠ BMC=180° - ∠ 1=130° . 又∵ ME 平分∠ BMC，∴∠ 3= ∠ BMC=× 130° =65° . 性质3 平行线的性质 7.[2024·郴州模拟] 如图，已知， ， ， 则 ______. （第6题） 23 题型3 一个判定——平行线的判定方法 8.如图，下列条件：； ； ；.其中能判定 的 是________. ①②③ （第7题） 24 9.如图，已知， ，试猜想 与 之间有怎样的位置关系？并说明理由. 解： ，理由如下： 因为 （已知）， 所以 （同旁内角互补，两直线平行）， 所以 （两直线平行，同位角相等）. 又因为（已知），所以 （等量代换）， 所以 （内错角相等，两直线平行）. 25 题型4 两个基本事实 基本事实1 平行线的基本事实 10.如图，在直线外有一点，经过点可以画无数条直线，如果 ， 那么过点的其他直线与直线 一定不平行，理由是_________________ ___________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 26 基本事实2 垂线的基本事实 11.如图，直线，直线垂直于直线，那么直线 垂直 于直线 吗？请说明理由. 解： .理由如下：如图. 因为，所以 .因为，所以 ，所以 . 27 题型4 点到直线的距离 （第12题） 12.如图，， ，下列结论：①线段 的长是点到的距离；②线段是点到 的距离；；④线段是点到 的距离； .其中正确的结论有 ( ) B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 28 13.[中考·泸州]把一块含 30°角的直角三角尺按如图 7-2 方式放置于两条平行线间，若∠ 1=45°，则∠ 2=（　　） A.10° B.15° C.20° D.30° 题型5 平行线的性质与判定 B 解： 如图 7-2 所示 . ∵ AB ∥ CD， ∴∠ BAD= ∠ 1=45° . ∵∠ 2+ ∠ DAE= ∠ BAD， ∠ DAE=30° ， ∴∠ 2=15° . 答案： B 解题秘方：三角尺与平行线的综合是中考常考题型，利用三角尺中特殊角的度数与平行线的性质不难求解 . 14.[期末· 南京浦口区]如图 7-3，在三角 形 ABC 中，点 D， E 分 别 在 AB， BC 上，且DE ∥ AC，∠ 1= ∠ 2. （1）求证： AF ∥ BC. （2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度数 . 思路引导： 证明： ∵ DE ∥ AC， ∴∠ 1= ∠ C. 又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ C= ∠ 2. ∴ AF ∥ BC. （1）求证： AF ∥ BC. 解： ∵ AF ∥ BC， ∠ B=36° ， ∴∠ BAF=180° -36° =144° . 又∵ AC 平分∠ BAF， ∴∠ BAC= ∠ 2=72° . 又∵∠ 1= ∠ 2， ∴∠ 1=72° . （2）若 AC 平分∠ BAF，∠ B=36°，求∠ 1 的度数 . 15.[期中·天津红桥区]下列命题中，真命题的个数是 （ ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等 . A.4 B.3 C.2 D.1 题型6 定义、命题、定理 解题秘方：依次判断，正确的即为真命题. 解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是假命题；②是真命题；图形平移的方向有很多，不一定是水平的，故③是假命题；两直线平行，内错角才相等，故④是假命题 . 答案：D 题型7 利用相交线的性质求角的度数 16. 如 图，直 线 AB， CD 相 交 于 点 O，作∠ DOE= ∠ BOD， OF 平分∠ AOE. (1) 判断OF 与OD 的位置关系并说明理由； 解：设∠AOC＝x°. ∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°. ∵∠AOC＋∠AOD＝180°， ∴x°＋5x°＝180°，解得x＝30. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°. 又∵∠DOE＋∠EOF＝90°， ∴∠EOF＝90°－∠DOE＝90°－30°＝60°. (2) 若∠ AOC∶∠ AOD=1∶5，求 ∠ EOF 的 度数． 题型 8 利用平行线的性质求角的度数 17. [中考·达州] 跨学科综合 当光线从空气射入水中时，光 线 的 传 播 方 向 发 生 了 改 变，这 就 是 光的 折 射 现 象（如 图 所 示），图 中 ∠ 1=80 °，∠ 2=40°，则∠ 3 的度数为（　　） A.30° B.40° C.50° D.70° B 18.[中考·盐城]小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若∠ 1=55°，则∠ 2 的度数为（　　） A.25° B .35° C.45° D.55° B 题型9 证明两个角相等 19.[期末·郑州中原区]根据解答过程填空（填理由或数学式）： 已知：如图，∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ 3= ∠ B. 求证：∠ ACB= ∠ 4. 证明：∵∠ 1+ ∠ DFE=180°（ ___________）， ∠ 1+ ∠ 2=180°（已知）， 邻补角的定义 ∴∠ 2= ∠ DFE（______________ ）， ∴ AB ∥ EF（ ________________________ ）， ∴∠ 3= ∠ ________. ∵∠ 3= ∠ B（已知）， ∴∠ B= ∠ ________. ∴ DE ∥ BC（ ______________________ ）. ∴∠ ACB= ∠ 4（ ________________________ ）. 同角的补角相等 内错角相等，两直线平行 ADE ADE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 题型10 证明两条直线平行 20.[期中·江门台山市]如图，∠ 1+ ∠ 2=180°，∠ DEF= ∠ A，求证： AC ∥ DE. 证明：∵∠1＋∠2＝180°(已知)， ∠1＋∠DFE＝180°(邻补角的定义)， ∴∠2＝∠DFE(同角的补角相等)． ∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行) ∴∠DEF＋∠ADE＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． ∵∠DEF＝∠A(已知)， ∴∠A＋∠ADE＝180°(等量代换)， ∴AC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)． 题型11 证明两条直线垂直 21. 如图，直线 AB， CD 相交于点 O， OA 平分∠ EOC. (1)若 ∠ EOC=72 °，求∠ BOD 的度数； (2) 若 ∠ DOE=2 ∠ AOC，判 断 射 线 OE， OD 的 位置关系并说明理由 . 解：OE⊥OD.理由如下：∵OA平分∠EOC， ∴∠EOC＝2∠AOC. 又∵∠DOE＝2∠AOC，∴∠DOE＝∠EOC. 又∵∠DOE＋∠EOC＝180°，∴∠DOE＝∠EOC＝90°. ∴OE⊥OD. 题型12 三种思想 思想1 分类讨论思想 22.[2024·岳阳期末] 已知直线，，互相平行，直线与 之间的距离 是4厘米，直线与之间的距离是7厘米，那么直线与 之间的距离是 ( ) C A.11厘米 B.3厘米 C.11厘米或3厘米 D.不能确定 23.平面内三条直线的交点可能有( ) D A.0个或1个或3个 B.2个或3个 C.1个或2个或3个 D.0个或1个或2个或3个 45 思想2 方程思想 24.如图，，，在线段的延长线上，平分 ， 连接，， ,则 的度数为_____. 46 25.如图 7-8，若∠ BCD= ∠ B+ ∠ D，试说明AB 与DE 的位置关系 . 思想3 转化思想 解： AB ∥ DE. 理由如下： 在 ∠ DCB 的 内 部 作 ∠ DCF= ∠ D，如 图 7-8 所 示，则 DE ∥ FC（内 错 角 相 等，两直线平行） . 因 为 ∠ DCB= ∠ B+ ∠ D= ∠ FCB+∠ DCF， ∠ DCF= ∠ D，所以∠ FCB= ∠ B， 所 以 FC ∥ BA（内 错 角 相 等，两 直 线平行）， 所以 AB ∥ DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行） . 解题秘方： 通过过拐点作平行线，将角的数量关系转化为直线的位置关系 . 易错点1.在图形中没有准确找到垂足的位置，导致画错垂线 【例1】作图：如图Z7-1-1，过点B作BE⊥AC，垂足为E. 错解：如图Z7-1-2，BE即为所作. 图Z7-1-1 图Z7-1-2 易错易混 图Z7-1-3 错解分析：过点B作BE⊥AC时，误认为直角顶点为B，从而导致作图错误. 正解：如图Z7-1-3，BE即为所作. 1.如图Z7-1-4，已知三角形ABC，根据下列要求作图（不要求写画法）： （1）作边AB上的高CH； 图Z7-1-4 解：（1）如答图Z7-1-1. CH即为所作. 答图Z7-1-1 （2）过点H作直线BC的垂线，垂足为D. （2）如答图Z7-1-1，HD即为所作. 图Z7-1-4 答图Z7-1-1 易错点2.不能准确识别截线和被截线，从而误判两直线平行或两角相等 【例2】如图Z7-1-5，下列由已知条件推出结论正确的是 （　　） A.由∠1=∠5，可以推出AB∥CD B.由AD∥BC，可以推出∠4=∠8 C.由∠2=∠6，可以推出AD∥BC D.由AD∥BC，可以推出∠3=∠7 错解：A或C或D. 图Z7-1-5 错解分析：错选A的原因是误以为内错角∠1与∠5是直线AB，CD被直线BD所截形成的；错选C的原因是误以为内错角∠2与∠6是直线AD，BC被直线BD所截形成的；错选D的原因是误以为内错角∠3与∠7是直线AD，BC被直线AC所截形成的.正确识别一对角是哪两条直线被第三条直线所截而成的方法：从组成角的两边入手，两个角的边所在的同一直线就是截线，即第三条直线，另外两边所在的直线就是两条被截线. 正解：B. 2.如图Z7-1-6，下列结论中，不一定正确的是 （ ） A.若∠1=∠2，则AD∥BC B.若AD∥BC，则∠1=∠B C.若∠2=∠C，则AE∥CD D.若AE∥CD，则∠1+∠3=180° 图Z7-1-6 B 易错点3.混淆命题的题设与结论 【例3】把命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式： 　　　　　　　.  错解：如果两个角相同，那么它们的补角相等. 错解分析：误认为题设是“同角”，结论是“补角相等”. 正解：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等. 3.将“邻补角的平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式：如果　 　　　 　，那么　 　　　　　.  两条射线是邻补角的角平分线 这两条射线互相垂直　 1.（2025春•上海月考）如图，已知AB∥CD，则( ____ ) _ __ A.∠α+∠β+∠γ=360° B.∠α-∠β+∠γ=360° C.∠α+∠β-∠γ=180° D.∠α+∠β+∠γ=180° 【解析】解：过E作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD， ∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠DEF， ∴β=180°-α+γ， ∴∠α+∠β-∠γ=180°． 故选：C． C 押题预测 55 2.（2025春•杨浦区校级月考）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，A′B′与BC交于点G，若∠A′GC=60°，则∠BFE的度数为 ______ ． 【解析】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处， ∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°， ∵∠A'GC=60°=∠FGB'， ∴∠CFB'=30°， ∴∠BFE=∠EFB'= (180°+30°)=105°， 105° 故答案为：105°． 56 3.（2025春•闵行区校级月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)如图所示，其中BC⊥AB，DE∥AB，经使用发现，当∠EDC=126°时，台灯光线最佳．则此时∠DCB的度数为 _____ ． 【解析】解：过点C作CF∥AB， ∴∠ABC+∠BCF=180°， ∵DE∥AB，∴DE∥CF， 144° ∴∠CDE+∠DCF=180°，∴∠ABC+∠BCF+∠CDE+∠DCF=360°， 即∠ABC+∠DCB+∠CDE=360°， ∵BC⊥AB，∴∠ABC=90°， ∵∠EDC=126°，∴∠DCB=360°-∠ABC-∠CDE=144°， 故答案为：144°． 57 4.（2024春•松江区期中）如图所示，已知AB∥CD，∠E=90°那么∠B+∠D等于多少度？为什么？请将说理过程补充完整； 解：过点E作EF∥AB， 得∠B+∠BEF=180°( _____________________________ )． 因为AB∥CD(已知)，EF∥AB(已作)， 所以EF∥CD( ______________________________________ )． 得 __________________ (两直线平行，同旁内角互补)， 所以∠B+∠BEF+∠DEF+∠D= _____ °( _____________ )． 即∠B+∠BED+∠D=360°． 因为∠BED=90°(已知)， 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 ∠D+∠DEF=180° 360 等式的性质 所以∠B+∠D= _____ °(等式性质)． 270 58 5.（2024春•杨浦区期中）已知AB∥CD． (1)如图1，若EF⊥FG垂足为点F，∠FGD=50°，则∠AEF=　　． (2)如图2，EF⊥FG垂足为点F，过点F作FH⊥AB于点H，说明∠HFE=∠FGD． (3)如图3，∠BEF、∠FGD的角平分线交于点H，若∠EFG=α°，则∠H= 　　(用含α的式子表示)． _________ 59 ___ ∴∠BEF=∠EFM， ∵AB∥CD，∴FM∥CD，∴∠DGF=∠GFM， ∵∠EFG=∠EFM+∠GFM，∴∠EFG=∠BEF+∠DGF， ∵EF⊥FG，∴∠EFG=90°， ∵∠FGD=50°， ∴∠BEF=∠EFG-∠DGF=40°， ∴∠AEF=180°-∠BEF=140°， 故答案为：140°； 【解析】解：(1)过点F作FM∥AB， 60 (2)∵FH⊥AB，∴∠FHE=90°，∴∠BEF+∠HFE=90°， 由(1)可得：∠BEF+∠DGF=∠EFG=90°，∴∠HFE=∠DGF； (3)由(1)可得：∠EFG=∠BEF+∠DGF=α°，∠H=∠BEH+∠DGH， ∵EH平分∠BEF，GH平分∠FGD， ∴∠BEH= ∠BEF，∠DGH= ∠DGF， ∴∠H= ∠BEF+ ∠DGF， = (∠BEF+∠DGF) = ∠EFG = α°， 故答案为： α°． 61 解： OF⊥OD.理由如下：∵OF平分∠AOE， ∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.又∵∠DOE＝∠BOD＝∠BOE， ∠BOE＋∠AOE＝180°，∴∠DOE＋∠EOF＝(∠BOE＋∠AOE)＝ ×180°＝90°，即∠FOD＝90°. ∴OF⊥OD. 解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝72°， ∴∠AOC＝∠EOC＝36°. ∴∠BOD＝∠AOC＝36°. $$