压轴题09 向量的数量积（七类压轴必考题型+压轴能力测评）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学下册压轴题攻略（沪教版2020必修第二册）

压轴题09 向量的数量积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、平面向量数量积的几何意义 2 类型二、求投影向量 3 类型三、用定义求向量的数量积 4 类型四、数量积的运算律 11 类型五、已知数量积求模 27 类型六、向量夹角的计算 34 类型七、垂直关系的向量表示 37 压轴能力测评（11题） 43 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 类型一、平面向量数量积的几何意义 1．已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 ． 【答案】/1.5 【知识点】平面向量数量积的几何意义、零向量与单位向量 【分析】由分别表示在、方向上的单位向量，结合已知可得且、的夹角为，进而可求在上的数量投影. 【详解】由分别表示在、方向上的单位向量，且、的夹角为， 由知：且、的夹角为， 所以在上的数量投影为. 故答案为： 2．（22-23高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决. 【详解】正六边形中，过点作于，    则，，， ， 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， 所以，， 即，故的取值范围为. 故答案为：. 类型二、求投影向量 1．已知，方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求解即可得解. 【详解】由已知得， 故在上的投影向量为. 故答案为： 2．若，则在上的数量投影为 ． 【答案】6 【知识点】求投影向量 【分析】利用向量的投影公式即可求解. 【详解】在上的数量投影为： . 故答案为：6. 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】由数量投影公式求解. 【详解】解：数量投影为：， 故答案为： 类型三、用定义求向量的数量积 1．已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意，结合向量的共线定理与向量的数量积的计算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，都不为零向量， 对于①，因，所以，即，消去，得，故①正确； 对于②，由，得， 即， 因，的夹角与模长都未知，所以不一定成立，故②错. 故选：C. 2．如图，设是所在平面内的点，且，给出下列说法： （1）； （2）的最小值是； （3）点和点共线； （4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等； 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据向量的数量积公式，结合图形即可判断. 【详解】由，可得， 故有，即和在上的投影相等， 即 点、在同一条垂直于直线的直线上，如图所示， 故（3）（4）正确，（1）不正确 当恰好为, 模长最小，此时，（2）正确 故选：C 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）若，平面内一点满足，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】由，结合数量积的计算可得，即是角平分线，由角平分线的性质可得，设，则，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，从而可求的最大值. 【详解】由可得. 因为，即， 所以，即是角平分线， 由角平分线的性质可得， 设，则，由可得. 因为， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值为， 所以的最大值是. 故答案为：    4．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【详解】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【详解】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】求投影向量、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 7．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值、用定义求向量的数量积、向量的模、余弦定理解三角形 【分析】由“两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大”结合可知正六边形结构特征求出的最大值；由数量积概念可知对于，当与达到最大时与此时方向相反，故此时达到最小值. 【详解】根据向量加法平行四边形法则以及几何意义可知： 当两个向量夹角为锐角时，两个向量模长越大、夹角越小则两个向量的和向量的模长越大. 所以由正六边形结构特征可知的最大值为， 连接正六边形交于点， 则由正六边形结构特征可知为正三角形，为其边上的中线， 且由正六边形结构特征，，， 所以由题意以及余弦定理得： ， 即， 所以，，， 所以， 故由向量加法法则； 所以当时，最大， 同理时，最大， 与此时方向相反， 故此时达到最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于明确的最大值为和的最大值为. 类型四、数量积的运算律 1．（22-23高一下·湖南·期中）已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为 A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】函数不等式恒成立问题、数量积的运算律 【分析】由可推得，.令，根据函数的最大值，即可得出，进而得出答案. 【详解】由可得，， 即. 因为，，所以， 所以，. 令， 因为，，所以. 又对，恒成立，所以， 所以. 故选：B. 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量满足：.若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．无数 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量夹角关系可得中的向量要么与 同向共线，要么与同向共线，由数量积的运算，结合恒成立即可求解. 【详解】由于平面直角坐标平面上满足与向量成的单位向量有，所以 中的向量要么与 同向共线，要么与同向共线，设 ，， ，， 则， 由于对任意，为定值，故需满足，所以，由于 ，此时 同理可得， 所以符合条件的向量最多有2个， 故选：A    3．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知、和均为非零向量， ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】平行向量（共线向量）、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据数量积的定义及运算律逐一判断即可. 【详解】对于①，当时， ， 满足，故①错误； 对于②，若，则， 则或与垂直，故②错误； 对于③，若， 则，即， 所以，又，所以或， 所以，故③正确， 所以真命题的个数是1个. 故选：B. 4．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、向量减法的法则 【分析】根据几何关系，直接判断与是否平行，即可判断A;再根据转化向量求数量积判断B；根据几何关系，以及相等相等向量转化，判断C；根据向量转化证明数量积相等. 【详解】A.，则与不平行，故①错误； B.设，， ， ，故②正确； C.，故③正确； D.，故④正确. 故选：C 5．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、平面向量综合 【分析】由题意将题目转化为恒成立，即恒成立，解出的值，进而判断出排除其他答案即可. 【详解】设，则，过点作的垂线，垂足为， 在上任取一点， 设，如图所示； 则由数量积的几何意义可得， ，， 于是恒成立， 整理得恒成立， 只需即可，于是， 因此我们得到，即是的中点， 是等腰三角形，即. 故选：D. 6．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量与几何最值、数量积的运算律 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【详解】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 7．已知向量的夹角为，，若对一切恒成立，则的值为 . 【答案】/2.5 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、数量积的运算律 【分析】由平面向量数量积的运算性质，可整理不等式为关于t的一元二次不等式，再由一元二次不等式恒成立，得到关于的不等式，利用不等式的性质，从而确定的值. 【详解】解：，平方得： 又代入上式， 整理得：对一切恒成立 可得：，即 又恒成立，所以 得. 故答案为：. 8．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】向量减法的运算律、数量积的运算律 【分析】利用平面向量的线性运算可得出，运用平面向量数量积的运算性质解决即可. 【详解】由题知，中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径， 所以为的中点，， 因为， 所以 , 因为，即 所以，当且仅当同向时取最大值，反向时取最小值， 所以的取值范围是， 故答案为： 9．已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律 【分析】根据投影得到，，确定，计算得到答案. 【详解】在方向上的数量投影为，故， ，，（）， ，故的最小值为. 故答案为： 10．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、数量积的运算律 【分析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【详解】设，故，即， 故， ， 所以，消，整理得到，解得或（舍去），所以. 故答案为：. 11．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律 【分析】由题可得，化简得，利用不等式求出取最大值，即可求解. 【详解】由，可得，所以， 要使取最大值，则取最大值，由于，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为， 故答案为： 12．如图，已知中，弦，，则的值为 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】取的中点，连接，证明出，同理可得出，结合平面向量的线性运算可求得结果. 【详解】如下图所示，取的中点，连接，则， ，同理， 因此，. 故答案为：. 13．已知是边长为1的正六边形的边上的任意一点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】按点P所在位置，利用平面向量数量积分类计算即可作答. 【详解】如图，正六边形，， ，，，， 点P在线段AB上时，，， 当点P在线段BC(不含点B)上时，，， 当点P在线段CD(不含点C)上时，，， 当点P在线段DE(不含点D)上时，，， 当点P在线段EF(不含点E)上时，，， 当点P在线段AF(不含点A)上时，，， 所以的取值范围是. 故答案为： 14．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】利用向量的线性运算和数量积的运算转化可得，由两边平方，可以求得的值，进而得解. 【详解】设矩形的对角线交点为,则 = ， 由两边平方得： , ∵，，， ∴， ∴ . ∴， 故答案为：-4. 15．非零向量满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据向量三角式，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由， 因此有， 于是有， 故答案为： 【点睛】关键点睛：应用是解题的关键. 16．（22-23高一下·上海松江·期中）菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】设，根据数量积的运算律得到，即可得解. 【详解】设， 则 ， 所以当，时，取得最大值． 故答案为：． 17．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知平面向量，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值． 【详解】如图， 设，， 若对任意实数，都有，成立， 如图令，则， ， 因为对任意实数都有，即， 因为垂线段距离最短， 即为点到的垂线段长度， 即， 同理可得，即，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于， 在上的射影最长为， ． 设，则，， ， ， 则当时，有最大值为． 故答案为：. 18．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 【答案】24 【知识点】数量积的运算律 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解． 【详解】由题设知等边的边长为6，点在边上，且， 则． 故答案为：24． 19．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】由题意画出图形，知，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于，在上的射影最长为，，设，则，，可得，代入．整理后利用二次函数求最值． 【详解】如图， 设，， 若对任意实数，都有，成立， 则，在以为直径的圆上，过作，交于，交圆于， 在上的射影最长为， ． 设，则，， ， ， 则当时，有最大值为． 故答案为：. 20．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.    (1)求的最大值； (2)求证：为定值； (3)对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律 【分析】（1）依题意可得，根据圆的几何性质圆上两点间直径最长，即可得解； （2）当不与、中任何一点重合时，利用勾股定理即可证明，当与、中一点重合时，此时，即可得证； （3）建立平面直角坐标系，即可得到，根据点位置特征，即可得解. 【详解】（1）因为，均在圆上运动， 则，当且仅当与点重合时取等号； （2）因为、为圆直径的两端，为圆上的动点， 当不与、中任何一点重合时，，所以， 故 ． 当与、中一点重合时，不妨设与重合， 则， 综上可得为定值； （3）   建立如图所示的建立平面直角坐标系，则，， 则由 ，即， 要使最小，只需使最大，即点的纵坐标最大， 由点在正六边形上及其内部运动，所以当点与点重合时， ，从而，即取最小值为． 21．（22-23高一下·上海闵行·期末）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量， (1)试用表示向量与； (2)求的值. 【答案】(1)；. (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）由向量的加法运算，结合已知中点和矩形的性质即可求解； （2）根据向量数量积的运算法则及（1）中的结论，运用向量数量积的运算方法进行计算即可求解. 【详解】（1）如图，因为点是边的中点，所以，    则， 同理，. （2）由（1）可知，，， 又因为为矩形，所以， 则. 类型五、已知数量积求模 1．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】基本不等式求和的最小值、已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】对于①，对两边平方转化为求的最值可判断①；对两边同乘以可判断②；对两边平方然后利用基本不等式可判断③；由③知可判断④. 【详解】，， 对于①，若，则 ，当且仅当时，取得等号， 的最小值为的最小值为①正确； 对于②，若，由得， 存在唯一的，使得，②正确； 对于③，若，则 ， 当且仅当时取得等号， 又，当且仅当，时取得等号，③正确； 对于④，若，则， 由③知，④正确. 故答案为：D. 2．已知向量满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知模求数量积 【分析】由数量积公式结合得出，再由结合二次函数的性质得出所求范围. 【详解】 可得可变形为 由可知，，解得 故答案为： 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由得出，从而由二次函数的性质得出范围. 3．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.75 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用数量积性质化简，再结合二次函数性质求的最小值. 【详解】因为，所以，因为，，所以， ，当且仅当时等号成立，所以的最小值为， 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【详解】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】根据题意，得到，所以，作，则，连接，取的中点，连接，作，连接，得到，得出点在以为直径的圆上，得到当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大，进而求得最大值. 【详解】由向量，，可得， 可得，所以， 如图所示，作，则，且， 连接，取的中点，连接，则， 因为，可得，所以， 作，连接，则，所以， 所以点在以为直径的圆上， 所以当运动到圆的最右侧时，在上的投影最大，此时最大， 由，, 因为，且，所以， 所以在上的最大投影为， 所以. 故答案为：. 6．直角△ABC中，，，，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据题意求出BC和cosC，根据向量减法化简，根据向量数量积的运算律即可求其模． 【详解】∵在直角△ABC中，，，， ∴BC=，cosC=， ∵， ∴ ==． 故答案为：． 7．已知平面向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】计算得到，平方化简得到，，计算得到最值. 【详解】由，得， 所以，当和共线时等号成立， 所以，即，所以， 又，当时取等号. 所以的最大值是. 故答案为： 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）设向量满足，则 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据向量的数量积公式计算，得到答案. 【详解】， 故. 故答案为：. 45．（22-23高一下·上海宝山·期中）设向量、满足，，且，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】根据，结合向量的数量积运算计算可得答案. 【详解】， 故. 故答案为：. 9．在中，，，O为三角形ABC的外心． (1)，求 (2)，且，求 (3)在（1）条件下，，求p、q的值 【答案】(1) (2) (3)，． 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）由平方转化为数量积的运算可得； （2）用两种方法计算，由外心性质得，由计算，得的等式，同样计算，又得的等式，结合已知条件可求得，再由数量积定义可得； （3）结合（1）的条件（2）的方程得的方程组，解之可得． 【详解】（1）， ， 所以，； （2）如图，是的外心，是中点，则， ， 同理， ， 则，即①， ，即②， ①②得③， 又，即，代入③，解得，或， 时，，不合题意，舍去， 时，，代入①得，即，； （3）由（1），又，由（2）知： 则，即④， ，即⑤， ④⑤联立解得． 类型六、向量夹角的计算 1．已知、是相互垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算 【分析】分析可知且与不共线，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为、是相互垂直的单位向量，则，， 因为，，且与的夹角为钝角， 则，解得，且与不共线， 若与共线，则存在，使得，即， 所以，，解得， 因为与不共线，则. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（22-23高一下·上海普陀·期中）已知、均为单位向量，且，则 . 【答案】 【知识点】垂直关系的向量表示、向量夹角的计算 【分析】根据向量垂直时数量积等于0，可求得，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】由已知、均为单位向量，且， 可得，即， 即， 故，由于， 故， 故答案为： 3．已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、向量夹角的计算、向量在几何中的其他应用 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 4．（1）已知，是两个不平行的向量，向量，，，求证：A，C，D三点共线； （2）已知，满足，，，求. 【答案】（1）见解析；（2） 【知识点】向量加法的运算律、平面向量共线定理证明点共线问题、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量的线性运算求出，证明，即可得证； （2）分别求出，再根据即可得解. 【详解】（1）证明：由，，， 得，， 所以， 所以， 又点为公共点， 所以A，C，D三点共线； （2）解：因为，，， 所以， ， ， 所以， 所以. 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）根据垂直得到，得到答案. （2）计算得到，得到答案. 【详解】（1）与垂直，则， 故，，故. （2），故，即， 即，故. 类型七、垂直关系的向量表示 1．已知、均为非零向量，有下列四个命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的必要且不充分条件； ③已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ④“”是“”的既不充分也不必要条件． 其中命题正确的个数(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】向量数乘的有关计算、已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量平行、垂直的基本概念以及向量的数乘和数量积计算即可逐个判断． 【详解】①若，则， 即，即， ∵、均为非零向量，∴． ∴“”是“”的充要条件，故①正确； ②若，则；若，则，不能得到；∴“”是“”的必要且不充分条件，故②正确； ③若、为两个不平行向量，，则必有；若，则；故是的充要条件，故③错误； ④若，则；若，则；“”是“”必要不充分条件，故④错误； 故正确的有①②共2个． 故答案为：B． 2．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示、向量在几何中的其他应用 【分析】取AB的中点D，连接CD，由已知向量等式可得AB与CD垂直，从而得到三角形为等腰三角形. 【详解】若，取AB的中点D，连接CD，则， 即AB与CD垂直且D为AB的中点，所以可得CB=CA，即三角形为等腰三角形. 故选：C 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【知识点】诱导公式二、三、四、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可. 【详解】如图所示，过点作，垂足为点． 则， 同理， 动点满足，． ，． ， ， 因此的轨迹一定通过的垂心． 故选：D． 4．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、垂直关系的向量表示、已知数量积求模 【分析】（1）利用向量关系作出几何图形，可知，从而利用数形结合求得； （2）与（1）比较仅改变了，同理利用数形结合去求出； （3）要利用模的平方等于向量的平方进行计算，从而转到到一元二次不等式恒成立，即可以求出，并求出与夹角为，从而确定两向量的位置关系，再分析,即可求得最小值; （4）关键是作出图形后，利用转化为几何关系求最小值. 【详解】 由且均为单位向量，作图：， 因为，即，所以点在以为直径的圆上或内部， 又因为，所以点又在点为圆心的单位圆上，即点在圆的劣弧上， 又由，所以由图可得，故（1）正确； 由于与（1）不同，假设点为圆心半径为圆与以为直径的圆相交于点，则点在圆的劣弧上，由图可知以为直径的圆也是以为直径的圆，所以，由，可得， 所以由图可得，故（2）正确； 由平方得：， 又因为，所以得：， 上式是关于的一元二次不等式，由于对任意实数恒成立， 所以， 即，所以，由，可得， 又因为，所以，此时均为单位向量，如图： 由，可知 ， 而因为点是单位圆上的动点，所以， 此时由，可得：， 所以，故(3)正确； 由，作一个同心圆且半径为，分别交于点则， 由于三角形是等腰三角形，分别为的中点，可得， 所以，而，所以，故（4）正确； 故答案为：（1），（2），（3），（4）. 【点睛】方法点睛：关键把定向量转化为定点，把动向量转化为动点，最后研究向量的模转化为动点到定点的距离问题，再利用几何中的不等式关系就可以得到结果. 5．已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为． （1）求证：； （2），求的范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】（1）计算数量积可证； （2）平方，由数量积的运算可求得的范围． 【详解】（1）， ． （2）与夹角为．，， ， ， 一、填空题 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】设，利用，求出，再利用三角恒等变换转化为正弦型三角函数，求值域得解. 【详解】设，如图， 则， 即 ， 所以， 因为，所以， 所以 故答案为： 2．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量 【分析】计算，，计算得到答案. 【详解】由题意得， 所以. 故答案为： 3．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在锐角三角形ABC中，，，点O为△ABC的外心，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】三角形外接圆的性质、正弦定理得、，、，利用向量数量积的运算律转化求. 【详解】， 因为锐角三角形中，所以，， 所以，，又，即， 则， 其中，，， 因为在锐角三角形内部，故，故， 故， 则，即. 故答案为： 4．设锐角的外心为O，且，，则 ． 【答案】8 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、数量积的运算律、向量在几何中的其他应用 【分析】设外接圆的半径为；平面向量数量积的运算律及三角形外心的性质得到，再根据同角三角函数的基本关系将弦化切，从而得解； 【详解】解：因为点为外接圆的圆心，设外接圆的半径为； 所以， 整理得， 所以， 故， 则， 所以， 所以，即 所以，所以，则，即． 故答案为： 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、用定义求向量的数量积 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 二、解答题 6．已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）利用向量数量积运算求得正确答案. （2）利用向量数量积运算求得正确答案. （3）根据与的夹角为钝角列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）. （2） . （3）由于与的夹角为钝角，于是且与不平行. 其中，而， 于是实数的取值范围是. 7．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 【答案】(1)6 (2) (3) 【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】（1）利用平行四边形法则化简表达式，然后利用已知条件及向量数量积公式计算即可； （2）利用三点共线定理建立等式，得出方程组求出参数即可； （3）根据为边上一点，所以可设，再利用向量的加减法与数乘运算，求出，进而得出，从而可求的最小值. 【详解】（1）由于为边的中点，所以， 故. 由于，故. 因此. （2）由于，故. 由于为线段上一点，设， 所以， 由向量基本定理得，解得，因此. （3）因为为边上一点，所以可设， ， 因为，， 所以， 当时，取得最小值为. 所以点的四等分点靠近的分点，即处. 8．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】数量积的运算律、向量加法的运算律、向量加法的法则 【分析】（1）直接使用等分点的向量性质即可； （2）设，然后分和两种情况证明结论. 【详解】（1） 记的中点为，则由已知有. 所以. （2）对，设，则，. 同时，由于，. 故，. 若，取，，则，. 若，不妨设. 由于，， 故我们可以找到正整数，使得，. （换言之，是满足的正整数的最大值） 由于，故. 取，，则 ，且 . 综上，结论成立. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对数量积的运算律的运用. 9．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 10．如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)； (3). 【知识点】三角形的心的向量表示、数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心 【分析】（1）运用平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质和三角形重心的性质进行证明即可； （2）根据三角形外心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可； （3）根据三角形内心的性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】（1）当实数时，设的中点为， 由， 即，所以是的重心； （2）设的中点为，显然， ， 由， 设的中点为，显然， ， 由， 即； （3）因为是的平分线上某点， 所以， 所以由， 由，当且仅当时取等号，即时取等号， 所以， . 【点睛】关键点睛：运用三角形重心、外心、内心的性质是解题的关键. 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 【答案】(1) (2) (3)；该常数为 【知识点】向量的线性运算的几何应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据向量数量积求出，余弦定理求的长度； （2）由，得，设，余弦定理求，由，可得的值； （3）由，可求得，则有，代入中判断值为常数的条件. 【详解】（1）设，则，得， 所以. （2）由已知，则， 设，则， 所以，则有，得. （3）由可得，由（1）知， ，， ， ， ， ， 又，所以， 所以， 若为常数，则，即，此时该常数为. 【点睛】关键点点睛： 结合图形，利用向量数量积和余弦定理求出内角的余弦值，由，在各直角三角形中利用的边长和三角函数求出，找到与的关系. 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题09 向量的数量积 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 类型一、平面向量数量积的几何意义 2 类型二、求投影向量 2 类型三、用定义求向量的数量积 2 类型四、数量积的运算律 4 类型五、已知数量积求模 8 类型六、向量夹角的计算 9 类型七、垂直关系的向量表示 10 压轴能力测评（11题） 11 知识点01 向量夹角的定义 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 知识点02 向量的数量积及其几何意义 向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 知识点03 向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点04 投影 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 知识点05 向量数量积的性质、运算律、运算性质 向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 运算性质：类比多项式的乘法公式 类型一、平面向量数量积的几何意义 1．已知、的夹角为，设，则在上的数量投影为 ． 2．（22-23高一下·上海虹口·期中）在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是 ． 类型二、求投影向量 1．已知，方向上的单位向量为，则向量在方向上的投影向量为 ． 2．若，则在上的数量投影为 ． 3．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 类型三、用定义求向量的数量积 1．已知，是平面向量的一个基底，设非零向量，，给出下列两个命题：①；②，则（    ） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 2．如图，设是所在平面内的点，且，给出下列说法： （1）； （2）的最小值是； （3）点和点共线； （4）向量及在向量方向上的数量投影必定相等； 其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23高一下·上海浦东新·期末）若，平面内一点满足，则的最大值为 . 4．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 6．（23-24高一下·上海·期中）如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 . 7．（23-24高一下·上海青浦·期末）在边长为1的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，.记，为的两个三元子集，则的最小值为 . 类型四、数量积的运算律 1．（22-23高一下·湖南·期中）已知，是不共线的两个向量，，，若，，则的最小值为 A．2 B．4 C． D． 2．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知直角坐标平面上的向量和一组互不相等非零向量满足：.若存在，对任意，使得为定值，则满足要求的的个数最多是（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．无数 3．（22-23高一下·上海长宁·期末）已知、和均为非零向量， ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（23-24高一下·上海·期末）折纸发源于中国19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 5．（23-24高一下·上海·期末）已知在中，是边上的一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知向量的夹角为，，若对一切恒成立，则的值为 . 8．如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的取值范围是 ． 9．已知向量，满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为 ． 10．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 11．（23-24高一下·上海·期末）已知非零向量，，满足：，则的最大值为 ． 12．如图，已知中，弦，，则的值为 13．已知是边长为1的正六边形的边上的任意一点，则的取值范围是 . 14．已知O为矩形内一点，满足，，，则 ． 15．非零向量满足，则的最小值为 . 16．（22-23高一下·上海松江·期中）菱形的边长为，，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 ． 17．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知平面向量，，对任意实数，都有，成立．若，则的最大值是 ． 18．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 19．（22-23高一下·上海奉贤·期中）已知平面向量，，，对任意实数x，y都有，成立．若，则的最大值是 ． 20．（22-23高一下·上海杨浦·期末）如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点.    (1)求的最大值； (2)求证：为定值； (3)对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值. 21．（22-23高一下·上海闵行·期末）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，设向量， (1)试用表示向量与； (2)求的值. 类型五、已知数量积求模 1．（23-24高一下·上海·期末）已知向量，满足，，，则下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）． ①若，则的最小值为； ②若，则存在唯一的y，使得； ③若，则的最小值为； ④若，则的最小值为． A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知向量满足，，则的取值范围是 ． 3．平面上的向量与满足，且，若点满足，则的最小值为 ． 4．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 5．（23-24高一下·上海·期末）在平面内，若有，，，则的最大值为 . 6．直角△ABC中，，，，点O是△ABC所在平面上任意一点，则向量的模为 . 7．已知平面向量满足，则的最大值是 . 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）设向量满足，则 ． 45．（22-23高一下·上海宝山·期中）设向量、满足，，且，则 ． 9．在中，，，O为三角形ABC的外心． (1)，求 (2)，且，求 (3)在（1）条件下，，求p、q的值 类型六、向量夹角的计算 1．已知、是相互垂直的单位向量，，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一下·上海普陀·期中）已知、均为单位向量，且，则 . 3．已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时， . 4．（1）已知，是两个不平行的向量，向量，，，求证：A，C，D三点共线； （2）已知，满足，，，求. 5．（22-23高一下·上海虹口·期中）已知向量是同一平面内的两个向量，其中． (1)若，且与垂直，求与的夹角； (2)若，向量满足，且，求的值． 类型七、垂直关系的向量表示 1．已知、均为非零向量，有下列四个命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的必要且不充分条件； ③已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ④“”是“”的既不充分也不必要条件． 其中命题正确的个数(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·上海浦东新·期中）是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 4．（23-24高一下·上海·期中）若均为单位向量，下列结论中正确的是 （填写你认为所有正确结论的序号） （1）若且，且，则的取值范围为； （2）若且，且，则的取值范围为； （3）若且对任意实数恒成立，则的最小值为； （4）若且对任意实数恒成立，则的最小值为. 5．已知三个互不相同的平面向量|，与夹角为，与夹角为，与夹角为． （1）求证：； （2），求的范围． 一、填空题 1．（22-23高一上·上海浦东新·期中）给定两个长度为1的向量，且它们的夹角均为，若动点在以点为圆心的单位圆的圆弧上，若，则的取值范围为 . 2．已知两个单位向量、的夹角为，若向量，则 . 3．（22-23高一下·上海杨浦·期中）在锐角三角形ABC中，，，点O为△ABC的外心，则的取值范围为 . 4．设锐角的外心为O，且，，则 ． 5．（23-24高一下·上海奉贤·期中）在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则 . 二、解答题 6．已知向量､的夹角为，且，设，. (1)求； (2)试用来表示的值； (3)若与的夹角为钝角，试求实数的取值范围. 7．（23-24高一下·上海·期末）如图，已知是边长为2的正三角形，点是边的四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为边上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 8．（23-24高一下·上海·期末）已知为等腰直角三角形，且，．点是的内部（包括的三条边）不同的点．记集合，若集合是集合的一个非空子集，向量表示集合中所有元素的和． (1)若点是斜边的等分点，试求（用含的式子表示） (2)证明对于任意的集合，存在的两个非空子集满足以下条件：①，；②且. 9．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 10．如图所示：点是所在平面上一点，并且满足，已知. (1)若实数，求证：是的重心； (2)若是的外心，求的值； (3)如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求. 11．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设． (1)求的长度； (2)若，求的值； (3)若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数． 试卷第1页，共3页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$