仿真模拟卷02-【大题精做】冲刺2025年高考数学大题突破+限时集训（新高考通用）

2025年高考数学仿真模拟卷02（新高考通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．132 B．88 C．44 D．33 4．在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 5．北京故宫博物院成立于1925年10月10日，是在明朝、清朝两代皇宫及其收藏的基础上建立起来的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．2025年北京故宫博物院将迎来建院100周年．用2025，100，2，0，2，5这6个数可以组成的不同的11位数的个数为（    ） A．594 B．300 C．294 D．297 6．某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（    ） A．样本中层次的女生比相应层次的男生人数多 B．估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小 C．层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等 D．样本中层次的学生数和层次的学生数一样多 7．已知定义在上的函数满足，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数为奇函数 C．函数有2个零点 D． 8．已知抛物线 的焦点为 为抛物线上的两点，满足 ，线段 的中点为 到抛物线 的准线的距离为 ，则 的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．函数在上为增函数 C．是的一个对称中心 D．函数的图像关于轴对称 10．已知曲线，则（    ） A．直线与曲线相切 B．若直线与曲线相切，则 C．当曲线与曲线都相切时， D．当时，若过原点可作曲线的两条切线，则或 11．给定数列，定义差分运算：．若数列满足，数列的首项为1，且，则（    ） A．存在，使得恒成立 B． C．对任意，总存在，使得 D．对任意，总存在，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为 ． 13．已知，则 . 14．在正三棱锥中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数，，为函数的导函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若任意，恒成立，求a的取值范围． 16．（15分） 如图，在三棱柱中，，， (1)求证：； (2)侧棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由. 17．（15分） 在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若. （i）求； （ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 18．（17分） 如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 19．（17分） 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. (1)求双曲线E方程； (2)过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 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(1)求角的大小； (2)若. （i）求； （ii）过边上一点作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）对所给条件切化弦，结合三角形内角和以及正弦定理化简可求出，从而求出角的大小； （2）（i）由三角形内角和可求出，结合正弦定理可求出边；（ii）法一：根据直角三角形角的关系可设，则均可用表示，余弦定理计算，结合二次函数的性质可求出最小值；法二：由，可知四点共圆，从而表示，转化为求最小值，数形结合，当时，最小，在直角三角形中求出最小值即可求出最小；法三：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，求出点坐标，利用两点距离公式可求出最小值. 【详解】（1）在中，.（1分） 由及正弦定理得，，（2分） 整理得.（3分） 由于，则.（4分） 又，故.（5分） （2）（i）在中，，且，（6分） 由正弦定理得，，即，（7分） 得.（9分） （ii）由于，则与互补，故.（10分） 设，则， ，（11分） 则（12分） .（14分） 当时，取得最小值为.（15分） 18．（17分） 如图，甲、乙、丙、丁按顺时针方向依次围坐在圆桌周围玩掷骰子游戏，规定：每次随机掷3枚骰子，观察骰子向上的点数，第一次由甲掷骰子．若掷出的骰子中没有点数大于3的骰子，则下一次由甲继续掷骰子；若掷出的骰子中有1枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第1个人，即下一次由乙继续掷骰子；若掷出的骰子中有2枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第2个人，即下一次由丙继续掷骰子；若掷出的骰子中有3枚点数大于3的骰子，则将骰子按顺时针方向交给甲后面的第3个人，即下一次由丁继续掷骰子．记第二次掷骰子的人为A（A为甲或乙或丙或丁），若A掷出的骰子中有i枚点数大于3的骰子，则按顺时针方向数，第三次由A后面的第i个人掷骰子（若i=0，则第三次由A继续掷骰子）．此后每次掷骰子由此类推． (1)分别求出第二次由甲、乙、丙、丁掷骰子的概率； (2)记前三次中甲掷骰子的次数为X，求X的分布列及期望； (3)记第n次由甲掷骰子的概率为，第n次由丙掷骰子的概率为，证明：当时，． 【答案】(1)，，，． (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】(1) 由独立事件的概率乘法公式求解； (2) 的取值可能为1，2，3，依次求出概率即可计算数学期望； (3) 记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①， ②．两式相加即可求解． 【详解】（1）记为掷出的骰子中有枚点数大于3的骰子的概率， ．（1分） 第二次由甲掷骰子的概率． 第二次由乙掷骰子的概率． 第二次由丙掷骰子的概率． 第二次由丁掷骰子的概率．（5分） （2）的取值可能为1，2，3 前三次中甲掷骰子的次数为3，即第二，三次均由甲掷骰子，其概率为（6分） 前三次中甲掷骰子的次数为1，即甲第二，三次均没有掷骰子， 分三种情况：第二次乙郑骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丙掷骰子且第三次甲没有掷骰子； 第二次丁掷骰子且第三次甲没有掷骰子． 其概率为．（7分） 前三次中甲掷骰子的次数为2的概率为，（8分） 的分布列为 1 2 3 （9分） ．（10分） （3）证明：记第次由乙掷骰子的概率为，记第次由丁掷骰子的概率为， ①，（12分） ②．（14分） ②+①得．（16分） 因为，所以． 故当时，．（17分） 19．（17分） 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切. (1)求双曲线E方程； (2)过的直线l与双曲线E交于M，N两点， ①若，求的面积取值范围： ②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）根据直线与圆相切，及离心率的定义可解； （2）①设直线l的方程为，联立方程组，利用韦达定理和三角形面积公式求的面积，再利用函数性质求最值； ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为，联立方程组得，利用韦达定理求出MN的中点坐标，再由菱形性质求出PQ的直线方程，从而确定点Q的坐标，又点Q在双曲线上，代入可求 ，与题意不符，得解. 【详解】（1），（1分） 圆：，因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 即，（2分） 即，又，且，（3分） 所以，所以双曲线E的标准方程为；（4分）    （2）①设直线l的方程为， 代入，得， 设，所以，（5分） 则，（6分） 因为，所以，所以（7分） 即，所以，（8分） 令，所以，（9分） 又因为在上递减，所以：（10分） ②假设存在两点，使得四边形PMQN为菱形，直线l的方程为， 联立，得， 所以，（11分） 由题，设MN的中点为， ，（12分） 所以PQ的直线方程：，（13分） 所以，因为Q在双曲线上， 所以，即，（15分） 令，即，即，（16分） 即，所以，即，与题意不符， 因此不存在P、Q两点，使得四边形PMQN为菱形.（17分）    ( 1 / 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$