专题05 平行四边形单元过关【基础版】-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

专题05 平行四边形单元过关（基础版） 考试范围：第18章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在五金玻璃店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，李凯告诉小敏只需要带上两块碎玻璃就行，所带的玻璃编号应该是（  ） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 3．如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 6．如图，四边形和四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，矩形中，，点E在上，．P、Q分别是上的两个动点，沿翻折形成，连接，则的最小值是 ． 12．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点的坐标是 ． 13．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 14．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当与相似时， ．    15．如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点，连接，，，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 17．如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形平行四边形； (2)求的长． 18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts， (1)当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状； (2)当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？ 19．如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 20．如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． (1)求证∶四边形 是矩形； (2)若 ，求的长． 21．如图，有一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于E，交边于F，连接和． (1)求证：四边形 是菱形． (2)若 的面积为 ，求的周长． 22．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 23．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平行四边形单元过关（基础版） 考试范围：第18章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．矩形的邻边相等 B．菱形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补 D．对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形性质理解、利用菱形的性质证明、正方形的判定定理理解 【分析】根据矩形，菱形，平行四边形的性质，正方形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A、矩形的邻边不一定相等，不符合题意． B、菱形的对角线互相垂直，不符合题意． C、平行四边形的对角相等，不符合题意． D、对角线互相垂直的矩形是正方形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形的性质，正方形的判定，熟记性质与判定方法是关键． 2．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在五金玻璃店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，李凯告诉小敏只需要带上两块碎玻璃就行，所带的玻璃编号应该是（  ） A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【答案】D 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】解：只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D 3．如图，在中，，于点E，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平行四边形的性质求解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质，掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形的性质，可得，再根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：在中， ， ， ， 故选B． 4．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求面积、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线的性质，识别出为斜边上的中线是解题关键． 根据菱形的面积和性质求出的长度，再结合和菱形的性质识别出为斜边上的中线，即可得出结果． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点O，， ∴，， ． ∵， ∴． ∵于点H， ∴为斜边上的中线． ∴． 故选：C． 5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6．如图，四边形和四边形是平行四边形，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图， ∵四边形和四边形是平行四边形， ∴，，故A，D不符合题意； ∴，， ∴，故B不符合题意； 根据题干条件无法判断，故C符合题意； 故选C 7．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：D． 8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证△AEF≌△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x． 【详解】解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置， ∴AE = AB，∠E =∠B ＝∠Ｄ =90°， 又∵四边形ABCD为矩形， ∴AB = CD， ∴AE = DC， 而∠AFE =∠DFC， ∵在△AEF与△CDF中， ∴△AEF≌△CDF（AAS）， ∴EF = DF； ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD = BC = 6，CD = AB = 4， ∵△AEF≌△CDF， ∴FC = FA， 设FA = x，则FC = x，FD = 6﹣x， 在Rt△CDF中，CF2 = CD2 + DF2， 即x2=42+（6﹣x）2，解得x =， 则FD = 6﹣x =． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理． 9．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质证明、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形面积，多边形内角和问题等等．先求出，，再由折叠的性质得到，，，即可利用证明即可判断①；设，则，在中，，，，由勾股定理可得，求得的值，即可判断②；分别求出两个三角形的面积即可判断③；在五边形中，由，得到，即可判断④． 【详解】解：∵在正方形中，，， ∴，， ∴，， ∵将沿对折至， ∴，，， 又∵， ∴，故①正确； ∴，， 设，则， 在中，，，， 由勾股定理可得， 解得，此时，则，满足条件，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 在五边形中，， 即， ∴，故④正确； ∴正确的有4个， 故选：D． 10．在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（    ） A．甲错 B．乙错 C．丙错 D．都对 【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质求线段长、相似多边形 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．如图，矩形中，，点E在上，．P、Q分别是上的两个动点，沿翻折形成，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当共线时，的值最小，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，， 则，， 在中，，， ， ， ， 是定值， 当共线时，的值最小，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 12．如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则顶点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，先求出，轴，再由平行四边形的性质得到，则轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴轴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 【答案】4 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到长，然后根据勾股定理求出长时解题的关键． 【详解】解：∵在中，是边的中点， ∴， ∴， 又∵是的中点， ∴， 故答案为：． 14．如图，在矩形中，，，是的中点，连接，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处，当与相似时， ．    【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查矩形，相似三角形，折叠，勾股定理的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据题意，求出，，根据勾股定理求出的值，根据折叠的性质，可得设，则，分类讨论：当；当时，根据相似三角形的判定和性质，求出，即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的中点 ∴， ∴， ∵沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上的点处， ∴， 设，则， 当， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 15．如图，在中，的周长是8，于点于点，且点是的中点，则等于 ． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的性质即可求出答案．本题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练运用直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，本题属于中等题型． 【详解】解：，， 是的中线，， 是的中点， 是的中位线， 设， ， ，点是的中点，点是的中点， ，， 的周长为8， ， ， ， 由勾股定理可知：， 故答案为： 评卷人 得分 三、解答题 16．如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点，连接，，，．      (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，等边对等角，等边三角形的判定和性质，勾股定理， （1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线推出，再证明，得到，由此证得四边形是平行四边形．     （2）证明为等边三角形，利用四边形是平行四边形，得到，利用勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，平分， ∴，．     ∴． ∴． ∴．     ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴，．     ∴． ∴．      即． ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知． ∵， ∴为等边三角形．     ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴．     ∵， ∴． ∴在中，． 17．如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接． (1)求证：四边形平行四边形； (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，再利用平行四边形的判定方法得出答案； （2）利用等边三角形的性质结合平行四边形的性质得出，进而求出答案 ． 【详解】（1）证明：、分别为、的中点， 是的中位线， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 为的中点， 等边的边长是4， ，，， ． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质、 三角形中位线定理等知识， 正确掌握平行四边形的性质是解题关键． 18．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24cm，AB＝8cm，BC＝26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动．设运动时间为ts， (1)当t＝6.5s时，试判断四边形ABQP的形状； (2)当t为何值时，PQ截四边形ABCD的两部分有一个平行四边形？ 【答案】(1)四边形ABQP为平行四边形 (2)t＝6.5或6 【知识点】证明四边形是平行四边形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据题意得到，根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）分四边形为平行四边形、四边形 为平行四边形两种情况，根据平行四边形的性质定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，， 则， 当时，，， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）可知：当时，四边形为平行四边形， 当时，四边形为平行四边形， 此时，， 解得：， 综上所述，当或时，截四边形的两部分有一个平行四边形． 【点睛】本题考查的是梯形、平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 19．如图，在正方形纸片中，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上． (1)试判断与的数量关系并证明你的结论； (2)若，，则的长为________． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题 【分析】（1）先根据折叠性质得到、关于对称，结合正方形性质推得后用“角边角”证即可求解； （2）由折叠性质得，由勾股定理得后利用全等三角形性质和三角形面积公式求得，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：，证明如下： 根据折叠性质得：、关于对称， 即，且平分， ， ， 正方形中，，， ， ， 在和中， ， ， ． （2）解：平分， ， 中，， ， ，，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是折叠性质、正方形性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是善于利用折叠性质得出垂直且平分． 20．如图，的对角线 相交于点O，点E是的中点，于点 G，于点 F，连接． (1)求证∶四边形 是矩形； (2)若 ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、利用平行四边形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先得出，又，则四边形为平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由矩形的性质和三角形中位线定理得，，则，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）证明∶四边形是平行四边形， 是对角线的中点， 是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， ， 四边形是矩形； （2）解∶四边形是平行四边形， ， 是的中点， ， 由（1）知，四边形是矩形， ， 在中， ， 四边形是矩形， ， 是的中点，O 是的中点， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 21．如图，有一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于E，交边于F，连接和． (1)求证：四边形 是菱形． (2)若 的面积为 ，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质可得，，，根据平行线的性质可得，进而由等角对等边可得，由等量代换可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定证明即可； （2）由菱形的性质得，利用勾股定理可得，进而可得，由的面积为 ，可得，即可求得，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点A与点C重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）可得，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的面积为 ， ∴，即， 把②代入①得，， 即， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式及求算术平方根，熟练运用矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 22．（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD； （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）108. 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明△CBE≌△CDF，从而得出CE=CF； （2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，根据（1）知∠BCE=∠DCF，即可证明∠ECF=∠BCD=90°，根据∠GCE=45°，得∠GCF=∠GCE=45°，利用全等三角形的判定方法得出△ECG≌△FCG，即GE=GF，即可得出答案GE=DF+GD=BE+GD； （3）过C作CF⊥AD的延长线于点F．则四边形ABCF是正方形，设DF=x，则AD=12-x，根据（2）可得：DE=BE+DF=4+x，在直角△ADE中利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）如图1，在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF， ∴CE=CF； （2）如图，延长AD至F，使DF=BE，连接CF， 由（1）知△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD， 即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°， ∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG， ∴GE=GF， ∴GE=DF+GD=BE+GD； （3）如图：过点C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝90°， ∵∠A＝∠B＝90°，FC⊥AD， ∴四边形ABCF是矩形，且AB＝BC＝12， ∴四边形ABCF是正方形， ∴AF＝12， 由（2）可得DE＝DF＋BE， ∴DE＝4＋DF， 在△ADE中，AE2＋DA2＝DE2， ∴（12−4）2＋（12−DF）2＝（4＋DF）2， ∴DF＝6， ∴AD＝6， ∴S四边形ABCD＝ (AD＋BC)×AB＝×(6＋12)×12＝108． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及正方形的性质，解决本题的关键是注意每个题目之间的关系，正确作出辅助线． 23．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上，且，与的延长线交于点，与的延长线交于点，连接．    (1)求证：． (2)若正方形的边长为8，为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质证明 【分析】（1）根据正方形的性质求出，，然后证明即可得； （2）过点O作于点H，连接，由正方形的边长为8且E为的中点可得，，根据勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点H，连接，    ∵正方形的边长为8， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$