微专题02 四边形的动点、最值问题通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

微专题02 四边形的动点、最值问题通关专练 一、单选题 1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为(    ) A．4 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题 【分析】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQ⊥BC时，PQ的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ中，可求得答案． 【详解】当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大， 当PQ⊥BC时，PQ的值最小， ∴PQ=8，∠Q=90°， 在Rt△ACQ中， 在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x， ∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2 解之：x=10. 故答案为：B． 【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况． 2．如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 【分析】过点M作NH⊥BD于点H，设PH=x，易得BH=HM=，BO=，HO=，ON=，由tan∠OPN=tan∠MPH，得，分两类情况：①当点P在线段BH上时，②当点P在线段DH上时，分别列出方程，求出x的值，进而求出答案. 【详解】过点M作NH⊥BD于点H，设PH=x， ∵在正方形中， ∴∠OBC=45°，即：∆BOC和∆HBM是等腰直角三角形， ∵，BC=， ∴BH=HM=3÷=，BO=4÷=， ∴HO=-=， ∵是的中点， ∴ON=OA=OB=， ∵对角线平分， ∴tan∠OPN=tan∠MPH， ∴， ①当点P在线段BH上时，如图1，，解得：x=（舍去）， ②当点P在线段DH上时，如图2，，解得：x=， ∴PH=，OP=-=， ∴PN=， PM=， ∴=， 故选A 图1                            图2 【点睛】本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义，作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数的定义列方程，是解题的关键. 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(    ) A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即EF=OE+OF． 【详解】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠C=90°， ∵点F是CD中点，点O是BC的中点， ∴CF=，CO=2， ∴OF==， ∵点O是Rt△BCE的斜边BC的中点， ∴OE=OC=2， ∵根据三角形三边关系可得：OE+OF≥EF， ∴当点O，点E，点F共线时，EF最大值为OE+OF=2+=， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键． 4．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】设，，，，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以，，根据 ，化简后得，F为BC上一动点，x是变量，是x的系数，根据平不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断． 【详解】解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形， ∴，， 设，，，， ∴ ∵F为BC上一动点， ∴x是变量，是x的系数， ∵不会随点F的位置改变而改变，为固定值， ∴x的系数为0，bc为固定值， ∴， ∴， ∴E是AB的中点， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键． 5．如图，正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知BE＝AB＝8，连结BP，依据正方形的对称性可知PB＝PD，则PE+PD＝PE+BP．由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值为BE的长． 【详解】连结BP． ∵四边形ABCD为正方形，面积为64， ∴正方形的边长为8， ∵△ABE为等边三角形， ∴BE＝AB＝8． ∵四边形ABCD为正方形， ∴△ABP与△ADP关于AC对称． ∴BP＝DP． ∴PE+PD＝PE+BP． 由两点之间线段最短可知：当点B、P、E在一条直线上时，PE+PD有最小值，最小值＝BE＝8． 故选B． 【点睛】本题考查的是正方形的性质和轴对称−最短路线问题，熟练掌握求最短路线问题的方法是解题的关键． 6．如图，正方形的边长为4，点是上一点，是上一点，是上一动点，且，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】作关于直线的对称点，连接，则即为所求，过作于，在△中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，则即为所求， 过作于， 在△中， ，， 所以． 故选：． 【点睛】本题考查的是最短线路问题，正方形的性质等知识，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】连接EC，PC，由AP＋PE＝PC＋PE≥EC得EC就是AP＋PE的最小值，求出EC即可． 【详解】解：如图，连接EC，PC， ∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC， ∴EC就是AP＋PE的最小值， ∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点， ∴CD＝4cm，ED＝2cm， ∴CE＝， ∴AP＋PE的最小值是2cm． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、最短路径问题，解决此题的关键是将AP＋PE转化为PC＋PE． 8．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为(　　) A．(3，4)或(2，4) B．(2，4)或(8，4) C．(3，4)或(8，4) D．(3，4)或(2，4)或(8，4) 【答案】D 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【详解】分析：此题分二种情况（1）OD是等腰三角形的底边时，（2）OD是等腰三角形的一条腰时，①若点O是顶角顶点时，②若D是顶角顶点时，分别进行讨论得出P点的坐标，再选择即可． 详解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5； （2）OD是等腰三角形的一条腰时： ①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 在直角△OPC中，CP=， 则P的坐标是（3，4）． ②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点， 过D作DM⊥BC于点M， 在直角△PDM中，PM==3， 当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）； 当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）． 故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）． 故选D． 点睛：此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键 9．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（    ） A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8 【答案】D 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】连接PC，当CP⊥AB时，PC最小，利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接PC， ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF=PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC=8，BC=6， ∴AB=10， ∴PC的最小值为： ∴线段EF长的最小值为4.8． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答． 10．如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、四边形中的线段最值问题 【分析】的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，D取得最小值．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知E＝BE＝1，DE−E即为所求． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以BE的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，D取得最小值． 根据折叠的性质，△EBF≌△EB’ F， ∴E⊥F， ∴E＝EB， ∵ ∴E＝1， ∵，， ∴AE=3-1=2， ∴DE＝， ∴D＝-1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，D的值最小，是解决问题的关键． 11．如图，在四边形中， 点是边上的动点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】根据勾股定理可求BC的长，所以要使△PBC的周长最小，即BP+PC最短，利用对称性，作点C关于AD的对称点E，即可得出最短路线，从而求解可． 【详解】解：过点C作CG⊥AB，由题意可知四边形DAGC是矩形 ∴CG=AD=4，BG=AB-AG=AB-CD=2 ∴在Rt△BCG中， 作点C关于AD的对称点E，连接BE，交AD于点，连接 此时的周长为最小值，即 过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F 由题意可知四边形EFAD为矩形 ∴EF=AD=4，DE=CD=AF=3 ∴在Rt△EBF中， ∴此时的周长为： 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形及应用对称的性质求最短路线，掌握相关性质定理正确添加辅助线进行推理计算是解题关键． 12．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】连接PM、PN，推出∠MPN=60°+30°=90°，在Rt△PMN中利用勾股定理即可. 【详解】连接PM、PN． ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°， ∴∠APC=120°，∠EPB=60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°， ∴∠MPN=60°+30°=90°， 设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a）， ∴MN=， ∴a=3时，MN有最小值，最小值为2， 故答案选：A． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形的性质、勾股定理二次函数的性质. 13．如图，矩形中，，．点从向以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形．同时垂直于的直线也从向以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时．直线和正方形开始有公共点？（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】首先过点作于点，证明，进而得出，得出当直线和正方形开始有公共点时：进而求出即可． 【详解】解:过点作于点，由题意可知：DE=t，CM=2t ∵在正方形中，，，AB=DC=8 ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当直线和正方形开始有公共点时：， ∴，解得：， 故当经过秒时．直线和正方形开始有公共点． 故选：A． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定及性质和动点问题，掌握矩形的性质、正方形的性质、构造全等三角形的方法和行程问题公式是解决此题的关键． 14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（     ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ， 当H、P、N、Q四点共线时，MN+NP=PQ的值最小，根据勾股定理HQ，再证明△ABE≌△BCF，进而得△APB为直角三角形，由直角三角形的性质，求得PH，进而求得PQ． 【详解】解：作M关于CD的对称点Q，取AB的中点H，连接PQ与CD交于点N，连接PH，HQ， 则MN=QN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，AB∥CD，∠ABC=∠BCD=90°， 在△ABE和△BCF中, ， ∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∠AEB=∠BFC， ∵ AB∥CD， ∴∠ABP=∠BFC=∠AEB， ∵∠BAE+∠AEB=90°， ∠BAE+∠ABP=90°， ∴∠APB=90°， ∴PH=AB=2， ∵M点是BC的中点, ∴BM=MC=CQ=BC=2， ∵PH+PQ≥HQ， ∴当H、P、Q三点共线时， PH+PQ=HQ==的值最小， ∴PQ的最小值为2 -2， 此时，若N与N'重合时， MN+PN=MN=QN´+PN´=QN´+PN´=2 -2的值最小， 故答案为：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是确定PM+MN取最小值时P与N的位置． 15．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 二、填空题 16．如图，在长方形中，长为3，长为6，点从出发沿向以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发沿向以每秒2个单位的速度运动（当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动）.若运动的时间为秒，则三角形的面积为 （用含的式子表示）. 【答案】 【分析】根据动点运动的速度和时间可得：AM=t，BN=2t，利用面积差：三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN，代入可得结论． 【详解】解：由题意得：AM=t，BN=2t， ∵AB长为3，BC长为6， ∴BM=3-t，CN=6-2t，CD=AB=3，AD=BC=6， ∴三角形MND的面积=S矩形ABCD-S△ADM-S△BMN-S△DCN， =3×6-×6×t- (3−t)•2t-×3×(6−2t)， =， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形和矩形的面积，几何动点问题，正确表示三角形的面积是解题的关键． 17．在矩形中，，，点为矩形内部一动点，且，点为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】取的中点，连接，作点B关于的对称点，连接，．利用勾股定理求出OT，再利用两点之间线段最短，即可解决问题． 【详解】如图，取的中点，连接，作点B关于的对称点，连接，． ∵四边形是矩形， ∴， ∵AB=4，AD=3，四边形ABCD是矩形， ∴，BC=AD=3， ∵B，T关于对称， ∴BT=2BC=6， ∴， ∵∠DAE+∠BAE=，∠DAE=∠EBA， ∴∠EBA+∠BAE=， ∴∠AEB=， ∵OA=OB， ∴， ∵B，T关于对称， ∴BF=FT， ∴， ∴， ∴EF+BF的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称−最短问题，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 18．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是 ． 【答案】4 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】根据题意过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值． 【详解】解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD=∠AFD′， ∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=8， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2=AD′2， ∵AP′=P′D'， 2P′D′2=AD′2=64， ∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据角平分线的性质作出辅助线是解答此题的关键． 19．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】根据入射角等于反射角的定义作出图形，可知，每六次反弹为一个循环组依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】 如图，根据题意作出图形得：，，，，，，，，， 点的坐标六次一循环，经过六次反弹后动点回到出发点． 当点第次碰到长方形的边时为第个循环组的第六次反弹， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每六次反弹为一个循环依次循环是解本题的关键． 20．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为 ． 【答案】2或6． 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质，矩形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：如图1，当点A'落在CD上， ∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处， ∴AP＝A'P，AD＝A'D，∠DAP＝∠DA'P＝90°， ∴∠PA'C＝90°，且∠B＝∠C＝90°， ∴四边形PBCA'是矩形， ∴BC＝A'P＝AP＝6， ∴当AP＝6时，四边形PBCA'是矩形， 如图2，当点P，点A'，点C共线， ∵将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处， ∴AP＝A'P，AD＝A'D＝6，∠DAP＝∠DA'P＝90°， ∴A'C＝＝＝8， ∴PC＝8+A'P＝8+AP， ∵PC2＝PB2+BC2， ∴（8+AP）2＝（10﹣AP）2+36， ∴AP＝2， 故答案为2或6． 【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论解决是本题的关键． 21．如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】3+2 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题 【分析】过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，则的最小值即为PA+PE的最小值，此时，PA+PE=AE，根据勾股定理求出BP=，进而即可求解． 【详解】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E， ∵∠PCE=30°，PE⊥CE， ∴PE=PC， ∴的最小值即为PA+PE的最小值， 当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE， ∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°， ∴∠PAB=∠PCE=30°， ∴AP=2BP， ∴，解得：BP=（负值舍去）， ∴AP=， ∴PE=， ∴AE=PA+PE=+=3+2， ∴的最小值为3+2． 故答案是：3+2． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，添加辅助线，构造含30°的直角三角形，是解题的关键． 22．如图，在△ABC中，AB=，AC=，BC=，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．    【答案】 【知识点】垂线段最短、根据矩形的性质与判定求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高． 【详解】∵在△ABC中，AB=，AC=，BC= ∴AB2+AC2=18+32=50=BC2 即∠BAC=90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF=AP． ∵M是EF的中点， ∴AM=EF=AP． ∵AP的最小值为AP⊥BC时，即为直角三角形ABC斜边上的高 ∵ ∴AP= ∴AM的最小值是 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的性质及垂线段最短，根据矩形的性质将其转化为垂线段最短问题是关键． 23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ． 【答案】 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】连接MO并延长交BC于P，则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM，根据全等三角形的性质得到AM＝CP＝3，OM＝OP，求得PB＝1，过M作MN⊥BC于N，得到四边形MNCD是矩形，得到MN＝CD，CN＝DM，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AD＝4，MD＝1， ∴AM＝3， 连接MO并延长交BC于P， 则此时，PM﹣PO的值最大，且PM﹣PO的最大值＝OM， ∵AM∥CP， ∴∠MAO＝∠PCO， ∵∠AOM＝∠COP，AO＝CO， ∴△AOM≌△COP（ASA）， ∴AM＝CP＝3，OM＝OP， ∴PB＝1， 过M作MN⊥BC于N， ∴四边形MNCD是矩形， ∴MN＝CD，CN＝DM， ∴PN＝4﹣1﹣1＝2， ∴MP＝， ∴OM＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、四边形其他综合问题 【详解】分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长． 详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图， ∵△AOP为等腰直角三角形， ∴OA=OP，∠AOP=90°， 易得四边形OECF为矩形， ∴∠EOF=90°，CE=CF， ∴∠AOE=∠POF， ∴△OAE≌△OPF， ∴AE=PF，OE=OF， ∴CO平分∠ACP， ∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段， ∵AE=PF， 即AC-CE=CF-CP， 而CE=CF， ∴CE=（AC+CP）， ∴OC=CE=（AC+CP）， 当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=， 当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=， ∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2． 故答案为2． 点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质． 25．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ． 【答案】 【知识点】四边形中的线段最值问题 【分析】根据C是OB的中点，求出点的坐标，结合矩形性质得出，两点对称公式得出点；利用平行四边形的性质构造等量关系，则，由三点之间直线最短可知的值最小时，即，可得出结论． 【详解】解：连接， ∵，,为的中点， 点． ∴, ∵四边形AOCD为矩形, ∴, PH⊥OA于H， ∴， ∴， ∴四边形为矩形, ，， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵Q是点B关于点A的对称点， A（﹣4，0），B（0，4）， ∴点． ∴． 当点，，三点共线，的值最小， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形中的线段最短问题，恰当利用四边形（平行四边形）的性质定性构造等量关系，理解并掌握三角形三边关系定理（三点共线时取得最值）是解本题的关键． 三、解答题 26．如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G， （1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).     （2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.     （3）①当□OEAF是矩形时，求m的值. ②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 . 【答案】（1）（，1），（4-，-1）；（2）4；4；（3）①m=4±2，②2或6. 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、四边形中的线段最值问题、四边形其他综合问题 【分析】（1）根据中点坐标公式和对称性，分别求出点E、F的坐标. （2）由题意当EF⊥OA时，线段EF有最小值.由勾股定理可得m的值及四边形OEAF的周长. （3）①分情况讨论：当点P在线段OA上时，如图1，利用勾股定理求出HG，就可得到OH的长，然后求出OP的长；当点P在OA延长线上时， 先求出OH，然后求出OP的长即可；②分两种情况：当点P在线段OA上时，先证△AEF为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值；当点P在OA延长线上时，先证△AFE为直角三角形，然后用勾股定理列方程求出m的值. 【详解】（1）∵C(0,2),P(m,0),由中点坐标公式，得点E的坐标为(,1)，由F和E关于点G对称，可得F的坐标为(4-,-1). 故答案为(,1)，(4-,-1). （2）当EF⊥OA时，此时EG最小,则EF最小.此时点P与A重合，m=4,易知，四边形OEAF是菱形， 由勾股定理得OE=，四边形OEAF的周长为4， 故答案为4，4 （3）作EH⊥x轴于点H,    当点P在线段OA上时，如图1， Rt△EHG中，EH=1,EG=OG=2,则HG= ∴OH=2- ∴m=OP=4-2 当点P在OA延长线上时,如图2， ∴OH=2+ ∴m=OP=4+2 综上所述，m=4 ±2 ②分两种情况： Ⅰ：当P在线段OA上时，如图， ∵OEAF是平行四边形， ∴AG=OA=2, 又E () ∴ ∵折叠后与重合 ∴ 又OF∥AE, ∴ ∴ ∴EH=FH 又G为EF中点 ∴HG⊥EF ∵ ∴ ∴ ∴HE=AH ∴HE=AH=HF ∴△AEF为直角三角形，∠AFE=90° ∴∠OEG=90° ∴+= ∴+++= 解得=2 Ⅱ、当P在OA的延长线上时，如图 同理可证，EH=FH=AH, ∴∠AEF=90° ∴△AEG为直角三角形, ∴+= ∴+++= 解得=6 综上所述，m=2或6 故答案为m=2或6 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的性质、折叠、三角形的面积等知识.正确的画出图形和熟练掌握图形性质是必备的技能. 27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6.5秒 (2)四边形是矩形，理由见解析 (3)线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据点C坐标可得，根据中点定义可得，根据矩形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，即可得出的长，根据点M的速度即可得答案； （2）如图，由（1）可得，可证明四边形是平行四边形，由可得四边形是矩形； （3）当点M在点N右侧时，根据菱形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，进而可得出的长，根据点M的速度可求出t值；当点M在点N左侧时，则，利用勾股定理可求出的长，根据点M的速度即求得出t值，综上即可得答案． 【详解】（1）解：如图，∵四边形为矩形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵动点的速度为每秒个单位长度， ∴（秒）． （2）解：如图，四边形是矩形； 理由如下：由（1）可知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）解：如图，点M在点N右侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 如图，点M在点N左侧时， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：线段存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形，t的值为12.5秒或6秒． 【点睛】本题考查坐标与图形性质、矩形的判定与性质、菱形的性质及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理并灵活运用分类讨论的思想是解题关键． 28．如图，在矩形中，点是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． （1）如图①，当 时，求的长； （2）如图②，当点是的中点时，求线段的长； （3）如图③，点在运动过程中，当的周长最小时．求出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】三角形三边关系的应用、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）根据矩形的性质得到，然后根据折叠的性质得到，在中结合勾股定理即可求解； （2）连接，根据折叠的性质得到，然后根据证得，在中应用勾股定理即可求解； （3）根据折叠的性质得到，此时当最小时，的周长最小；而当共线时，最小，此时，然后在中应用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质知． 在中，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，即． （2）如图，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵沿折叠后得到， ∴， ∴． 由题易得，， 在和中 ∴， ∴． 设，则，， 在中， 由勾股定理，得， 解得，即． （3）由折叠知，，， ∴， ∴当最小时，的周长最小． 如图， 由折叠知，， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴． 在中， 由勾股定理，得， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全都和矩形的性质，其中（3）问最值问题一定要注意转化题目，比如本题就将求的周长最小值转化为求最小值． 29．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1) (2)①，② 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据菱形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）分情况讨论可知，当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可； 分三种情况讨论可知与满足的数量关系式． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ，， 垂直平分，垂足为， ， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形， 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ． （2）显然当点在上时，点在上，此时、、、四点不可能构成平行四边形； 同理点在上时，点在或上或在，在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，， 点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒， ，，即， ， 解得， 以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． 由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得； 如图，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，注意分类思想的应用． 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D． （1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形； （2）填空： ①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形； ②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②3． 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、四边形中的线段最值问题 【分析】（1）根据矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明； （2）①根据菱形的判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求解； ②根据对称性：连接ED交BC于点P，此时AP+EP＝AD，最小，再过点D作DF垂直AC的延长线于点F，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图所示： （1）∵BD∥CE，CD∥BE， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴四边形BECD是矩形； （2）①当BE的长为时，四边形BECD是菱形．理由如下： 连接ED，与BC交于点O， ∵四边形BDCE是平行四边形， 当BC和DE互相垂直平分时，四边形BDCE是菱形， BO＝BC＝3，OE＝AC＝2， ∴根据勾股定理，得 BE＝＝＝． 故答案为． ②连接AD，与BC交于点P，连接PE， 此时PD＝PE，AP+EP最小， ∴AP+PE＝AP+PD＝AD， 过点D作DF垂直于AC的延长线于点F， 得矩形ODFC， ∴CF＝OD＝2，DF＝OC＝3， ∴AF＝AC+CF＝6， ∴在Rt△ADF中，根据勾股定理，得 AD＝＝＝3． ∴AP+EP的最小值为3． 故答案为3． 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理，解题的关键是掌握矩形的判定、菱形的判定定理、勾股定理. 31．如图所示，在，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间t秒，过点D作于点F，连接、．    (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，四边形为菱形． 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）利用已知用未知数表示出，的长，进而得出； （2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案． 【详解】（1）证明：在中，，，， ． 又， ； （2）四边形能够成为菱形． 理由如下：，， ． 又， 四边形为平行四边形． ∵，，，， ∴，， ∴，， ． 若使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质以及勾股定理的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 32．已知中，.点从点出发沿线段移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点. （1）如图①，当点为的中点时，求的长； （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动的过程中，设，是否为常数？若是请求出的值，若不是请说明理由. （3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明.    【答案】（1）3；（2）6（3）BD=AM，证明见解析 【知识点】勾股定理的逆定理、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）因为速度相等和等腰三角形的已知条件，作平行线构造全等三角形，问题得以解决. （2）这类题一般结论成立，根据（1）中的思路，加上等腰三角形的性质，可以求出定值. （3）根据已知条件可以判断是等腰直角三角形，近而求出≌，得出ED=EM,即可得出结论. 【详解】（1） 如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP=CQ，                    ∵PF//AQ， ∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠PFB， ∴BP=PF， ∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC， ∴△PFD≌△QCD，       ∴DF=CD=CF， 又因P是AB的中点，PF∥AQ， ∴F是BC的中点，即FC=BC=6， ∴CD=CF=3； （2）为定值. 如图②，点P在线段AB上， 过点P作PF//AC交BC于F， 则有（1）可知△PBF为等腰三角形， ∵PE⊥BF ∴BE=BF ∵有（1）可知△PFD≌△QCD    ∴CD= ∴ (3)BD=AM                               证明：∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∵E为BC的中点 ∴ ∴, ∴， ∵AH⊥CM ∴ ∵ ∴ ∴≌ (ASA) ∴ ∴ 即： 33．如图，在长方形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设运动时间为． (1)______，______； (2)为何值时，把四边形的周长平分？ (3)另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时，的面积等于． 【答案】(1)3，3 (2) (3)或或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、几何问题(一元一次方程的应用)、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）由非负性可求a，b的值； （2）先求出，可得，可求，即可求解； （3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴； 故答案为：3，3； （2）∵， ∴， ∴， ∵把四边形的周长平分， ∴， ∴，点P在上， ∴； （3）①点P在上， ∵， ∴； ②相遇前，点P在上， ∵， ∴； ③相遇后，点P在上， ∵， ∴； ∴综上所述，当或或时，的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本题的关键． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（8，4），将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合． （1）求点E的坐标； （2）点P从O出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，井直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下．当PA =PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q．使得以点P、E、 G、 Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若不存在，请说明理由， 若存在，请求出点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）存在，点Q坐标为：，， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、勾股定理与折叠问题、根据矩形的性质与判定求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）设AE=x，根据勾股定理列方程得：，解出可得结论； （2）分两种情况：P在OA或AE上，分别根据三角形面积列式即可； （3）先根据分别计算PA和PE的长，分类讨论，当PE为边时，如图4，过G作GH⊥OC于H，设OF=y，根据勾股定理列方程可得y的值，利用面积法计算GH的长，得G的坐标，根据平行四边形的性质和平移规律可得Q的坐标；当PE为对角线时，借助中点坐标法即可求得点Q的坐标，综上即可得出点Q所有可能性． 【详解】解：（1）在矩形ABCO中，B(8，4)， ∴AB=8，BC=4， 设AE=x，则EC=x，BE=8-x， Rt△EBC中，由勾股定理得：EB2+BC2=EC2， ∴ 解得：x=5， 即AE=5， ∴E(5，4)； （2）分两种情况： ①当P在OA上时，0≤t≤2，如图2， 由题意知：，，，， ∴S=S矩形OABC-S△PAE-S△BEC-S△OPC， =8×4-×5（4-2t）-×3×4-×8×2t， =-3t+16， ②当P在AE上时，2＜t≤4.5，如图3， 由题意知： ∴S= 综上所述： （3）存在，由PA=PE可知：P在AE上 当PE为边时，如图4所示，过G作GH⊥OC于H， ∵AP+PE=5， ∴AP=3，PE=2， 设OF=y，则FG=y，FC=8-y， 由折叠得：∠CGF=∠AOF=，OA=CG， 由勾股定理得：FC2=FG2+CG2， ∴（8-y）2=y2+42， 解得：y=3， ∴FG=3，FC=8-3=5， ∴， ∴×5×GH＝×3×4， 解得：GH=2.4， 由勾股定理得：FH， ∴OH=3+1.8=4.8， ∴G(4.8，-2.4)， ∵点P、E、G、Q为顶点的四边形为平行四边形，且PE=2， ∴Q(4.8，-2.4)或(6.8，-2.4)． 当PE为对角线时，如图5所示：过点G作交CF于点H 由上述可知：，，，设 由中点坐标法可得： 解得： ∴点 综上所述：点Q的坐标为：，， 【点睛】此题考查四边形综合题，矩形的性质、翻折变换、勾股定理、中点坐标法求解、平行四边形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 35．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为___________，的取值范围为____________． （2）从运动开始，当取何值时，？ （3）从运动开始，当取何值时，？ （4）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，；（2）当时，；（3）当或时，；（4）不存在，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、证明四边形是菱形、（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】（1）过点 作 于点 ，可得四边形 是矩形，从而，，利用勾股定理即可求解；先求出两点到达端点的时间，即可解答； （2）由题意知，当时，四边形为平行四边形，则．可得，解出即可； （3）过点，作边的垂线，垂足分别为，当时，四边形为梯形（腰相等）或者平行四边形，均满足．分两种情况解答即可； （4）由（2）可得，即可解答． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， 在中， ∴； 点到达端点时，所用时间，点到达端点时，所用时间， ∵规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． ∴的取值范围为； （2）由题意知，当时，四边形为平行四边形，则． ∵，， ∴， ∴，解得． ∴当时，． （3）如图，分别过点，作边的垂线，垂足分别为， 当时，四边形为梯形（腰相等）或者平行四边形，均满足． ∵， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ， ∵，， ∴， 当四边形为梯形（腰相等）时， ， ∴．解得． ∴当时，． 当四边形为平行四边形时，由（2）知当时，， ∴综上，当或时，； （4）不存在．理由如下： 要使四边形是菱形，则四边形一定是平行四边形． 由（2）知当时，四边形是平行四边形．此时，而， ∴，即四边形不可能是菱形， ∴不存在值，使得四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合问题，平行四边形的性质和判定，以及菱形的判定，勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 四边形的动点、最值问题通关专练 一、单选题 1．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为8 ，最小值为8，则菱形ABCD的边长为(    ) A．4 B．10 C．12 D．16 2．如图，在正方形中，，与相交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为(    ) A． B．4 C．5 D． 4．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（    ） A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD的面积为64，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．6 B．8 C．9 D．12 6．如图，正方形的边长为4，点是上一点，是上一点，是上一动点，且，，则的最小值是（    ） A．4 B． C．5 D． 7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 8．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为(　　) A．(3，4)或(2，4) B．(2，4)或(8，4) C．(3，4)或(8，4) D．(3，4)或(2，4)或(8，4) 9．如图，在，，，，点P为斜边上一动点，过点P作于点，于点，连结，则线段的最小值为（    ） A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8 10．如图，在矩形中，，，在上，，是线段上的动点，将沿所在的直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C． D． 11．如图，在四边形中， 点是边上的动点，则周长的最小值为（  ） A． B． C． D． 12．如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（    ） A． B． C．4 D．3 ∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°， ∴∠APC=120°，∠EPB=60°， ∵M，N分别是对角线AC，BE的中点， ∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°， ∴∠MPN=60°+30°=90°， 设PA=2a，则PB=8﹣2a，PM=a，PN=（4﹣a）， ∴MN=， ∴a=3时，MN有最小值，最小值为2， 故答案选：A． 13．如图，矩形中，，．点从向以每秒1个单位的速度运动，以为一边在的右下方作正方形．同时垂直于的直线也从向以每秒2个单位的速度运动，当经过多少秒时．直线和正方形开始有公共点？（　　） A． B． C． D． 14．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，点F分别是边BC，边CD上的动点，且BE=CF，AE与BF相交于点P．若点M为边BC的中点，点N为边CD上任意一点，则MN+PN的最小值等于（     ） A． B．5 C． D． 15．如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 二、填空题 16．如图，在长方形中，长为3，长为6，点从出发沿向以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发沿向以每秒2个单位的速度运动（当一个点到达终点时另一个点也随之停止运动）.若运动的时间为秒，则三角形的面积为 （用含的式子表示）. 17．在矩形中，，，点为矩形内部一动点，且，点为线段上一动点，连接，，则的最小值为 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为8，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是 ． 19．如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到长方形的边时，点的坐标为 ． 20．如图，点P为矩形ABCD的AB边上一动点，将△ADP沿着DP折叠，点A落在点A'处，连接CA'，已知AB＝10，AD＝6，若以点P，B，C，A'为端点的线段（不再另外连接线段）构成的图形为直角三角形或特殊的平行四边形时，AP的长为 ． 21．如图，矩形中，，，点是边上一动点，连接、，则的最小值为 ． 22．如图，在△ABC中，AB=，AC=，BC=，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．    23．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为 ． 24．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为 ． 25．如图，在直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，4），C是OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为 ． 三、解答题 26．如图，矩形OABC中,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，OA=4,OC=2.点P（m,0）是射线OA上的动点，E为PC中点，作□OEAF，EF交OA于G， （1）写出点E,F的坐标（用含m的代数式表示）：E(_____,_____),F(______,_____).     （2）当线段EF取最小值时，m的值为______;此时□OEAF的周长为______.     （3）①当□OEAF是矩形时，求m的值. ②将△OEF沿EF翻折到△O′EF，若△O′EF与△AEF重叠部分的面积为1时，m的值为 . 27．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形为矩形，，．点E是的中点，动点M在线段上以每秒2个单位长度的速度由点A向点B运动（到点B时停止）．设动点M的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)若四边形是平行四边形，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)在线段上是否存在一点N，使得以O，E，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 28．如图，在矩形中，点是上一动点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，，． （1）如图①，当 时，求的长； （2）如图②，当点是的中点时，求线段的长； （3）如图③，点在运动过程中，当的周长最小时．求出的长． 29．已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图，连接、，求的长； (2)如图，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点自停止，点自停止，在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、单位：，，已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点E是斜边AB上的一个动点，连接CE，过点B，C分别作BD∥CE，CD∥BE，BD与CD相交于点D． （1）当CE⊥AB时，求证：四边形BECD是矩形； （2）填空： ①当BE的长为______时，四边形BECD是菱形； ②在①的结论下，若点P是BC上一动点，连接AP，EP，则AP+EP的最小值为______． 31．如图所示，在，在中，，，，点D从点C出发沿方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点运动的时间t秒，过点D作于点F，连接、．    (1)求证：． (2)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，请说明理由． 32．已知中，.点从点出发沿线段移动，同时点从点出发沿线段的延长线移动，点、移动的速度相同，与直线相交于点. （1）如图①，当点为的中点时，求的长； （2）如图②，过点作直线的垂线，垂足为，当点、在移动的过程中，设，是否为常数？若是请求出的值，若不是请说明理由. （3）如图③，E为BC的中点，直线CH垂直于直线AD，垂足为点H，交AE的延长线于点M；直线BF垂直于直线AD，垂足为F；找出图中与BD相等的线段，并证明.    33．如图，在长方形中，，，点是边上的一点，、分别长、，满足，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设运动时间为． (1)______，______； (2)为何值时，把四边形的周长平分？ (3)另有一点从点出发，按照的路径运动，且速度为，若、两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时，的面积等于． 34．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C在坐标轴上，B（8，4），将矩形沿EF折叠，使点A与点C重合． （1）求点E的坐标； （2）点P从O出发，沿折线O-A-E方向以每秒2个单位的速度匀速运动，到达终点E时停止运动，设点P的运动时间为t，△PCE的面积为S，求S与t的关系式，井直接写出t的取值范围． （3）在（2）的条件下．当PA =PE时，在平面直角坐标系中是否存在点Q．使得以点P、E、 G、 Q为顶点的四边形为平行四边形？ 若不存在，请说明理由， 若存在，请求出点Q的坐标． 35．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点，运动的时间为． （1）边的长度为___________，的取值范围为____________． （2）从运动开始，当取何值时，？ （3）从运动开始，当取何值时，？ （4）在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$