微专题01 四边形的折叠问题通关专练-2024-2025学年八年级数学下册重难考点强化训练（人教版）

微专题01 四边形的折叠问题通关专练 一、单选题 1．如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】过M作MH⊥BC于点M，由翻折得，BE=F，∠AFE=∠B，AF=AB，证明△AFM≌△MHE得ME=AM，在Rt△AMF中运用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：过M作MH⊥BC于点M， 由翻折得，△ABE≌△AFE ∴BE=FE=1，∠AFE=∠B=90°，AF=AB=3 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD//BC ∴∠AME=∠CEM 又MH⊥BC ∴MH=AB=AF=3，∠MHE=∠B=90° 在△AFM和△MHE中， ∴△AFM≌△MHE ∴ME=AM 设MF=x，则ME=MF+EF=x+1 ∴AM=x+1， 在Rt△AMF中， ∴ 解得，x=4 ∴MF=4 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解答此题的关键． 2．将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），若，则重叠部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，则，依据勾股定理即可得出的长，进而得到重叠部分的面积. 【详解】 解：如图，过作于，则， ∵， ∴， ∴， ∴中，， ∴重叠部分的面积为， 故选A. 【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后=图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等. 3．如图，将矩形直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识．解题的关键是根据折叠的性质求出，再由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：四边形时矩形，， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：C． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】首先根据已知条件求出AE，然后由折叠性质得出BH、BF，再利用勾股定理，即可得出CF. 【详解】连接BF，如图所示： ∵BC=12，点E为BC的中点， ∴BE=6， 又∵AB=8， ∴AE===10， 由折叠知，BF⊥AE（对应点的连线必垂直于对称轴） ∴BH==， 则BF=， ∵FE=BE=EC， ∴∠BFC=90°， ∴CF===， 故选：D. 【点睛】此题主要考查矩形中的折叠问题、直角三角形斜边中线定理以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题. 5．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点A落在点处，作射线，交的延长线于点F，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】矩形与折叠问题、根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形 【分析】根据折叠有：，再证明，继而可得，在中，利用勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】∵在矩形中，， ∴， ∵根据折叠有：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 解得：， 故选D． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等角对等边，勾股定理以及折叠的性质等知识，掌握折叠的性质以及勾股定理是解答本题的关键． 6．如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】矩形与折叠问题、直角三角形的两个锐角互余 【分析】根据直角三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，由矩形的性质的可得，可得即可求解． 【详解】解：由矩形的性质的可得，， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了矩形与折叠的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解． 7．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】由可求出的度数，由折叠的性质可得，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】∵， ∴． 由折叠得． ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质和平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8．如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、正方形折叠问题 【分析】由图形折叠可得，因为正方形的边长为5，，求出，在中，运用勾股定理求出，再求出． 【详解】解：由图形折叠可得， ∵正方形的边长为5，， ∴， 在中， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是找准不变的线段，利用勾股定理求解线段． 二、填空题 9．如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键． 由折叠的性质得出，，，进而可证明，因此，设，则，，求出、，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示， 四边形是矩形， ，，， 根据题意得：， ，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ； 故答案为：． 10．如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．    【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题、运用完全平方公式进行运算、折叠问题 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是本题的关键．由矩形的性质和折叠的性质可得，设，则， ，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵将矩形沿直线折叠， ∴，, ∴, 设，则， ， ∵， ∴中，， ∴， 解得 ， ∴， 故答案为：． 11．如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为 . 【答案】（）或（ ）． 【知识点】三线合一、矩形与折叠问题 【分析】连接PB，PC．分三种情况：①若PB=PC，设P（x，），过P作PH⊥x轴于H．在Rt△OPH中根据勾股定理解得x，从而确定P点坐标；②若BP=BC，则BP=1，连接OB．在Rt△OBC中根据勾股定理求出OB，从而得出P为线段OB中点，求出P点坐标；③若CP=CB，则CP=1，PO=PC，P在OC中垂线上．设P（，y），过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中根据勾股定理求出P点坐标即可． 【详解】连接PB，PC， ①若PB=PC，则P在BC的中垂线y=上， ∴设P（x，）， 如图，过P作PH⊥x轴于H， 在Rt△OPH中，PH=，OH=x，OP=1， ∴x2+=1， 解得：x1=，x2=-（不合题意）， ∴P（，）； ②若BP=BC，则BP=1，连接OB， ∵OP=1， ∴OP+PB=2， ∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB==2， ∴OP+PB=OB， ∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点． 又∵B（，1）， ∴P（，）； ③若CP=CB，则CP=1， ∵OP=1， ∴PO=PC，则P在OC的中垂线x=上， ∴设P（，y）． 过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH=，OP=1， ∴y2+=1， 解得：y1=，y2=-， ∴P（）或（）， 当点P（）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意． 故答案为（）或（ ）． 【点睛】此题考查折叠问题，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用分类思想进行分类讨论． 12．如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则BC＝ cm． 【答案】17 【知识点】矩形与折叠问题、一元一次方程解的综合应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】设A′C=xcm，先根据已知利用AAS证明△A′BC≌△DCE，得出A′C=DE= xcm，则BC=AD=（9+x）cm，A′B=AB=15cm，然后在Rt△A′BC中，由勾股定理可得BC2=A′B2+A′C2，即可得方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD=15cm，∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC， ∴∠DEC=∠A′CB， 由折叠的性质，得：A′B=AB=15cm，∠BA′E=∠A=90°， ∴A′B=CD，∠BA′C=∠D=90°， 在△A′BC和△DCE中， ， ∴△A′BC≌△DCE（AAS）， ∴A′C=DE， 设A′C=xcm，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm）， 在Rt△A′BC中，BC2=A′B2+A′C2， 即（x+9）2=x2+152， 解得：x=8， ∴A′C=8cm． ∴BC=x+9 =8+9=17cm． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．拓展的一元一次方程，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系． 13．如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了折叠的性质的应用、轨迹的应用、等腰三角形的性质等，关键是分类讨论的应用．根据，可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆，分三种情况讨论：当时，当时，时，分别求出结果即可． 【详解】解：∵， 可知的轨迹是以为圆心，为半径的圆； 当时，则在的垂直平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴此时点M在上， ∵， ∴四边形为矩形， ∴； ③∵矩形的对角线长为：， 又∵点的轨迹是以为圆心，为半径的圆； ∴的最小值为， 不能等于； 综上分析可知：的长度为或． 故答案为：或． 14．在矩形中，，点E是边的中点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M，则的长为 ．    【答案】/ 【知识点】矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】根据中点的性质可得，根据利用矩形的性质可得，推出，从而证明，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵点E是边的中点， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ 设， ∴ ∵ ∴，解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了中点的性质，利用矩形的性质，折叠的性质，等角对等边，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上性质是解题的关键． 15．如图，将长，宽的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则DF的长为 ．    【答案】3 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】利用折叠的性质与勾股定理建立方程得到的值，进一步求出，即可求解． 【详解】解：如图，∵矩形纸片折叠后点A与C重合， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得， ∵矩形的边∥， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了矩形的折叠，解题关键是掌握折叠的性质和利用勾股定理解三角形． 16．如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质得到，证明，则，设，则，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、矩形与折叠问题、利用平行四边形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明和全等，根据全等三角形对应角相等即可得证； （2）连接，根据点是的中点以及翻折的性质可以求出,然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （3）利用平行四边形的性质，首先得出， ，进而得出，再推出,即可得出结论． 【详解】（1）四边形是平行四边形， . 在和中， 平行四边形是矩形． （2）． 理由如下：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵沿折叠后得到， ∴， ∴， ∵在矩形中， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴； （3）（2）中的结论仍然成立． 证明：如下图，连接，    ∵是的中点， ∴， ∵将沿折叠后得到， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形为平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 即（2）中的结论仍然成立． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及折叠的性质是解题的关键． 18．如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，沿DE将折叠得到，延长EF交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH. （1）求证：GF=GC； （2）探求BH与AE数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）根据对称得△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论； （2）作如图辅助线，构建全等三角形，证明△ADE≌△PEH，得AD=PE，AE=PH，再说明△BPH是等腰直角三角形，即可得结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴DA=DC，∠A=∠C=90°， ∵沿DE将折叠得到， ∴△ADE≌△FDE， ∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°， ∴∠DFG=90°， 在Rt△DFG和Rt△DCG中， ， ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF=GC； （2）， 理由如下：过点H作HP⊥AB，垂足为P， 由（1）知，∠ADE=∠FDE，∠FDG=∠CDG， ∵∠ADC=90°， ∴∠EDG=45°， ∵EH⊥DE， ∴是等腰直角三角形， ∴DE=EH， ∵∠ADE+∠AED=∠AED+∠PEH=90°， ∴∠ADE=∠PEH， 在△ADE和△PEH中， ， ∴△ADE≌△PEH， ∴AD=PE，AE=PH， ∴AD=AB=EP， ∴AE=BP=PH， ∴△BPH为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的折叠问题，全等三角形的判定定理和性质定理，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是作出辅助线、利用正方形的性质证明三角形全等． 19．如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点E处，过点E作交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】矩形与折叠问题、证明四边形是菱形、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）连接交于H，先根据，，判定四边形DFEG是平行四边形，再根据，即可得出四边形是菱形； （2）根据条件得到，，再根据中，，运用射影定理即可得到，进而得出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接交于H，    由折叠可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵中，， ∴， 即． ∵四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，菱形的判定和性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等． 20．问题提出： （1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长． 问题解决： （2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．    【答案】（1）；（2）存在最大值，最大值为， 【知识点】矩形与折叠问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）翻折的对应边等，勾股定理计算，求出，再设，在三角形中用勾股定理建立方程计算即可求； （2）利用三角形中线和折叠得到、、、共圆，得到平行，′的面积转换为的面积，从而面积最值转换为角的最值． 【详解】解：（1）将沿所在直线翻折得， ∴，， 在矩形中，，， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， 设，则， ∴由勾股定理得， ∴ ， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵，为斜边上的中线，， ∴， ∵沿所在直线翻折，点的对应点为， ∴，， ∴以为圆心，为半径的圆，、、、在同一圆上． ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴与同底，等高， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时，， 综上，′的面积存在最大值，最大值为，． 【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积等知识，四点共圆，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．在矩形中，，，点是边上一动点（不与点B、C重合），将沿直线折叠得到，直线交直线于点． (1)如图1，当点是的中点时，求的值； (2)如图1，连接，求周长的最小值； (3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；． 【答案】(1) (2)12 (3)见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、矩形与折叠问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）根据折叠得出，，，，，证明，设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （2）根据折叠得出，，由的周长为：，为定值，得出当最小时，的周长最小， 根据，得出当、、C在同一直线上时，最小，求出最小值即可； （3）取的中点Q，连接，，，先证明四边形为平行四边形，得出，，证明，得出，根据等腰三角形的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可知，，，，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （2）解：根据折叠可知，，， 的周长为：， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵，为定值， ∴当、、C在同一直线上时，最小， ∵， ∴的最小值为， ∴的周长最小值为． （3）解：取的中点Q，连接，，，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵Q为的中点，为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的判定和性质． 22．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处． （1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长． （3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长． 【答案】（1）18；（2）CE的长为；（3）CG的长为． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAC=36°，根据折叠的性质得∠DAE=18°； （2）根据 矩形性质得∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6，根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝ED，根据勾股定理得BF=8，则CF=2，设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x，根据勾股定理得，解得：，即CE的长为； （3）连接EG，，由题意得DE＝CE，由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE，则∠EFG＝∠C=90°，由HL得Rt△CEG≌Rt△FEG，则CG＝FG，设CG＝FG＝y，则AG＝10+y，BG＝10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得，解得，即CG的长为． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， ∴∠DAC=90°-∠BAC=90°-54°=36°， ∵△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处， ∴∠DAE=∠EAC=∠DAC=×36°=18°， 故答案为：18； （2）∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，CD＝AB＝6， 由折叠的性质得：AF＝AD＝10，EF＝ED， ∴， ∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2， 设CE＝x，则EF＝ED＝6﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得： ， 解得：， 即CE的长为； （3）解：如图所示，连接EG， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 由折叠的性质得：AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，FE＝DE， ∴∠EFG＝∠C=90°， 在Rt△CEG和Rt△FEG中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△FEG（HL）， ∴CG＝FG， 设CG＝FG＝y，则AG＝AF+FG＝10+y，BG＝BC﹣CG＝10﹣y， 在Rt△ABG中，由勾股定理得： ， 解得：， 即CG的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． 23．有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开 （如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）. 请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论． （2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP 【答案】（1）△BMP是等边三角形. （2） 【知识点】矩形与折叠问题 【分析】（1）连接AN，可证△ABN为等边三角形，可求得∠ABM=∠NBM=30°，则可求得∠PBM=∠BMP=60°，可证得△BMP为等边三角形； （2）由题意可知BC＞BP，在Rt△BNP中，可求得a=BPcos30°，则可找到a、b满足的关系. 【详解】（1）△BMP是等边三角形， 证明如下：如图1，连接AN， ∵EF垂直平分AB， ∴AN=BN， 由折叠可知AB=BN， ∴AN=AB=BN， ∴△ABN为等边三角形， ∴∠ABN=60°， ∴∠PBN=30°， ∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°， ∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°， ∴∠BMP=60°， ∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°， ∴△BMP为等边三角形； （2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边三角形BMP，则BC≥BP， 在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°， ∴， ∴， ∴， 即当时，在矩形上能剪出这样的等边三角形BMP； 24．如图1，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点． (1)求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，延长交于点．若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质，利用即可求证结论． （2）连接，利用全等三角形的性质及正方形的性质，根据，即可求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ∵由折叠得到， ∴， ∴． 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）连接，如图所示， ， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴，   ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 线段的长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件求证三角形全等，学会利用参数构建方程解决问题． 25．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长度，进而求出的长度，设，则，根据勾股定理建立方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意，， ， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在中，， ， ，解得 ． ． 26．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 【答案】(1) (2)的周长是定值24，理由见解答过程 (3) 【知识点】利用平行四边形的性质证明、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，，，再由勾股定理得，则，，然后由三角形面积即可得出结论； （2）先求，则，再由勾股定理得，然后由三角形面积求出，即可解决问题； （3）由，可求的长，从而求出． 【详解】（1）解：如图1，设与的交点为，连接， 四边形是矩形，，， ，，，，， ，， ，， ，， ， 解得：． （2）解：的周长是定值24，理由如下： 四边形是矩形， ，，， ， 连接，过点作于，如图2所示： 则四边形是矩形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，，， ， ， ， 的周长， 的周长是定值24； （3）解：如图3，连接，，， ，是等边三角形， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定，折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积等知识是解题的关键． 27．如图1，在中，，，的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足． (1)【问题发现】______°（直接写出结果，不写解答过程）． (2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形． ②若，求BE的长． (3)【问题拓展】如图2，在中，，高，，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）． 【答案】(1)45 (2)①见解析；② (3) 【知识点】正方形折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长、与角平分线有关的三角形内角和问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF=360°-90°=270°，根据角平分线的定义得到∠CFE=∠DFE，∠CEF=BEF，求得∠CEF+∠CFE=（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）①作CG⊥EF于G，则∠CGE=∠CGF=90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出CB=CD，即可得出四边形ABCD是正方形；②设BE=x，由①得四边形ABCD是正方形，求得AD=AB=8，证明Rt△CGF≌Rt△CDF，根据全等三角形的性质得到GF=DF=4，同理可得GE=BE=x，在Rt△AEF中根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ=QR，MR=HR=1，DQ=HQ，MG=DG=MP=PH=4，GR=3，设DQ=HQ=a，则GQ=4-a，QR=a+1，在Rt△GQR中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵∠EAF=90°， ∴∠AFE+∠AEF=90°， ∴∠DFE+∠BEF=360°-90°=270°， ∵FC平分∠DFE，EC平分∠BEF， ∴∠CFE=∠DFE，∠CEF=∠BEF， ∴∠CEF+∠CFE=（∠DFE+∠BEF）=×270°=135°， ∴∠ECF=180°-∠CEF-∠CFE=45°， 故答案为：45； （2）①证明：作CG⊥EF于G，如图所示， 则∠CGE=∠CGF=90°， ∵CB⊥AE，CD⊥AF， ∴∠B=∠D=90°=∠A， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠AEF，∠AFE外角平分线交于点C， ∴CB=CG，CD=CG， ∴CB=CD， ∴四边形ABCD是正方形； ②设BE=x， ∵AF=DF=4， ∴AD=8， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB=8， 在Rt△CGF与Rt△CDF中，， ∴Rt△CGF≌Rt△CDF（HL）， ∴GF=DF=4， 同理，GE=BE=x， 在Rt△AEF中，， 即， 解得：x=， ∴BE的长为； （3）如图2，把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G， 由（1）（2）及翻折的性质得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ=QR，MR=HR=1，DQ=HQ， ∴MG=DG=MP=PH=4， ∴GR=3， 设DQ=HQ=a，则GQ=4-a，QR=a+1， 在Rt△GQR中，由勾股定理得：， 解得：a=，即HQ=， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识并作出合理的辅助线是解题的关键，本题综合性强，有一定难度． 28．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使点与点重合， (1)求证：． (2)求的长． (3)折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】（1）先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝AF； （2）根据折叠的性质得到AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论； （3）先求出EG，再使用勾股定理可求出EF的长． 【详解】（1）证明：过点F作FG⊥BC于G， ∵EF是直角梯形AECD的折痕， ∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF． 又∵AD∥BC， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF； （2）解：∵将长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合， ∴AE＝CE， ∴BE＝BC−CE＝BC−AE＝8−AE， ∵∠B＝90°， ∴AB2＋BE2＝AE2， 即42＋（8−AE）2＝AE2， ∴AE＝5； （3）解：过点F作FG⊥BC于点G， 设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8−x， 在Rt△ABE中，x2＋42＝（8−x）2， 解得x＝3． 在Rt△FEG中，EG＝BG−BE＝AF−BE＝AE−BE＝5−3＝2，FG＝4， ∴EF＝． 【点睛】本题考查了翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 29．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F， (1)求证：； (2)若，，求点F到的距离； 【答案】(1)证明见详解； (2)； 【知识点】矩形与折叠问题、点到直线的距离、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据折叠性质得到，根据长方形的纸片得到，，即可得到，从而得到，即可得到证明； （2）根据长方形的纸片得到，设，根据勾股定理求出与，在中利用等积法求解即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵纸片是长方形， ∴， 设， ∵，， ∴，， 解得：， 在中， ， ∴， 解得：， ∴点F到的距离为． 【点睛】本题考查矩形折叠问题，勾股定理，等角对等边及点到直线的距离，解题的关键是利用等积法列式求解． 30．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，， (1)求B点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长； (3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长、坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用30度的所对的直角边是斜边的一半，以及勾股定理求出的长，即可得解； （2）证明，推出四边形是菱形，设，则， 勾股定理求出的长，即可得解； （3）分点在轴和点在轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ 由勾股定理得：， ∴ （2）由折叠的性质得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴四边形的周长； （3）解：由（1）可知：， ∵四边形是菱形， ∴为的中点， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ①在轴上时：设， 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； ②在轴上时：设 当为对角线时，设：， 则： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 当为边时，点在轴上，轴， ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，矩形性质，菱形的判定和性质，含30度的直角三角形．解题的关键是利用数形结合以及分类讨论的思想进行求解． 31．对给定的一张矩形纸片进行如下操作先沿折叠，如图①，使点B落边上的点处，再沿折叠、如图②这时发现点E恰好与点D重合． （1）根据以上操作，发现： ①__________； ②是__________三角形； （2）将该矩形纸片展开，如图③，沿折叠该矩形纸片，点C恰好落在上的点G处，求的度数； 【答案】（1）①；②等腰直角；（2）67.5° 【知识点】矩形与折叠问题、正方形折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）①由已知条件可以得到AD=AE，CD=AB，四边形ABEB'为正方形，从而根据正方形对角线与边长的关系可得解答； ②连接EF，则由题意可得△ECF≌△DC'F，并且通过计算可以得到CE=CF，所以可得△DFC'为等腰直角三角形； （2）由题意可得△DCE≌△DCG，从而可得AG=DG=CD=AB，再由∠BAG=45°及三角形内角和定理可以得到∠AGB的度数． 【详解】解：（1）①由题意可得：AB=AB'，BE=EB'， ∴四边形ABEB'为正方形， ∴AE=， 又有AD=AE， ∴AD=， ∴AD:CD=， 故答案为：； ②如图，连接EF， 则由题意及折叠性质可得：△DC'F≌△ECF， ∴DC'=EC，C'F=CF，DF=EF，∠C'=∠C=90°， 由①可得：EC=BC-BE=AD-CD=(-1)CD， 设CF=xCD,则EF=DF=(1-x)CD， ∴在RT△EFC中，由勾股定理可得： EC2+CF2=EF2， 即， 解之可得：x=， ∴CF= =EC， ∴C'F=DC'， ∴△DC'F为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （2）由题意得： ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查正方形、矩形、勾股定理与折叠的综合应用，熟练掌握折叠的性质、正方形的性质、矩形的性质及勾股定理的应用是解题关键 ． 32．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H. (1)求证：△ABE≌△AGF； (2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）S△ABE=． 【知识点】两直线平行内错角相等、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【详解】分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠性质，易得AB=AG，∠BAE=∠GAF，∠BEA=∠EAF=∠GFA，则可利用AAS判定：△ABE≌△AGF； （2）据折叠的性质可得AE=EC，在直角△ABE中，根据勾股定理可列方程求得BE的长，再根据三角形的面积公式计算即可． 详解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠BAD=∠BCD， 由折叠的性质得：AG=CD，∠EAG=∠BCD， ∴AB=AG，∠BAD=∠EAG， ∴∠BAE=∠GAF， 又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC， ∴∠BEA=∠EAF=∠GFA， 在△ABE和△AGF中， ∠BEA＝∠GFA ∠BAE＝∠GAF AB＝AG， ∴△ABE≌△AGF（AAS）； （2）根据折叠的性质可得AE=EC， 设BE=x，则AE=EC=8-x， 在直角△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（8-x）2， 解得：x=， 则S△ABE=AB•BE=×6×=． 点睛：此题考查了矩形的性质、折叠的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，勾股定理及三角形的面积公式等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 33．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)等腰三角形，理由见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）由四边形是矩形得到，则，由折叠可知，，则，结论得证； （2）四边形是矩形，则由折叠可知，，由（2）可知，进一步即可证明，，在中，由勾股定理得到，即，解得，则，即可得到图中阴影部分的面积． 【详解】（1）是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴由折叠可知，， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，，即， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=． 【点睛】本题考查了翻折变换-折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 34．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H． (1)求证：△HCE是等腰三角形． (2)若，求HD的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质得，再根据平行线的性质可得，即可求证； （2）根据折叠的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴△HCE是等腰三角形 （2）解：∵正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点， 由折叠的性质得，， 在Rt△CGH中，设，则 ∴， 解得， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活利用相关性质进行求解． 35．如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，，把矩形 沿着对角线所在直线翻折，点C落在点D处，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的一点，直线上是否存在一点N，使以点O，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形是菱形，见解析 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形 【分析】（1）证明，时，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． （2）四边形是菱形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． （3）有种情形，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图中， 四边形是矩形， ， ， ， 由翻折可知，， ∴， ∴，设，则， 在中，， ∴， ， ， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． （3）解：当点与重合，点与重合，四边形是平行四边形， ∵，， ， ∴， ∴， ∴，， 当四边形是平行四边形时，， 当四边形是平行四边形时， ∵， ∴，即， 当四边形是平行四边形时，同理， 当四边形是平行四边形时，同理， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，解直角三角形，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 36．如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点恰好落在点处，点A落在点处，求折痕的长是多少？      【答案】 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形的性质可得，设，则，由翻折可得，根据勾股定理求出x的值，同理求出，过点E作于点G，证明四边形为矩形，求出，，根据勾股定理求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴， 设，则， 根据折叠可知，，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 过点E作于点G，如图所示：    ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 37．综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据平行四边形的性质、折叠的性质得出，，进而证明，，可得四边形为平行四边形； （2）在中，利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算可得结论． 【详解】（1）证明：如图，分别标记， 在平行四边形中，，， ， ， 由折叠知，，，，， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； 解：由（1）得四边形为平行四边形， ， 由折叠知，， 在中，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， ． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，涉及矩形的性质，折叠的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等是解题的关键． 38．实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是__________； （2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，，求线段DF的长． 【答案】（1）正方形．（2）证明见解析部分．（3）3cm 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、矩形与折叠问题、四边形其他综合问题 【分析】（1）由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形； （2）连接，证明△△，得，便可得结论； （3）设 ，则，由勾股定理求出的值即可． 【详解】 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，第（2）题关键在于证明三角形全等，第（3）题关键证明利用勾股定理构建方程． 39．如图，在矩形中，是上一点，连接，沿折叠，点恰好落在上的点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据折叠的性质得出，根据矩形的性质得出，等量代换得出，等角对等边即可得证； （2）沿折叠，点恰好落在上的点，则，设，则，在中，勾股定理即可求解． 【详解】（1）沿折叠，点恰好落在上的点， ， 矩形， ， ， ， ； （2）矩形， ，， 沿折叠，点恰好落在上的点， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01 四边形的折叠问题通关专练 一、单选题 1．如图，在矩形中，将沿折叠得到，延长交边于点，若，，则的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 2．将一条宽度为的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为，重叠部分为（图中阴影部分），若，则重叠部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，将矩形直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．6 B．24 C．30 D．36 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，，将沿翻折，使点A落在点处，作射线，交的延长线于点F，则的长为（    ）    A．2 B． C． D． 6．如图所示，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，若，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将矩形纸片沿折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，正方形纸片的边长为5，点和点分别在边与上，将、分别沿，折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为（    ） A． B． C． D．5 二、填空题 9．如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为 ． 10．如图，在矩形，点在边上，连接，将沿直线折叠，使点刚好落在边上的点处．若，，则长为 ．    11．如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为 . 12．如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿BE翻折，点A恰好落在EC上的点A′处，则BC＝ cm． 13．如图所示，在矩形中，，，是边上的一个动点，将沿折叠得分别连接、，若为等腰三角形，则的长为 ． 14．在矩形中，，点E是边的中点，连接并延长交射线于点F，将沿直线翻折到，延长与直线交于点M，则的长为 ．    15．如图，将长，宽的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则DF的长为 ．    16．如图，在矩形中，点是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点，如果，，那么的长为 ． 三、解答题 17．定义：有一个角为直角的平行四边形是矩形．    (1)如图1，在平行四边形中，，是它的两条对角线，．请用题中矩形定义证明：平行四边形是矩形； (2)如图2，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．猜想线段与有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，将（2）中的矩形改为平行四边形，其它条件不变，（2）中的结论是否仍然成立，请说明理由． 18．如图，在正方形ABCD中，E为边AB上一点，沿DE将折叠得到，延长EF交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH. （1）求证：GF=GC； （2）探求BH与AE数量关系，并说明理由. 19．如图，将矩形沿折叠，使点D落在边的点E处，过点E作交于点G，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 20．问题提出： （1）如图，在矩形中，，，是边上的一点，连接，将沿所在直线翻折，点的对应点落在边上的点处，求的长． 问题解决： （2）如图，在中，，为斜边上的中线，将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，若，则的面积是否存在最大值，如果存在，求出面积的最大值，并求出此时，的度数，如果不存在，请说明理由．    21．在矩形中，，，点是边上一动点（不与点B、C重合），将沿直线折叠得到，直线交直线于点． (1)如图1，当点是的中点时，求的值； (2)如图1，连接，求周长的最小值； (3)如图2，延长，交的延长线于点，连接，若点，分别为，的中点，连接交于点，求证；． 22．在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处． （1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC＝54°，则∠DAE的度数为________°． （2）如图2，若点F落在边BC上，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CE的长． （3）如图3，若点E是CD的中点，AF的延长线交BC于点G，且AB＝CD=6，AD＝BC=10，求CG的长． 23．有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开 （如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）. 请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论． （2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP 24．如图1，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点． (1)求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，延长交于点．若，，求线段的长． 25．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 26．教材再现：面积法是常用的求长度法，如例图中，等腰中，．即，∵，∴是个固定值． (1)如图1，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为_________． 知识应用： (2)如图2，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．点P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若的周长是否为定值？若是，请求出的周长；若不是，请说明理由． (3)如图3，当点P是等边．外一点时，过点P分别作直线、、的垂线、垂足分别为点E、D、F．若，请直接写出的面积_________． 27．如图1，在中，，，的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足． (1)【问题发现】______°（直接写出结果，不写解答过程）． (2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形． ②若，求BE的长． (3)【问题拓展】如图2，在中，，高，，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）． 28．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片折叠，使点与点重合， (1)求证：． (2)求的长． (3)折痕的长． 29．把一张长方形的纸片沿对角线折叠，折叠后，边的对应边交于F， (1)求证：； (2)若，，求点F到的距离； 30．如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，， (1)求B点的坐标； (2)把矩形沿直线对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的周长； (3)若点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 31．对给定的一张矩形纸片进行如下操作先沿折叠，如图①，使点B落边上的点处，再沿折叠、如图②这时发现点E恰好与点D重合． （1）根据以上操作，发现： ①__________； ②是__________三角形； （2）将该矩形纸片展开，如图③，沿折叠该矩形纸片，点C恰好落在上的点G处，求的度数； 32．如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H. (1)求证：△ABE≌△AGF； (2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积． 33．如图，将矩形沿对角线翻折，点落在点处，交于． (1)试判断图中的形状，并说明理由； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 34．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，连接CE，将△CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交CD的延长线于点H． (1)求证：△HCE是等腰三角形． (2)若，求HD的长度． 35．如图1，将矩形放在平面直角坐标系中，O为原点，点C在x轴上，点A在y轴上，，，把矩形 沿着对角线所在直线翻折，点C落在点D处，交于点E． (1)求点E的坐标； (2)如图2，过点D作，交于点，交于点，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，点M是坐标轴上的一点，直线上是否存在一点N，使以点O，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，在长方形纸片中，，；将该纸片沿折叠，使点恰好落在点处，点A落在点处，求折痕的长是多少？      37．综合与实践 问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以平行四边形纸片的折叠为主题开展数学活动．已知平行四边形纸片，．如图1，将平行四边形纸片沿过点A的直线折叠，使点D的对应点F落在边上，展开后，折痕交于点E，在此基础上，继续沿过点F的直线折叠，使点B的对应点H落在上，展开后折痕交于点G，延长交于点K． 初步探究： （1）求证：四边形是平行四边形． 深入探究： （2）如图2，当平行四边形纸片是矩形，且，时，直接写出此时的长． 38．实践操作： 第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点处，得到折痕DE，然后把纸片展平； 第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点处，点落在点处，得到折痕EF，交AB于点M，交DE于点N，再把纸片展平． 问题解决： （1）如图1，填空：四边形的形状是__________； （2）如图2，线段与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若，，求线段DF的长． 39．如图，在矩形中，是上一点，连接，沿折叠，点恰好落在上的点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$