精品解析：广东省广州市2025届高三下学期综合测试（一）数学试卷

2025年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 ，结合虚部的概念可得答案. 【详解】因为，所以，所以 的虚部为1. 故选：B 2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合结合数轴推断的取值范围. 【详解】， 因，则，则实数的取值范围是. 故选：D. 3. 在平行四边形中，点是边上的点，，点是线段的中点，若，则 （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，及即可求解. 【详解】 因为点是线段的中点， 所以， 又， 所以， 所以 ， 故选：C 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出球的半径，求出圆台上下底面的半径，圆台的母线，由圆台的侧面展图形是扇环，利用圆台的侧面积公式可求圆台的侧面积. 【详解】作出示意图如图所示： 设球的半径为，由题意可得，所以是等边三角形， 所以，所以， 因为球的表面积为，所以，解得，所以， 所以， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 5. 已知点 在双曲线上，且点 到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将点 坐标代入双曲线方程中可得.求出点 坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得 的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点 在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设指数函数，在同一坐标系中作出三个函数的图象，结合函数图象即可求解. 【详解】设函数， 作出函数图象如下， 设， 对A，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，A错误； 对C，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，C错误； 因为，所以， 设， 作出函数的图象如下， 对B，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，B正确； 对D，当时，直线与函数的图象交点的横坐标为， 由函数图象可知，，D错误； 故选:B. 7. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设曲线与相邻的三个交点为，根据两角差的余弦公式，辅助角公式及正弦函数的性质求解出交点坐标，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】设曲线与相邻的三个交点为， ， 解得， 不妨取，则， 所以， 则， 由题意得为直角三角形， 所以，即，解得， 故选：A． 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于 的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得5为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当 时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即， 时等号成立， 即的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，方差，极差以及中位数的定义，代入计算，即可判断. 【详解】第一组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差为， 其极差为 ， 其中位数为： ； 第二组数据从小到大排序为：， 其平均数为， 其方差， 其极差为， 其中位数为： 所以AD正确，BC错误； 故选：AD. 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极值的定义可得，进而求出可判断A；结合函数的单调性判断B；代式计算判断C；由，可得，再结合函数的单调性可得，进而得到，再验证可得，进而判断D. 【详解】由，则， 则函数的定义域为， 则，， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 此时， 则， 令 ，得或； 令 ，得， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 则函数在处取得极大值，符合题意，即，故A正确； 由上述可知函数在上单调递减， 当时，，则，故B错误； 由， 则， ， 所以，故C正确； 因为，，则， 又函数在上单调递增，则， 所以， 又， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，半径为1的动圆沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆上的点形成的外旋轮线 ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线 上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线 上 C. 曲线 与直线有两个交点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据几何性质求解动点 的轨迹方程，A项，由两点间距离公式及三角函数有界性可得；B项，由点，利用参数方程解方程组可得；C项，联立直线与参数方程，结合三角函数图象可得交点个数；D项，由，利用均值不等式可得. 【详解】设 与 切于点，则 始终关于点对称. 所以当切点绕逆时针转动 弧度时，致使点 绕圆心也转了 弧度，， 如图，连接，，延长 与 轴交于点， 过作 轴于点， ， ， ， 则， 即曲线 的参数方程为， 为参数，. 对于A，， 上不存在到原点的距离超过的点，A错； 对于B，若在 上，则， 由①解得或0， 验证知仅当时，代入②符合，在曲线 上，故B正确； 对于C，由，将曲线 的参数方程代入得 ， 即， ， 如下图，分别作出与的大致图象， 可知两函数图象共有两个交点，故C正确； 对于D，， ， ，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及逆用和角的正弦公式求解. 【详解】由，得， 则，所以. 故答案为：. 13. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 【答案】12 【解析】 【分析】确定1，9的位置，再确定2，3的位置，最后确定余下4个数的位置，列式计算即可. 【详解】由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得 在左上角， 在右下角，如图， 排在位置，有种方法， 从余下的4个数字中任取2个按从左到右由大到小排在位置，有种方法， 最后两个数字从上到下由大到小排在位置，有1种方法， 所以填写方格表的方法共有（种）. 故答案为：12 14. 在正三棱锥 中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合正三棱锥可得 在底面 内的投影为底面的中心，且，做辅助线结合长方体的性质可得，即可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆的一部分即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥 为正三棱锥，则点 在底面 内的投影为底面的中心， 取 的中点，则，， 设点在平面 、平面 和平面 内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则 平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：， 可得，即， 又因为 平面 ，平面， 则 ，可得， 可知点在以点为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆相交， 设圆与交于两点，则， 可知为等边三角形，则， 结合对称性可知点运动路径的长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 因为， 根据正弦定理得： 又，所以， 所以， 即， 所以，或（舍）， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及和差角公式即可证明. （2）根据正弦定理求得，再根据余弦定理求出，利用面积公式求出的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据正弦定理得，即， 有余弦定理，得， 解得或， 当时，，，，则，， 而，矛盾，舍去，故， 所以的面积为 16. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形， ，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点是棱 的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为底面为矩形， ，所以， 设三棱锥的高为 ，又三棱锥的体积为， 所以，所以， 又侧面是等边三角形，且， 取的中点，连接，可得，从而为三棱锥的高， 所以 平面，又 平面，所以， 又 ，，平面， 所以 平面，又 平面 ，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）结合锥体的体积公式及面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 的中点，连接，则， 故由（1）可以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． （1）求； （2）求； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列出5人传球三次的树状图，根据概率乘法公式和加法公式得解； （2）由题意知，，根据数列的构造法求通项公式； （3）由题意知，作差法比大小. 【小问1详解】 由题意知， ， 所以； 【小问2详解】 由题意知，， 所以， 所以， 则； 【小问3详解】 由题意知， 则， 所以，（当 时取等号） 所以. 18. 已知动点 到点的距离等于它到直线的距离，记动点 的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线 与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交 轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线 共有多少条？说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明：由题可知，直线 的斜率存在且不为0，故设直线 的方程为，则直线 的斜率为， 设直线 与相交于两点，不妨设， 由得， ，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线 的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率， 所以，即直线． （ii）连接 ， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形 为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得 ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中 时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线 共有2条． 【解析】 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线 的斜率存在且不为0，故设直线 的方程为，设直线 与相交于两点，不妨设，由直线 方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形 为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【小问1详解】 由抛物线的定义得动点 的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知且 ，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． （1）判断集合是否是的子集？说明理由； （2）判断是否为集合的变换函数？说明理由； （3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 当函数 时， ， 此时函数是集合的变换函数， ∴集合是的子集. （2） 函数在定义域上单调递减， 当 时集合，其中， 假设函数为集合的变换函数， 则， 即，即， 由①-②，得， 整理后得， ∵即 ，∴ ， 而由①式易得，显然产生矛盾， 即函数不是集合的变换函数. （3） 由， 所以 ， 当 时， 由 且， 所以，，， ，，，， 所以 ， ， 取，知符合题意； 当 时，由 ， 而， 所以，，，， 所以，，，， 所以 ， 此时取知符合题意. 【解析】 【分析】（1）由题中新定义及已知集合构造一个满足定义的函数即可； （2）分析得到函数的单调性，用假设法进行判断.先假设，然后由题中定义可知，建立方程后求得的关系，推理产生矛盾，从而得到结论； （3）构造满足题意得集合和，再验证满足题中定义即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学 本试卷共5页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号. 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数 满足，则 的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 2. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，点 是边上的点，，点是线段 的中点，若，则 （ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知球的表面积为，一圆台的上、下底面圆周都在球的球面上，且下底面过球心，母线与下底面所成角为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在双曲线上，且点到 的两条渐近线的距离之积等于，则 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知实数满足，则下列不等式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，曲线与相邻的三个交点构成一个直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则（ ） A. 两组数据的平均数相等 B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差 C. 两组数据的极差相等 D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数 10. 已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当且时， 11. 如图，半径为1的动圆 沿着圆外侧无滑动地滚动一周，圆 上的点形成的外旋轮线 ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点与点重合．以下说法正确的有（ ） A. 曲线 上存在到原点的距离超过的点 B. 点在曲线 上 C. 曲线 与直线有两个交点 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 _______． 13. 将这9个数字填在的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有_______种． 14. 在正三棱锥 中，，点 在内部运动（包括边界），点 到棱的距离分别记为，且，则点 运动路径的长度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，已知． （1）求证：； （2）若，求的面积． 16. 如图，在四棱锥 中，底面为矩形， ，侧面是等边三角形，三棱锥的体积为，点 是棱 的中点． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第次传球后，球在甲手中的概率记为，球在乙手中的概率记为． （1）求； （2）求； （3）比较与的大小，并说明理由． 18. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线 ． （1）求 的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线 与 相交于两点，直线与直线相交于点 ，过点且与 相切的直线交轴于点 ． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线 共有多少条？说明理由． 19. 已知且 ，集合，其中．若存在函数，其图象在区间上是一段连续曲线，且，则称是的变换函数，集合是 的子集．例如，设，此时函数是的变换函数，是的子集． （1）判断集合是否是的子集？说明理由； （2）判断是否为集合的变换函数？说明理由； （3）若，则，试问是否存在函数，使得集合是的子集？若存在，求的解析式；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $