精品解析：四川省雅安神州天立高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

雅安天立学校高2024级2024-2025学年度下期 高2024级第一次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 2. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 3. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 6. 已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 在方向上的投影向量为 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，则____________． 13. 已知，且为第二象限角，则________. 14. 如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）当时，求的值； （2）若，求实数的值． 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 17. 已知角是第二象限角，．为第二象限角， （1）求的值： （2）求的值 （3）求的值． 18. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 19. 如图，在中，是的中点，． （1）若，，求； （2）若，求的值； （3）过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅安天立学校高2024级2024-2025学年度下期 高2024级第一次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卡共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果. 【详解】, 故选：C 2. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果. 【详解】对于A，得满足题意； 对于B，得不满足题意； C，得不满足题意； D，得不满足题意. 故选：A. 3. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 4. 已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个向量共线反向可求. 【详解】因为与的夹角为，故，故， 故选：D. 5. 中，分别是所对的边，若，则此三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，后由二倍角公式变形，再结合正弦函数性质可得． 【详解】因为，所以由正弦定理可得，即， 是的内角， 所以或， 所以或，即是等腰三角形或直角三角形， 故选：D． 6. 已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据周期计算，再根据正弦函数单调性求单调递增区间. 【详解】根据已知得，得，则， 由不等式，解得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：D. 7. 在中，，点E在上，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算将用与表示出来，再利用向量共线定理的推理即可得解. 【详解】因为，所以， 则 ， 因为三点共线，所以，解得. 故选：C 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 10. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角余弦值为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用向量减法、平行、垂直、夹角余弦值、投影向量的计算方法验证即可. 【详解】由，，则与不平行，故错误； ，，则，故正确； ，， ，故正确； ，即在方向上的投影向量为，故正确. 故选：. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 是奇函数 D. 当时，的图象与轴有2个交点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图象确定周期以及最高点，即可求解和，进而可判断AB，代入即可判断C,求解方程的根，即可求解D. 【详解】由图可知：,故， ,故，由于，则， 故，故A正确，B错误， 为偶函数，故C错误， 令，则，故， 当时，此时或故D正确， 故选：AD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，若，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算即可. 【详解】设， 若，则，则． 故答案为：. 13. 已知，且为第二象限角，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式即可求得结果 【详解】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 14. 如图，梯形，且，，，则______，E在线段上，则的最小值为______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】取平面的一个基底，利用向量线性运算及数量积的运算律求出可得；作，以为原点建立平面直角坐标系，设，利用向量的坐标运算，结合二次函数求出最小值. 【详解】在梯形中，且，，则， 于是 ，则，又，所以； 作于，以为原点，正方向为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，， 令，则， ，， 因此， 所以当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：求解平面几何中的平面向量数量积问题的常用方法有两种： ①利用平面向量线性运算将所求数量积进行转化，转化为夹角和模长已知的向量数量积的求解问题； ②建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，． （1）当时，求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的运算法则和数量积运算法则进行计算；（2）由向量垂直得到等量关系，求出实数的值. 【小问1详解】 当时，， 故， 【小问2详解】 ， ， 因为， 所以， 解得：. 所以实数的值为. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 17. 已知角是第二象限角，．为第二象限角， （1）求的值： （2）求的值 （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3）-3 【解析】 【分析】（1）利用平方关系计算可得答案； （2）求出，再由正切的二倍角公式计算可得答案； （3）由平方关系求出可得值，代入正切的两角和公式计算可得答案． 【小问1详解】 因为角是第二象限角，， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，； 【小问3详解】 为第二象限角，， 所以，， 所以． 18. 已知向量. （1）若，且，求的值； （2）设函数，求函数在区间上的最大值以及相应的的值. 【答案】（1） （2）的最大值为，此时． 【解析】 【分析】（1）根据向量共线满足的坐标关系，即可得，结合同角关系即可求解， （2）根据数量积的坐标运算，结合三角恒等变换可得，即可利用整体法求解. 【小问1详解】 ，，，，，，． 【小问2详解】 由题意得， ，， 故当时，即，取最大值， 的最大值为，此时． 19. 如图，在中，是的中点，． （1）若，，求； （2）若，求的值； （3）过点作直线分别于边、交于、两点（点、与点、不重合），设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算和向量数量积的运算律直接求解即可； （2）设,利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后计算即可求解； （3）由（2）知，利用向量线性运算可得，根据三点共线得，然后使用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 因为为中点，, 所以, 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以, 设, 则， 又因为三点共线， 所以，即. 所以, 因为, 所以，即. 【小问3详解】 由（2）可知，， 因为, 所以, 因为三点共线， 所以，， 即, 所以 ， 当且仅当时，即取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $