第二十二章 四边形（单元复习 4大旋转问题+4大新定义型问题）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十二章 四边形 01 思维导图 目录 【旋转题型】 1 旋转题型一　平行四边形中的旋转问题 1 旋转题型二　矩形中的旋转问题 7 旋转题型三　菱形中的旋转问题 13 旋转题型四　正方形中旋转问题 20 【新定义题型】 26 新定义题型一　平行四边形中的新定义型问题 26 新定义题型二　矩形中的新定义型问题 34 新定义题型三　菱形中的新定义型问题 40 新定义题型四　正方形中新定义型问题 44 【旋转题型】02 旋转题型 旋转题型一　平行四边形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 旋转题型二　矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 2．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 旋转题型三　菱形中的旋转问题 例题：如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 旋转题型四　正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 巩固训练 1．（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【新定义题型】03 新定义题型 新定义题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形．    (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是对美四边形的有______； (2)如图1，在中，，为线段的垂直平分线上一点（点位于上方），若以点为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． (3)如图2，为等腰底边上的一点，连接，过作，以为顶点作交于点，求证：四边形为对美四边形． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 新定义题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 新定义题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 新定义题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形 01 思维导图 目录 【旋转题型】 1 旋转题型一　平行四边形中的旋转问题 1 旋转题型二　矩形中的旋转问题 7 旋转题型三　菱形中的旋转问题 13 旋转题型四　正方形中旋转问题 20 【新定义题型】 26 新定义题型一　平行四边形中的新定义型问题 26 新定义题型二　矩形中的新定义型问题 34 新定义题型三　菱形中的新定义型问题 40 新定义题型四　正方形中新定义型问题 44 【旋转题型】02 旋转题型 旋转题型一　平行四边形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、坐标与图形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，旋转的性质，解题的关键在于作辅助线构造全等三角形．作轴，轴，得到，，由旋转的性质可知，，，，证明，利用全等三角形性质可得，，进而可得，即可解得点的坐标． 【详解】解：作轴于E，轴， ， ， ，， 在中，， ， 由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ，， ， 点的坐标是． 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，当首次经过顶点C时，旋转角的度数为 ． 【答案】52 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理．由旋转的性质可知，从而得到，再由旋转角，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵将平行四边形绕顶点B顺时针旋转到平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即旋转角的度数为， 故答案为：52． 2．（22-23九年级上·河北保定·期末）如图所示，将绕点A按逆时针方向旋转，得到（点与点、点与点、点与点分别对应）．若点恰好落在上，则 ． 【答案】/105度 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【知识点】利用平行四边形的性质求解、根据旋转的性质求解、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即平分； （2）解：①， 如图所示，过点作于点，    ∵平分，， ∴ ∵四边形，是长方形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点，    ∵旋转，则， ∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为 ∴ 又平分； ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 又∵旋转，则 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， ， ∴，则 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 旋转题型二　矩形中的旋转问题 例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形中，，，以点C为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点A、B、D的对应点分别是点E、F、G． (1)如图1，当点F落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图2，当点F落在矩形的边的延长线上时，连接，取的中点M，求证：； (3)如图3，当点F落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理求出，由矩形旋转可知：，即可求出线段的长； （2）利用证明，得出，，由得出，然后根据直角三角形斜边中线的性质即可得证； （3）过点作于点，在中，，由矩形旋转可知：，根据，利用三角形面积公式求出，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， 则线段的长为1； （2）证明：连接，， 旋转， ，，， ， ，， 又 ，即， M是中点， ∴； （3）解：如图，过点作于点， 在中，， 由矩形旋转可知：， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 则的面积为． 【点睛】本题考查旋转的问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，连结．      （1）如图①，当时，的长为 ； （2）如图②，点是的中点，连结，在旋转过程中，线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）连接、，根据勾股定理先求出对角线的长，再利用旋转得到，，再次利用勾股定理即可解题； （2）连接，交于点O，连接，，则，即点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，解题即可． 【详解】解：（1）连接、， ∵是矩形， ∴， 又∵，， ∴， 由旋转可得， ∴； 故答案为：；    （2）连接，交于点O，连接，， ∵是矩形， ∴， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动， 根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：， 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线，勾股定理，圆的性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 2．（2024·安徽池州·三模）已知，矩形是矩形绕点C旋转得到的，且点G落在边上． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下连接交于点H，求证：H是的中点； (3)如图3，在旋转的过程中，若C，D，F三点共线，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据旋转性质得，结合矩形性质得，再进行角的等量代换，即可作答． （2）由矩形性质得出，．结合旋转性质得，，证明，即可作答． （3）依题意，设，，，运用勾股定理得，以及，代入数值化简，即可作答． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （2）证明：如图，作于点M， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，． ∵平分， ∴． 由旋转可知，， ∴，． 在和中， ∴． ∴， ∴H为的中点． （3）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 在中，， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了旋转性质，矩形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 旋转题型三　菱形中的旋转问题 例题：如图①，菱形和菱形有公共顶点A，点，分别落在边，上，连接，． (1)求证：； (2)将菱形绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角，且，，． ①如图②，当时，则线段的长度是多少？ ②连接，当为直角三角形时，则旋转角的度数为多少度？ 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得到，从而得到，进而得到，即可求证； （2）①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解； ②分两种情况讨论：和，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得． 【详解】（1）证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：①如图，连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O， AF交EG于点P， 由（1）得当菱形没有旋转时，AC平分∠BAD，AF平分∠EAG， ∴此时点A、F、C三点共线， ∴当菱形绕点按逆时针方向旋转时， ， ∴当时，， 在菱形ABCD中，AB=AD， ，BD⊥AC， ， ∴ ∴， ∴， 在菱形AEFG中，∠EAF= ，AE=AG， ， ∵． ∴△ABD和△AEG是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∴ ， ∴AF=3， ∴AF=OD， ∴四边形AODF是平行四边形， ∴ ； ②由①得四边形AODF是平行四边形， ∵， ∴四边形AODF是矩形， ∴， 即为直角三角形， ∴此时旋转角的度数为； 如图，当点F在AD上时， 由①得AF=3， ∵AD=AB=6 ∴， ∴AF=DF， ∵△ABD为等边三角形， ∴BF⊥AD，即， ∴此时△DFB为直角三角形， ∵∠EAF= ， ∴， 即此时旋转角的度数为； 综上所述，当为直角三角形时，旋转角的度数为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在菱形和菱形中，． (1)如图1，若点分别在边上，点F在菱形内部，连接，直接写出的长度为_________； (2)如图2，把菱形绕点B顺时针旋转，连接，判断与的数量关系，并给出证明； (3)如图3，①把菱形继续绕点B顺时针旋转，连接为的中点，连接，试探究与的关系；②直接写出菱形绕B点旋转过程中的取值范围． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，交于点，交于点，根据菱形的性质，证明三点共线，求出的长，用即可求出的长度； （2）过点作，过点作，过点作，得到四边形为平行四边形，证明，得到，进而求出，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点，先证明，推出四边形为平行四边形，再证明，推出为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出的范围，进而求出的范围即可． 【详解】（1）解：连接，交于点，交于点， ∵菱形，菱形， ∴，， ∵点分别在边上， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴，， ∴， 同理：， ∴； 故答案为：； （2），证明如下： 过点作，过点作，过点作， 则：四边形为平行四边形， ∴，， ∵菱形，菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （3）①延长至点，使，连接，延长，交于点， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，，为等边三角形， ∴四边形为平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； ②∵， ∴，即：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 旋转题型四　正方形中旋转问题 例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点 是正方形 ABCD 对角线AC上一点，于点 ，于点 （1）求证：四边形是正方形． （2） ； 【规律探究】将正方形 绕点A 旋转得到图2，连接 ，， （3） 的比值是否会发生变化? 请说明理由． 【拓展应用】 如图3，在图2 的基础上，，，分别是 ，，的中点． （4）求证：四边形． 是正方形． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）不变，理由见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据正方形的性质和判定即可； （2）根据正方形的性质求解即可； （3）过作于点，过作交于点，证明四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再根据性质证明是等腰直角三角形即可； （4）根据正方形的性质和判定即可； 【详解】（1）四边形是正方形， ，平分， ，， ， ,四边形是矩形， 四边形是正方形； （2）由（1）得：四边形是正方形， 四边形是正方形， 设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ， 故答案为：； （3）不变，理由： 四边形是正方形，四边形是正方形， ，， ， ， ， 过作于点，过作交于点， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， 易得：， ，， ，即是等腰直角三角形， ， ； （4）四边形是正方形，理由： 由（3）得， ， 点，，分别是，，的中点， ， ， ， ， 四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 巩固训练 1．（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：    （）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____ 类比探究： （）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断； 拓展应用： （）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案 【答案】（），；（）（）中得到的结论仍然成立，证明见解析；（）或． 【分析】（）由四边形和四边形是正方形，可得，， ，进而得，即可由证明，得到，延长交于点，由全等三角形的性质得到，进而得到，得到，即得； （）（）中得到的结论仍然成立，同理（）证明即可求证； （）根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解； 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：（）∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：，； （）（）中得到的结论仍然成立，在图中证明如下： ∵四边形、四边形都是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （）当正方形绕点旋转到如图位置时，    连接与相交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 连接，    由（）（）可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【新定义题型】03 新定义题型 新定义题型一　平行四边形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）定义：对角线相等的凸四边形称为对美四边形．    (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是对美四边形的有______； (2)如图1，在中，，为线段的垂直平分线上一点（点位于上方），若以点为顶点的四边形是对美四边形，求这个对美四边形的面积． (3)如图2，为等腰底边上的一点，连接，过作，以为顶点作交于点，求证：四边形为对美四边形． 【答案】(1)矩形，正方形 (2)或 (3)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由“等对角线四边形”的定义，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出答案； （2）分两种情况：当点在上方时；当点在下方时，作交的延长线于；结合勾股定理、线段垂直平分线的性质、矩形的判定与性质以及三角形的面积公式计算即可得出答案； （3）连接，证明得出，结合，得出四边形为平行四边形，再推出，即可得证． 【详解】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，平行四边形、菱形的对角线不一定相等， 矩形和正方形是“等对角线四边形”， 故答案为：矩形，正方形； （2）解：如图，当点在上方时，   ，是的垂直平分线， ， ，，， ， 四边形为等对角线四边形， ， ， ； 如图，当点在下方时，作交的延长线于，   ，四边形为等对角线四边形， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ； 综上所述，这个等对角线四边形的面积为或； （3）证明：如图，连接，   ，， ， ， ， ， 在和中， ， , ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为对美四边形． 【点睛】本题考查了四边形中的新定义问题，考查了对美四边形的定义、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握对美四边形的定义是解此题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）我们定义：如图，在中，把绕点按顺时针方向旋转（得到，把绕点按逆时针方向旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． (1)特例感知：在图、图中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”． ①如图，当为等边三角形时，与的数量关系为； ②如图，当，时，则长为 ； (2)精确作图：如图，已知在四边形内部存在点，使得是的“旋补三角形”（点的对应点为点，点的对应点为点），请用直尺和圆规作出点（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明） (3)猜想论证：在图中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 【答案】(1)①；②； (2)图见解析； (3)，证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据含直角三角形的性质解答；②证明，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质计算； （）根据线段垂直平分线的性质、利用尺规作图作出点； （）证明四边形′′是平行四边形，得到，，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】（1）解：①∵是等边三角形， ∴，， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∴， ∵，是的“旋补中线”． ∴， ∴， ∴， 故答案为； ②∵是的“旋补三角形”， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴， ∵，是的“旋补中线”， ∴， 故答案为； （2）解：作线段、的垂直平分线，交点即为点， （3）解：，理由如下：如图，延长到，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在′和中， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·江西南昌·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． (1)如图1，在邻余四边形中，，则________； (2)如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； (3)如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)①平行四边形，详见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行四边形、四边形其他综合问题 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； （2）证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； （3）①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 新定义题型二　矩形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·浙江宁波·期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形． 了解性质：如图1：已知四边形中，．垂足为，则有：； 性质应用：（1）如图1，四边形是垂美四边形，若，，，则 ； 性质变式：（2）如图2，图3，P是矩形所在平面内任意一点，则有以下重要结论：．请以图3为例将重要结论证明出来． 应用变式：（3）①如图4，在矩形中，O为对角线交点，P为中点，则；（写出证明过程） ②如图5，在中，，，D是内一点，且，，则的最小值是 ． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；② 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、勾股定理等知识； （1）由勾股定理可得出答案； （2）过作于，交的延长线于，由（1）性质可知：，由勾股定理可得出答案； （3）以、为边作矩形，连接、，由矩形的性质得出，由题意得，求出，当、、三点共线时，最小，得出的最小值的最小值． 【详解】（1）解：如图1，四边形是垂美四边形， ， ，，， ， ． 故答案为：； （2）证明：过作于，交的延长线于， 由（1）性质可知：， 即： ， 又由勾股定理可知： ， ， 即； （3）解：①设，则， 由（2）可得， ， ； ②以、为边作矩形，连接、，如图所示： 则， 由题意得：， 即， 解得：， 当、、三点共线时，最小， 的最小值的最小值； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广东中山·期中）定义：如果平行四边形的一组对边之和等于一条对角线的长时，我们称这个四边形为“沙漏四边形”． (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹锐角为______度； (2)如图，在沙漏四边形中，对角线、相交于点O，满足，且，过点B、D分别作，，垂足为E、F，连接、，所得四边形也是沙漏四边形．若，求的长以及的面积． 【答案】(1)60 (2)， 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据矩形的性质与判定求角度、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据沙漏四边形即平行四边形的特征得出，，，，在根据矩形的性质得出，得出为等边三角形，即可得出夹角的度数； （2）根据四边形ABCD是沙漏四边形，得，在证，根据，，得，利用四边形BEDF是沙漏四边形，得，利用勾股定理得出，根据三角形面积计算公式即可得出结论． 【详解】（1）四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， 四边形ABCD是矩形， ， ， 为等边三角形， 故答案为：60． （2）， ， 四边形ABCD是沙漏四边形， ，，， ， ，， ，， ，，， ∵四边形BEDF是沙漏四边形， ， ， ， 在中， ， 2．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图1，在矩形中，将矩形折叠，使点B落在边（含端点）上，落点记为E．这时折痕与边或者边（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的称为矩形的“折痕三角形”．    (1)由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个“折痕”一定是______三角形． (2)如图2，在矩形中，．当点F与点C重合，画出这个“折痕”，并求出点E的坐标． (3)如图3，在矩形中，，当“折痕”面积最大的时，求出此时点F的坐标． 【答案】(1)等腰 (2)图见解析， (3)或 【知识点】坐标与图形、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据折叠的性质，即可得出结论； （2）根据题意，画出图形，利用矩形的性质，勾股定理，求出的长，即可得解； （3）分在和在上，两种情况进行求解，即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∴“折痕”一定是等腰三角形； 故答案为：等腰； （2）“折痕”，如图所示：    ∵点F与点C重合， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①当F在边上时，如图②所示，，    即当F与C重合时，此时，面积最大为4． ②当F在边上时，如图③所示，过F作交于点H，交于K，    ∵，， ∴．即当F为中点时，此时，面积最大为4． 综上：或． 【点睛】本题考查矩形与折叠，坐标与图形．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键． 新定义题型三　菱形中的新定义型问题 例题：（23-24八年级下·江苏苏州·期末）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．    (1)已知是“准直角三角形”，，若，则______． (2)如图，在菱形中，，，连接，若正好为一个准直角三角形，求菱形的面积． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分情况讨论，从或者两种情况讨论，算出的值； （2）根据菱形的性质得到，，，求得，连接交于点，根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形．求出，得到，再根据勾股定理计算出的值，最后根据菱形的面积公式计算出结果． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 解得， 当时， ， 根据三角形的内角和为， ， 综上所述，或； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， 正好为一个准直角三角形， ， ， ， ， 连接交于点， 是等边三角形，， ， ， ， 故， ， ．    【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确理解“准直角三角形”是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24九年级下·山东威海·期中）【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形． 【解决新问题】 (1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形的边上，．四边形是否为补等四边形？ （填“是”或“否”） (2)如图Ⅱ，在中，．的平分线和边的中垂线交于点D，中垂线交边于点G，连接．四边形是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由． 【答案】(1)是 (2)四边形是补等四边形，证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的性质定理 【分析】（1）连接，根据菱形性质得出再结合，通过证明，结合角的等量代换，即可作答． （2）作因为角平分线的性质 ，得出，又因为垂直平分，得出，再证明，结合角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图： ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴四边形是补等四边形， 故答案为：是； （2）解：四边形是补等四边形． 理由如下：作 ∴． ∴ ∵平分， ∴． ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴四边形是补等四边形． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 新定义题型四　正方形中新定义型问题 例题：（2024·山东济南·三模）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”． (1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 　（填序号）； (2)如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连． ①判定四边形是否为“神奇四边形” 　（填“是”或“否”）； ②如图，点分别是的中点．证明四边形是“神奇四边形”； (3)如图，点分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，若，正方形的边长为，求线段的长． 【答案】(1)④； (2)①是；②四边形是“神奇四边形”，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；②由三角形中位线定理得出，则四边形为平行四边形，再证四边形是正方形，则可得出结论； （3）延长交于，由勾股定理求出的长，设，则，再由勾股定理得，解得，即可解决问题． 【详解】（1）平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等 正方形是“神奇四边形” 故答案为：④ （2）①是 证明：四边形是正方形 在和中 又 四边形是“神奇四边形” ②解：四边形是“神奇四边形”，理由如下： 为的中点， 为的中位线， 同理：， ， 四边形为平行四边形 ， ， 平行四边形为菱形 ， ， ， ， ， 四边形为正方形 四边形是“神奇四边形” （3）解：如图，延长交于 由翻折的性质可知，， 四边形是正方形，边长为， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， 即线段的长为 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等知识，本题综合性强理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 巩固训练 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）对于四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形． (1)判断命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为平行四边形”是______命题．（真或假） (2)如图，在正方形中，是边上一点，是延长线一点，，连接，取的中点，连接并延长交于点，连接，探究：四边形是否是奇特四边形，如果是，证明你的结论，如果不是，请说明理由． (3)在（2）的条件下，若四边形的面积为16，求的长． 【答案】(1)假 (2)是，见解析 (3)8 【分析】（1）假命题，根据命题画图验证即可； （2）根据，证得，利用全等三角形的性质，得出，，进而得出，又因为是的中点，所以得出，，再结合题意，得出四边形是奇特四边形； （3）如图，过作于，证明，设，，可得，利用四边形的面积为16，求解，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：假命题，如图， ∵，， 又∵， 而四边形不是平行四边形． （2）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是奇特四边形． （3）如图，过作于， ∵，， ∴， 设，， ∴， ∵四边形的面积为16 ∴ ∴ ∴，而， ∴， ∵， ∴，而， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、勾股定理的应用、全等三角形的性质与判定、真假命题的判断，解本题的关键在熟练掌握相关性质与定理． 2．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$