第二十二章 四边形与函数综合（单元复习 4大动点函数+4大几何函数综合）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（冀教版）

第二十二章 四边形与函数综合 01 思维导图 目录 【动点题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 7 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 11 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 17 【压轴题型】 22 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 22 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 35 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 47 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 54 【动点题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（2024·河南三门峡·二模）在中，，E为边的一点．动点P从点A 出发以的速度，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动时间为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的面积（）为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在中（），，对角线交于点，动点从点出发，沿着→→运动．设点E运动的路程为，的面积为，关于的函数图像如图所示．则长为（　　）    A．5 B．6 C． D． 4．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发，沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则的面积为（    ）    A． B． C．60 D． 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．11 B．15 C．16 D．18 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 4．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图4-2所示，当点P运动到中点时，的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 巩固训练 1．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为（    ）      A．9 B．10 C．11 D．12 2．（2024·甘肃天水·一模）如图：菱形的对角线上有一动点，的长关于点运动的路程的函数图像如图，则该菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 3．（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（　 　）        A．12 B．20 C．2 D．25 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 2．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 3．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十二章 四边形与函数综合 01 思维导图 目录 【动点题型】 1 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 1 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 7 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 11 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 17 【压轴题型】 22 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 22 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 35 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 47 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 54 【动点题型】02 动点题型 动点题型一　平行四边形中动点与函数图象问题 例题：（2024·河南三门峡·二模）在中，，E为边的一点．动点P从点A 出发以的速度，沿匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动时间为，线段的长为，与的函数图象如图2所示，则的面积（）为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查动点的函数图象，由图象可知，当点与点重合时，，当点与点重合时，，过点作，求出的长，进而求出的长，再利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：当点与点重合时，，当点与点重合时，， 过点作， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故选C． 巩固训练 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点是平行四边形边上一动点，的路径移动，设点经过的路径长为x，的面积是y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、判断一次函数的图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查动点问题的函数图像，一次函数的图像，平行四边形的性质．注意分段考虑．解题的关键是数形结合的应用．根据题意分三段来考虑，点沿移动，的面积逐渐变大；点沿移动，的面积不变；点沿移动，的面积逐渐减小，据此选择即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于，设，与之间的距离为， 点沿移动，，是定值，则是的一次函数， 且的面积逐渐变大； 点沿移动，，与是定值， 即的面积不变； 点沿移动，，是定值，则是的一次函数， 且的面积逐渐减小； 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】化为最简二次根式、一次函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、利用平移的性质求解 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 3．（22-23八年级下·浙江金华·期末）如图，在中（），，对角线交于点，动点从点出发，沿着→→运动．设点E运动的路程为，的面积为，关于的函数图像如图所示．则长为（　　）    A．5 B．6 C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据平行四边形性质可知，结合关于的函数图像可知当动点从点出发到达点C时，面积最大，，即，作，垂足为H，利用，，结合30度直角三角形性质可求出，，进而在用勾股定理即可得到长． 【详解】解：在中对角线交于点，则，   动点从点出发，沿着→→运动．设点E运动的路程为，的面积为，关于的函数图像如图所示， 当动点从点出发到达点C时，面积最大，，即， 当动点从点出发到达点D时，点E运动的路程为，即， 设在中，，则, ， ， ，， ∵，， ∴， 解得：，（不合题意舍去）， ∵，故，， ∴，，， ∴在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形与函数综合，涉及平行四边形的性质、勾股定理、30度直角三角形性质等知识，读懂题意，属性结合，从函数图像中得到相应线段长是解决问题的关键． 4．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发，沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，则的面积为（    ）    A． B． C．60 D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解 【分析】图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，解出，的面积，可得结论． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， 解得， 在中，，， ， 解得， 的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是确定对应关系：点对点，点对点，点对点，当点到点时，图2的点的纵坐标表示的意义：（点的纵坐标）． 动点题型二　矩形中动点与函数图象问题 例题：（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键． 根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解． 【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上， 设此时，则，， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，矩形中，对角线交于点，边的中点分别是点，，一动点从点出发，沿着在矩形的边上运动，运动到点停止，点为图1中某一定点，设点运动的路程为的面积为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示．则点的位置可能是图1中的（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、矩形性质理解 【分析】从图2中可看出当时，此时的面积为0，说明点一定在上，选项中有点和在上，此时观察图2，发现时，接近3，所以点的位置是图1中的点．本题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是找出当时，此时的面积为0，说明点一定在上这一信息． 【详解】解：，，四边形是矩形， 当时，点到达点，此时的面积为0，说明点一定在上， ∵观察图2，发现时，接近3， 从选项中可得只有点最符合实际情况， ∴点的位置可能是图1中的点． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（   ） A．11 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了动点函数图象，利用三角型面积的变化确定R的位置是解题关键． 根据三角形的面积变化情况，可得R在上时，三角形面积不变，可得答案． 【详解】解：由图形可知，， 周长为． 故选D． 3．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得∶当时， ，再根据图2中点的实际意义可得∶， ，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选∶D． 4．（2024·浙江温州·一模）如图，在中，，为线段上动点，并以每秒1个单位的速度从点向点运动，到达点时停止．过点作于点，于点，连接，线段的长度与点的运动时间（秒）的函数关系如图2所示，则函数图象最低点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、垂线段最短、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了勾股定理理，矩形的性质与判断，垂线段最短，动点问题的函数图象； 如图所示，过点C作于D，连接，证明四边形是矩形，得到，故当点P与点D重合时，最小，即最小，根据函数图象得出，进而勾股定理求得，根据等面积法求得，勾股定理求得，结合题意，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， 根据图2可得，在中，， ∴, ∴， ∴， ∴； ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选B． 动点题型三　菱形中动点与函数图象问题 例题：（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图4-2所示，当点P运动到中点时，的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，结合图象，得到当时，，当点运动到点时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点运动到中点时，，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意和图象可得： 当时，， 当点运动到点时， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴当点运动到中点时，， 故选：C． 巩固训练 1．（22-23八年级下·吉林长春·期中）如图1，在菱形中，动点P从点C出发，沿着运动至终点D，设点P运动的路程为x，的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为（    ）      A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由图象上点知，且点P在点A时，的面积为12，连接交于点M，则可求出和，利用勾股定理求出，得到a． 【详解】解：如图1，    连接交于点M， 由图2知，，且时，的面积为12， ∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式、菱形的对角线互相垂直平分的性质、勾股定理和函数图象，要求学生学会由函数图象找出对应的信息，理解的几何意义是关键． 2．（2024·甘肃天水·一模）如图：菱形的对角线上有一动点，的长关于点运动的路程的函数图像如图，则该菱形的面积为（    ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、垂线段最短、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了函数图象，菱形的性质，点到直线的距离，连接，根据函数图象知当时，，，即可得到，根据菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：连接，交于点O， 由函数图象知当时，最短， 此时，即，， ， 该菱形的面积为：， 故选：D． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿的路径，以的速度匀速运动至点停止．在此过程中，的面积随运动时间变化的函数图象如图2所示，则当时，的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，当时，点到达边的中点，然后根据分割法求的值． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，   ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ， 点的速度为， 当时，点到达边的中点，如图所示：   ， 则， 在菱形中，， ，， 是等边三角形， ，， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点，弄清楚不同时段，图象和图形的对应关系，是解题的关键． 4．（22-23八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿折线运动，设点经过的路程为，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于（　 　）        A．12 B．20 C．2 D．25 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、动点问题的函数图象 【分析】当时，；时，，则；时，，则，进而求解． 【详解】解：如图2， 时，， 时，，则， 时，，则， 如图，过点作交于，    在中， ，， ，而，故， 当时，点与点重合，即， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 动点题型四　正方形中动点与函数图象问题 例题：（2024·安徽宣城·模拟预测）如图1，在正方形中，点以每秒3cm的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度（）与点的运动时间的函数图象如图2所示．当点运动时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质等知识，从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由题意知，当运动到时，最长，此时，由图象可知，当时，，得出正方形边长为，当时，，由，得出，推出，根据勾股定理计算，得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 由题意知，当运动到时，最长，此时， 由图象可知，当时，， ∴， 整理得： ∵， ∴，即正方形边长为， ∴当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 巩固训练 1．（2023·广东珠海·一模）如图①，在正方形中，点M是的中点，设，．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象上的最低点，那么正方形的边长的值为（    ）    A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、最短路径问题、根据正方形的性质求线段长 【分析】由A、C关于对称，推出，推出，推出当M、N、C共线时，的值最小，连接，由图象可知，就可以求出正方形的边长． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，连接交于点．    ∵四边形是正方形， ∴A、C关于对称， ∴， ∴， ∵当M、N、C共线时，的值最小， ∴y的值最小就是的长， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，轴对称的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 2．（23-24九年级下·内蒙古赤峰·期中）如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为 ． 【答案】6 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点P， 则点D是点B关于直线的对称点， 根据点的对称性，，则为最小， 故， 设正方形的边长为x，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： (负值已舍去)， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理和一元二次方程的求解，得出的长为最小值是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 【答案】 /4厘米 【知识点】动点问题的函数图象、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　一次函数与平行四边形综合问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个平行四边形，其中点在轴上，点在轴上，点在第一象限．已知，，， (1)求各点的坐标． (2)若在直线上有一点，且点在的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1)，，， (2) 【知识点】坐标与图形、两直线的交点与二元一次方程组的解、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（）由直角三角形的性质可得，，由勾股定理得到，即可得到的坐标，再利用直角三角形的性质得到，可得，即可得到点的坐标，最后根据平行四边形的性质可得点的坐标； （）由角平分线和平行四边形的性质可得，，即得，得到，进而得，利用待定系数法求出直线和直线的函数解析式，联立方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴； （2）解：如图，为的角平分线，则， ∵四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由，解得， ∴． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，平行四边形的性质，平行线的性质，等角对等边，待定系数法求一次函数，一次函数的交点问题，利用待定系数法求出一次函数的解析式是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【知识点】求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图1，在平行四边形中，，过点作于点．点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____ (3)若直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是_____． 【答案】(1) (2)图象见解析，性质：当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可） (3)或 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，还考查了平行四边形的性质，勾股定理； （1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定，，然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从最值写出函数的一条性质； （3）通过平移直线，与相交，找到只有一个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线运动，到达点时停止， ∴当点到达点时秒，当点到达点时秒， ∴当时，点在线段上，此时，； 当时，点在线段上， 此时，； ∴； （2）解：函数图象如图： 由函数图象可得，当时，函数有最大值（答案不唯一，合理即可）； （3）解：平移直线，与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得，解得； 把代入可得，解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象恰有一个交点，则常数的取值范围是或． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，C的坐标分别为，，，过点A的直线与边相交于点，连接，点P为线段上的一个动点，点Q与点B关于点P成中心对称，设点P的横坐标为m． (1)求线段所在直线的函数表达式； (2)①点Q的坐标为______（用含m的代数式表示）； ②当点Q在的内部运动时（不包括边界），求m的取值范围； (3)取的中点M，的中点N，连接，，在点P运动的过程中，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1) (2)①② (3)的面积不变， 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、已知两点坐标求两点距离、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据平行四边形的性质推出，再用待定系数法求函数表达式即可； （2）①先求直线表达式，根据中心对称可求Q坐标；②利用边界值计算即可，当Q在边上时求m的值，当Q在边上时求m的值，即可得出m的范围； （3）的面积是否发生变化可以看底和高是否变化，其中底是是定值，因为Q所在直线与平行，根据平行线之间是等距的，所以高是定值，所以面积不发生变化，再根据题干条件求出高即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线函数表达式为：，将D，E代入可得出： ， 解得∶ ∴直线的函数表达式为． （2）①设解析式为，将、坐标代入得 ， 解得： ∴解析式为， ∵P在线段上，P的横坐标为m， ∴， ∵B、Q关于点P中心对称， ∴， 解得：， ∴． 故答案为： ②当Q在边上时，此时，即， ∴， 当Q在边上时，此时点Q在直线上， ∴， 解得， ∵不包含边界， ∴ （3）的面积不变，的面积为6． 理由如下： ∵，， ∴， ∵M是中点，N是中点， ∴， ∴， ．∵， ∴点Q所在直线l的解析式为：， 设l与x轴交于点K，则， ∴， 由(2)知解析式为：， ∴， 过A作于点G，作于点H，则四边形是矩形， 由题易知，为等腰直角三角形， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数、求一次函数的交点坐标、平行四边形的性质以及两点之间的距离，中心对称等等基础知识，掌握相关知识是解题的关键． 4．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在平行四边形中，为钝角，，分别为边，上的高，交边，于点，，连结，． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，以点为原点建立平面直角坐标系，点坐标为，点为直线上一动点，当时，求出此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，或， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、一次函数与几何综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由，根据同角的余角相等可求解； （2）由“”可证，可得结论； （3）分两种情况：在轴的上方和下方，先计算的面积，根据时，可得的面积，如图3，过点作轴于，从而得的长，利用待定系数法可得的解析式，则可求得点的坐标． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ，分别为边，上的高， ，， ， ， ， ； （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：分两种情况： ①如图，点在轴的上方，过点作轴于， 点坐标为， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，，， 设直线的解析式为：， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 如图，在轴的下方，过点作轴于， 由①可知：，直线的解析式为：， 当时，， ， 点的坐标为，； 综上，点的坐标为，或，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 压轴题型二　一次函数与矩形综合问题 例题：（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，正比例函数的图象交于点，过点作的垂线交于点，且满足． (1)求点的坐标； (2)点在线段上，横坐标为，设的面积为，请用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查一次函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）设点的坐标为，证明，得到，，即可求出答案； （2）求出直线的解析式，表示出点的坐标，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：点在正比例函数上， 设点的坐标为． ，． ， ， ． 四边形为矩形， ，． ． ． ， ． ，． 点的坐标为， ． 即． ． ∴ ∴ 点的坐标为； （2）解：设所在直线的解析式为，由（1）得，， ， 直线的解析式为 点在线段上， 点的坐标为． ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，直线（k为常数且）分别与x轴、y轴相交于A，B两点，O为坐标原点，点A的坐标为，过线段上一点P（不与端点重合）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N． (1)求k的值； (2)当矩形的周长是12时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查待定系数法求一次函数参数、一次函数图象上点的特征、长方形的周长公式等知识，掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）设，根据“矩形的周长是12”建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线经过， ， ． （2）解：点P在直线上，设， ，， 矩形的周长是12， ， 解得， 点P的坐标为． 2．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段的长分别是m，n且满足，点D是线段上一点，将沿直线翻折，点O落在矩形对角线上的点E处 (1)求线段的长； (2)求点E的坐标； (3)所在直线与相交于点M，点N在x轴的正半轴上，以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，求N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、求一次函数解析式、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）根据非负性即可求出；根据勾股定理得出长； （2）由三角形面积求法可得，进而求出和，即可解答； （3）由待定系数法求出的解析式，进而求出M点坐标，再利用平行四边形的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， 解得， ∵线段的长分别是m，n且满足， ∴； 设，由翻折的性质可得：， ， 可得：， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得： ， 可得：； （2）过E作于点G， 在中， ， 即 解得：， 在中，， ∴， 所以点E的坐标为； （3）设直线的解析式为：，把，E代入解析式可得： ， 解得：， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， 当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以， ， 即存在点N，且点N的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题目，考查了算术平方根的非负性、用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 3．（23-24八年级下·上海·单元测试）如图，在矩形中，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点在边上，点的坐标为，，点是射线上一个动点，连接，． (1)求点的坐标； (2)如果点，之间的距离为，的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数定义域； (3)在点运动过程中，是否有可能为等腰三角形？若有可能，求出点的坐标；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)有可能为等腰三角形，点的坐标为或或或． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、求一次函数解析式、等腰三角形的定义 【分析】（）过点作于，利用勾股定理求出即可求解； （）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，利用割补法解答即可求解； （）分点为顶点、点为顶点、点为顶点，分别画出图形，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，则， ∵的坐标为，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， 当点在线段上时， ； 当点在线段的延长线上时，如图，过点作轴于，则四边形是矩形，，， ； 综上，； （3）解：有可能为等腰三角形． ∵，，， ∴， 当点为顶点时，如图，， ∴， ∴或； 当点为顶点时，如图，， ∴    ， ∴， ∴； 当点为顶点时，如图，， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，勾股定理，求一次函数，等腰三角形的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 4．（23-24八年级下·广东佛山·期末）已知，如图，平面直角坐标系内的矩形，点在轴上，点在轴上，点坐标为，为边上一点，将沿直线折叠，得到，点的对应点落在线段上． (1)求的长； (2)点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动时间为，的面积为，求关于的关系式； (3)在（2）的条件下，点为直线上一点，是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出的值，并直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、矩形与折叠问题 【分析】（1）先求出，由折叠的性质可知，再利用勾股定理求解即可． （2）过作交直线于，分在线段上和在的延长线上两种情况讨论求解即可． （3）分当以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，当四边形是平行四边形的边时，当四边形是平行四边形的边时三种情况利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点坐标为， ，， 由折叠的性质得：， ． （2）过作交直线于，则， 由题意得：， ，， ，， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． ①当点在线段上时，如图所示： 的面积的面积的面积； ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 的面积的面积的面积； 综上所述，． （3）存在，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（1）（2）得：，，，，， ， ∴，，， 设直线的解析式为， 由题意得：， 解得：， 直线的解析式为， 设， ①当是以点、、、为顶点的平行四边形的对角线时，连接， 则对角线与互相平分，如图所示： 平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ， 解得：， ∴，； ②当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ∴，； ③当为平行四边形的边时，如图所示： 则，， ， 解得：， ，； 综上所述，存在，，，或，，或，，时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 压轴题型三　一次函数与菱形综合问题 例题：（23-24八年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，顶点D的坐标为，． (1)求点C的坐标； (2)在y轴上找一点P，使得的值最小，请求出的最小值及点P的坐标； (3)点Q在x轴上，直接写出以点B、D、Q为等腰三角形时的点Q的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【知识点】利用菱形的性质求线段长、求一次函数解析式、含30度角的直角三角形、等腰三角形的定义 【分析】（1）利用含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解求出菱形的边长，即可得出答案； （2）y轴垂直平分线段，可得，当A，P，C共线时等号成立，作轴于点H，利用含30度角的直角三角形的性质可得，再求出直线的解析式，可得点P的坐标； （3）分、两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 设菱形的边长为a， 即， ， ， 顶点D的坐标为， ， ， ， ，顶点A在x轴上， 点C的坐标为； （2）解：由（1）知， y轴垂直平分线段， ， ，当A，P，C共线时等号成立，如图，作轴于点H， ，， ， 的最小值为4； 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 点P的坐标为； （3）解：以点B、D、Q为等腰三角形时,有两种情况： 当时，如图： 此时点Q与点A重合，坐标为； 当时，如图： ，， ， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，求一次函数的解析式等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级下·吉林·期中）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E． (1)求点A、B的坐标； (2)求点D的坐标及m的值； (3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)、 (2)， (3) (4)或4或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）首先求出点、的坐标， （2）再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可求点、的坐标，把点的坐标代入直线解析式求出的值即可； （3）表示出设，，得，根据，可得答案； （4）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）解：在中，令，得； ∴． 令，得， ∴． （2）解：由（1） 得，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （3）解：， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （4）解：点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， （负值舍去）， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或4或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 2．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知菱形的边长为10，，以点B为坐标原点，以为x轴正方向建立直角坐标系，如图所示． (1)求点A的坐标； (2)求菱形的对角线的解析式； (3)若点Q是上一定点，且，点P从点A出发，以每秒2个单位长度向终点C运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）过A作轴于E，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）连接，交于，利用菱形的轴对称性可得，当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小，利用待定系数法求出解析式，然后与的解析式联立方程组求出的坐标，最后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：过A作轴于E， ∵菱形的边长为10，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴A的坐标为； （2）解：由（1）知， 设对角线的解析式， 则， 解得， ∴； （3）解：连接，交于， ∵菱形， ∴B、D关于对称， ∴， ∴， 当D、P、Q三点共线，即P于重合时，最小， ∵，，，A的坐标为， ∴， ∵， ∴， 设解析式为， ∴， 解得， ∴， 联立方程组， 解得， ∴， ∴， ∴运动时间为秒． 压轴题型四　一次函数与正方形形综合问题 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，，点E在边上，点N的坐标为，过点N且平行于y轴的直线与交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在上，并与上的点G重合，折痕为． (1)求点G的坐标，并求直线的解析式； (2)若直线l：平行于直线，且与长方形有公共点，请直接写出n的取值范围； (3)设点P为x轴上的点，是否存在这样的点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，点P的坐标为或或或． 【知识点】一次函数图象平移问题、等腰三角形的性质和判定、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由图形折叠的性质可得的长度，从而可求的长度，可得G的坐标；利用待定系数法代入点G的坐标，可得直线解析式； （2）根据一次函数的性质，可得直线l的解析式为，结合图形，分别求出直线过点M、A时n的值，可得n的取值范围； （3）依据等腰三角形的性质，将两腰相等的情况分为三类，分别求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，， 由勾股定理得， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入，得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线l：平行于直线， ∴，即直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 解得，， 当直线l经过点时， 解得，， ∴直线l与长方形有公共点时． （3）解：存在，点P的坐标为或或或，理由如下： ①当时， 若点P在原点左侧，点P的坐标为， 若点P在原点右侧，点P的坐标为； ②当时， ， ， 点P的坐标为； ③当时， 可得， 在中，，即， 解得，，点P的坐标为， 综上所述，以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质、待定系数法求一次函数解析式及一次函数图像的平移，同时考查了等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握折叠的性质以及一次函数图象的性质与应用． 巩固训练 1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A、C分别在x轴、y轴上，且点C的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，E在线段上，连接，若，当时，求t值，并直接写出G点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【知识点】坐标与图形、求一次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，求正比例函数的解析式，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 2．（23-24八年级下·天津河东·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形．顶点，点和分别在正方形边，上，且，直线与直线交于点；平行于轴的直线，从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向移动，与线段重合时停止，设运动时间为秒，平移过程中，直线与直线交于点、与直线交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标． (2)当点M在点N上方时，记线段的长度为； ①如图1，求与的函数关系式，并写出此时的取值范围； ②如图2，以为直角边向右作等腰直角，当点恰好落在正方形的边上时，求值?直接写出在什么范围变化时，等腰直角与重叠部分为矩形? (3)如图3，当M在点N下方时，以为边向右作等边，等边与重叠部分的面积记为．填空：当、恰好是、中点时，的值______． 【答案】(1)， (2)①，，②， (3) 【知识点】已知两点坐标求两点距离、根据正方形的性质求面积、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式为：，同理可得直线的解析式为：，联立可得； （2）①结合运动的特点，设，，，问题即可作答；②先表示出，结合可得，则有；∴点恰好落在正方形的边上时，；当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形，将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， 即有直线的解析式为：，联立可得，问题得解； （3）设交于点S，利用中点坐标公式可得，，即有，过点Q作于点T，过点M作于点R，可得， ，进而可得，则直线的解析式为：，联立可得，问题随之得解． 【详解】（1）∵四边形是正方形．顶点， ∴，， ∵， ∴，， 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， 即：直线的解析式为：，； （2）①∵轴，直线与直线交于点、与直线交于点， ∴结合运动的特点，设，，， ∵点M在点N上方， ∴，且点M在点H的右侧， ∴， 即：，； ②如图， ∵点恰好落在正方形的边上， ∴， ∵， ∴， ∵结合图形可知：在等腰直角中，，， ∴， 解得：， ∴点恰好落在正方形的边上时，； ∵轴，， ∴轴，轴，轴， ∵在等腰直角中，，， ∴， 结合正方形的性质有：， 又∵轴， ∴， ∴， ∴， 如图， ∵轴，轴，， ∴当点A在内部（含斜边）时，等腰直角与重叠部分为矩形， 即随之直线向边靠拢时，当等腰直角的斜边经过点A时，等腰直角与重叠部分开始为矩形， ∵，直线的解析式为：，，， ∴将直线向下平移7个单位时即与所在直线重合， ∴直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∴当时，等腰直角与重叠部分为矩形； （3）如图，设交于点S， ∵，，，、恰好是、中点， ∴，， ∴，即， 如下图，过点Q作于点T，过点M作于点R， 在等边中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴按照求解解析式的方法可得直线的解析式为：， 联立：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴等边与重叠部分的面积为：， 故答案为：． / 学科网（北京）股份有限公司 $$