第22章 特色素养专题(三)新定义题型&专题数学活动在四边形上构造特殊四边形-【优+学案】2024-2025学年八年级下册数学课时通（冀教版）

特色素养专题（三） 新定义题型专题（答案P26) 类型1概念的新定义 类型2运算的新定义 1.(2024·中山期中)定义：如果平行四边形的 2.(2024·吴忠期末)我们知道，菱形和正方形 一组对边之和等于一条对角线的长时，我们 虽然都是四边相等的四边形，但形状有差异， 称这个四边形为“沙漏四边形” 可以将菱形和正方形的接近程度称为菱形的 (1)当沙漏四边形是矩形时，两条对角线所夹 “神似度”，如图所示，在菱形ABCD中，对角 锐角为 度 线AC,BD的长分别为a,b(a≥b).我们把号 (2)如图所示，在沙漏四边形ABCD中，对角 线AC,BD相交于点O,满足AB十CD= 定义为菱形的“神似度” BD,且AB⊥BD,过点B,D分别作BE⊥ (1)当菱形的“神似度”= 时，菱形就 AC,DF⊥AC,垂足为E,F,连接DE,BF,所 是正方形 得四边形BEDF也是沙漏四边形.若BE (2)当∠BAD=60°时，求菱形ABCD的“神 1,求BC的长以及△BFC的面积 似度” 一八样验下带数学 115) 数学活动 在四边形上构造特殊四边形（答案P27) 1.如图所示，E,F,G,H分别是四边形 3.如图所示，在□ABCD中，对角线AC,BD相 ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为 交于点O,OA=5cm,E,F为直线BD上的 矩形，则四边形ABCD应具备的条件 两个动点（点E,F始终在□ABCD的外面）， 是() 连接AE,CE,CF,AF. A.一组对边平行而另一组对边不平行 )若DE-2OD,BF=2OB, B.对角线相等 C.对角线互相垂直 ①求证：四边形AFCE为平行四边形 ②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°，求AE D.对角线互相平分 的长 (2)若DE=3OD,BF=3OB,四边形AFCE 还是平行四边形吗？请写出结论并说明 2.(2024·沧州孟村月考)如图所示，在矩形 理由。 ABCD中，O为对角线BD的中点， (3)若DE=OD,BF=0B.四边形 ∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F AFCE还是平行四边形吗？请写出结论并 在线段OD上，点E,F同时从点O出发，分 证明 别向终点B,D运动，且始终保持OE=OF 点E关于AD,AB的对称点为E1,E:点F 关于BC,CD的对称点为F,F:在整个过程 中，四边形EE2F,F,形状的变化依次 是() A.菱形·平行四边形→矩形·平行四边形一 菱形 B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行 四边形 C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→ 平行四边形 D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形 →菱形 优十学潘课阴漫∴.∠EDA+∠DAG=∠BDE-45+225-∠BAC=180°. ,△ABH为直角三角形 .DE∥AG, :G为AB的中点， ∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等. GH-2AB=2,即GH始终等于2. (3)当△ABC满足∠BAC=135,AC=√2AB时，四边形 ADEG是正方形， 当点E运动到点D,点F运动到点C时， 理由：当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且 BE,AF正好为正方形ABCD的对角线，点日正好为对角 AG=AD. 线的交点， 由(2)①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=360°-90°-90° BD-DH-BD-2 45=135. ,四边形ABDI是正方形，由勾股定理， ∴.此时DH+HG=2+22。 得AD=√2AB 22.7多边形的内角和与外角和 又：四边形ACHG是正方形， L.(1)914(2)(n-3) n(n一3) .AC=AG=AD 2 (3)54 ,AC=√2AB. 2.C3.C+.A ∴.当∠BAC=135且AC=√2AB时.四边形ADEG是正5.解：：ABCD.∠C=60, 方形. .∠B=180°-60°=120°， 阶段检测四（22.4~22.6)】 ,.(5-2)×180°=x+150°+125°+60°+120°， 1.B2.B3.D4.A5.C6.B7.248.909.3 x=85°. 6.C7.C8.B9.D10.B11.C12.10 10.1.211.√13 12.解：(1)证明：如图所示，设AE交BD于点F,连接 13.(1)12(2)72 BM.DM. 14.60°90°m-2)·180 .AB=AD.BM=DM. 15.解：(1)不可能 ,AM垂直平分BD, (2)设多边形的边数为n,则其内角和为(m一2)×180°， .BE=DE,∠BAE=∠DAE. 根据题意，得：多加的外角为2023-(n一2)×180. ,AD∥BC, .0°<2023°-(n-2)×180°<180°， ∴.∠DAE=∠BEA, .∠BAE=∠BEA, 解得12德<m<13品， 43 ..AB=BE, 和是正整数 ∴.AB=AD=BE=DE .n=13, ,四边形ABED是菱形 ,该多边形是十三边形 (2)BE-AD-CD-C. 特色素养专题（三） 新定义题型专题 ..CE=BE=AD=CD=1. 1.解：(1)60 BC=CE+BE=2. (2).AB⊥BD AD//CE.AD=CE. ∴∠AB0=90 .四边形AECD是平行四边形， ,四边形ABCD是沙漏四边形， .CD∥AE. ..AB=CD,AB//CD.OA=OC.OB=OD. AE⊥BD, .AB+CD=BD=OB+OD. ∴，∠BDC=∠BFE=90, ..AB-OBOD-CD. .BD=√BC-CD=√2-1下=3. 'AB∥CD.∠ABO=90. 13.解：(1)BE=AF且BE⊥AF.理由如下： .∠AB)=∠CD)=90, ,四边形ABCD为正方形， BE⊥AO,DF⊥OC,AB=OB=OD=CD, ,∴，AB=AD,∠BAD=∠ADC=90. ”点E,P以相同的速度同时向终点D,C运动， :∠BE0=∠DFO=90,∠EBO=∠FDO=45.OE=2 ∴AE=DF 在△BAE与△ADF中， A0,0F=2C0, AE=DF. ∴.∠EBO=∠EOB=∠FDO=∠FOD=45. ∠BAE=∠ADF, :四边形BEDF是沙漏四边形， AB=DA. ∴.OE=OF=BE, ∴.△BAE≌△ADF(SAS),∴.BE=AF,∠ABE=∠DAF. ∴.BE=EO=OF=CF=1, :∠DAF+∠BAH=∠BAD=90°，∴，∠ABH+∠BAH= .EC=3BE=3. 90°，.∠AHB=180°-90=90°，.BE⊥AF. 在Rt△BEC中，BC=BE+EC=12+3=10, (2)存在，例如当点E运动到点D,点F运动到点C时，DH .BC=W10, +HG=2+22 1 如图所示.，∠AHB=90°， Sa-FC·BE-号×1X1- 26 2.解：(1)1 ∴AE=√2-1=3. (2)如图所示，连接AC和BD,交于点O,设AB=r, 根据对称性可得AE,=AE=√3. 在菱形ABCD中，AB=AD, ,.AD=12,DE=9,AE=3, ∠BAD=60, ∴AD=AE+DE, ∴△ABD是等边三角形， ,.△DEA是直角三角形，且∠E,=90°， BD=5.BO=DO=7. 四边形E,E,FF,是矩形. AO-JAD-DOT-3 D F(DF C , ∴AC=3x 号-品--后，即菱形ACD的神似度为后。 上 D E(B.E) ③ ① 如图④所示，当F,E分别与D,B重合时，△BE,D,△BDF 都是等边三角形，则四边形EE:F,F:是菱形. ∴在整个过程中，四边形E,E,F,F,形状的变化依次是菱形 →平行四边形→矩形→平行四边形→菱形。 数学活动在四边形上构造特殊四边形 3.解：(1)①证明：四边形ABCD是平行四边形 1.C .0Λ=0C,0B■0D. 2.A 解析：如图①所示。 DE-OD.BF-OB..DE-BF.OE-OF. :四边形ABCD是矩形， ∴四边形AFCE为平行四边形 ,.AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°， ②，四边形ABCD是平行四边形， .∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60° .AD∥BC..∠DAC=∠BCA. =30°. :CA平分∠BCD,.∠BCA=∠DCA, OE-OF.OB=OD. ∠DCA=∠DAC,.AD=CD. ..DF=EB. OA=(OC,OE⊥AC,.(OE是AC的垂直平分线， 由对称的性质， ..AE=CE. 得DF=DF:,BF-BF1,BE=BE:,DE■DE,E,F ,∠AEC=60,∴.△ACE是等边三角形， E:F1. ..AE=AC=20A=10 cm. ∠F,DC=∠CDF=60°， (2)若DE=号0D.BF=号OB.四边形AFCE是平行国边 ∴.∠EDA=∠E,DA=30°， 形，理由如下： .∠E,DB=60°. 同理∠F,BD=60°， DE-OD.BF-OB.OD-OB. .DE1∥BF. ∴.DE=BF,∴.OB+BF=OD+DE, E,F2=E,F,, 即OF=OE. ∴四边形E,E:F,F:是平行四边形. :OA=(OC,.四边形AFCE是平行四边形. 如图②所示，当E,F,O三点重合时，DO=OB, (3)若DE=上OD,BF=OB,四边形AFCE是平行四边 形，证明： DE-OD.BF-I OB.OD=OB. ∴.DE=BF,.(OB+BF=(OD十DE,即OF=OE OA=OC,.四边形AFCE是平行四边形. 本章综合提升 ∴DE1=DF,=AE,=AE,即E:E,=E,F 【本章知识归纳】 ,四边形EE:F,F,是菱形. 分别平行分别相等平行且相等互相平分一半360 如图圆所示，当E,F分别为(OB,OD的中点时，设DB=4,则 相等直角垂直且平分一半平行四边形 DF=DF=1,DEDE-3. 【思想方法归纳】 在R1△ABD中，AB=2,AD=25,连接AE,AO, ∠AB0=60°，B0=2=AB, 【例1V3+3 2 ,△ABO是等边三角形. ,E为OB中点， 【变式调练小 .AE⊥OB,BE=1, 【例2】解：如图所示，连接AP,AE 27