热点题型·解答题攻略 专题03 一元二次方程与二次函数的实际应用（2大类题型）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（辽宁专用）

专题03 一元二次方程与二次函数的实际应用 目录 题型01 一元二次方程的实际应用 1 题型02 二次函数的实际应用 9 中考练场 42 题型01 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用是初中数学代数领域中，用于解决涉及数量变化规律及几何图形面积等复杂问题的重要内容，中考分值占比大致为 8%-12%。 1.考查重点：重点考查从实际问题中挖掘出能构建一元二次方程的数量关系，并通过求解方程来解决问题。 2.高频题型：常见的有增长率问题、几何图形面积问题、商品定价与利润问题以及传播问题等。 3.高频考点：考点聚焦于根据实际情境准确列出一元二次方程，运用合适方法求解方程，以及依据实际意义对所得方程的解进行筛选和解释。 4.能力要求：学生需具备良好的文字理解能力，能将实际问题转化为数学语言，有较强的逻辑思维梳理数量关系，掌握一元二次方程的求解方法并准确运算。 5.易错点：易错之处在于对实际情境分析不透，导致方程列错；解方程过程中因方法不当或计算失误出错；同时，易忽略实际问题对解的限制，未舍去不符合实际的根。 【提分秘籍】 （1）仔细审题，明确已知条件和未知量，找到等量关系，特别注意判别式的意义。 （2）熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 （3）解方程时确保系数a、b、c计算准确，求根时注意判别式的值，分析判别式时注意根的性质。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该商品日销售额不能达到元，理由见解析。 【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出与之间的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 例2．（2024·辽宁本溪·一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) (2)该款吉祥物售价为50或63元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，列方程，求解即可； （2）设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为，     根据题意得：，     解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，     根据题意得：，     整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）．     答：该款吉祥物售价为或63元时，月销售利润达元． 例3．（2024·辽宁铁岭·一模）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． (1)求原计划每天摊铺沥青多少米． (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【答案】(1)原计划每天铺设轨道80米 (2)镶上的木质框架的宽为0.2米 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设轨道80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·三模）在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍．店主嘱咐，这些科普图书以元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于元且不高于元．贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量（本）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，对应如下表： 销售单价元 销售数量本 (1)求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (2)若某天销售科普图书获得的利润为元，则该天销售科普图书的数量为多少本？ 【答案】(1)； (2)本． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设该天科普图书的销售单价为元，根据利润为，列出方程，解方程即可求解； 本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数和一元二次方程的应用，依据题意，正确求出函数关系式和列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 把；分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为； （2）解：设该天科普图书的销售单价为元， 依题意得，， 解得或（舍去）， （本）， 该天销售科普图书的数量为本． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)这种玩偶每件应降价元 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． 【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； （2）解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 3．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数，并说明理由． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)能接纳第四个月的进馆人次，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由等量关系列出方程是解题的关键； （1）设进馆人次的月平均增长率为x，根据三个月进馆人次和等于608，列出一元二次方程求解即可； （2）根据（1）计算出的月平均增长率，可计算出第四个的进馆人次，再与500比较大小即可． 【详解】（1）解：设进馆人次的月平均增长率为x， 由题意得：， 化简得：， 解得：（舍去）； 答：进馆人次月平均增长率为； （2）解：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次； 由于进馆人次的月平均增长率为， 则第四个月的进馆人次为：； 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长、宽 的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】所铺设的石子路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 5．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有天过春节时，用元/千克的进价购回千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放天，当日市场价为每千克元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨元，但是平均每天有千克火龙果坏掉，存放天后一次性销售． (1)直接写出x天后还有多少千克的火龙果？ (2)若存放x天后一次性销售，销售总额为元，求x的值． 【答案】(1)千克 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意找出等量关系列出方程是解答本题的关键． （1）根据平均每天有5千克的火龙果损坏不能出售，即可用含x的代数式表示这批火龙果的销量． （2）火龙果的市场价格每天每千克上涨元，即可用含x的代数式表示x天后这批火龙果的销售单价；根据题意即可列出一元二次方程，解出方程，保留符合题意的根即可． 【详解】（1）解：由于平均每天有5千克的火龙果损坏不能出售，故损坏的火龙果共有千克，所以这批火龙果的销量是千克． （2）解：由火龙果的市场价格每天每千克上涨元，可得x天后这批火龙果的销售单价为元；依题意得 ， 整理得：， 解方程得：（舍） 故这批火龙果存放10天后，一次性出售所得的销售总金额为元． 题型02 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于解决涉及最值、抛物线形状等现实问题的核心内容，中考分值占比约为 10%-15%。 1.考查重点：考查如何将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求最值以及分析变量间的关系。 2.高频题型：常见高频题型有销售利润问题（求最大利润）、几何图形面积问题（求图形面积最大值或最小值）、物体运动轨迹问题（如抛物线形的投篮、抛球等运动）。 3.高频考点：主要考点为确定二次函数表达式，运用顶点坐标求最值，分析函数图象在实际情境中的意义，如与 x 轴交点表示的实际情况等。 4.能力要求：要求学生具备较强的建模能力，能将实际问题数学化，同时要熟练掌握二次函数图象与性质的运用，具备分析数据和推理的能力。 5.易错点：易错点在于建模过程中对实际情境理解不透彻导致函数表达式错误，求最值时忽略自变量的实际取值范围，以及对函数图象与实际问题结合的解读偏差。 【提分秘籍】 （1）高频题型包括最值问题（如利润最大、成本最小）、抛物线运动问题（如抛体运动）、面积优化问题（如矩形面积最大）、利润最大化问题等。 （2）要熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要找到顶点坐标，抛物线运动问题需要分析抛物线的开口方向和顶点位置。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）某超市销售的一种饮料每瓶进价为3元，若每瓶按4元的价格销售，则每月能卖出160瓶；若每瓶按5元的价格销售，则每月能卖出60瓶．如果该超市每月销售这种饮料瓶数（单位：瓶）是销售单价（单位：元）的一次函数． (1)求与的函数关系式； (2)当这种饮料销售单价定为多少元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大？并求出此时的最大利润． 【答案】(1) (2)当这种饮料销售单价定为4.3元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大，此最大利润为169元 【分析】此题主要考查了一次函数及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系是解题关键．． （1）根据题意利用待定系数法可求得与之间的关系； （2）设该超市每月销售这种饮料获得的利润为元，列出二次函数关系式，再利用配方法求出二次函数最值即可．． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 把，，和，代入，可得， 解得， ； （2）解：设该超市每月销售这种饮料获得的利润为元， ， 当时，有最大值，为169， 所以当这种饮料销售单价定为4.3元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大，此最大利润为169元． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x 的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 【答案】(1) (2)2340 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法． （1）分当时和当时两种情况，前一种情况直接由图可知，后一种情况用待定系数法求出与之间的函数关系式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别求出的最大值，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，由图可知：， 当时，设与之间的函数关系式为， 将点，代入，得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． 综上所述：与之间的函数关系式为 （2）解：当时，， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为． 当时， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ． ∵， ∴当时，的最大值为2340． 例3．（2024·辽宁锦州·二模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）从原点O点起跳，在空中运动的路线是经过点O的抛物线．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线．一个运动员在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请求运动员入水最大水深的范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)不会失误，见解析 (3)至之间 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）设空中运动的地物线表达式为，又因抛物线经过原点，代入求出a即可得解析式，又当时，，进而判断可得B的坐标； （2）依据题意，由，运动员调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5m，从而运动员调整入水姿势的点的横坐标为4，又当时，，可调整点的坐标为，从而求得运动员此时距离水面，进而可以判断得解； （3）依据题意，由，，，可得，，再结合入水点，可得，又当抛物线经过点M时，故，当抛物线经过点N时，，结合出水点D在之间（包括M，N两点），进而可以得解． 【详解】（1）解：设空中运动的抛物线表达式为 ， ∵抛物线过原点O， ， 解得， 抛物线的解析式为； 当时，， 解（舍）或， ； （2）运动员此次跳水不会失误． ，运动员调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5m， 运动员调整入水姿势的点的横坐标为4， 当时，， 调整点的坐标为， 运动员此时距离水面， ， 运动员此次跳水不会失误； （3），，， ，， 入水点， ， 当抛物线经过点M时，， 解得，， 当抛物线经过点N时，， 解得，， 出水点D在之间（包括M，N两点）， ， 所以该运动员人水最大水深的范围为1.96m至4m之间． 例4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．    (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由； (2)研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 ①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证； ②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 【答案】(1)此次试跳达标，理由见解析； (2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解； （2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解； ②将和分别代入，得，． 由得，即可求解． 【详解】（1）此次试跳达标 理由如下： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为， 可得， 解析式为， 令，则， ， 此运动员落地达标； （2）①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系． 设， 将代入得， 解得， ． 将代入验证：当时，成立， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． ②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点， 将和分别代入， 得，． 由得， 又 ． 答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 例5．（2025·辽宁沈阳·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 【答案】（1），顶点的坐标为；（2）；（3） 【分析】（1）把原点代入解析式，求得值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）先求出点的坐标为，再求出的解析式为：．然后求出点的坐标为，最后求出结果即可； （3）作抛物线的对称轴于点，则，设点的横坐标为，得出，根据点在抛物线上，列出方程，得出点的坐标为，最后求出即可． 【详解】解：（1）抛物线经过原点， ． 解得：． 抛物线的解析式为：． 顶点的坐标为； （2）取，， 解得：，， 点的坐标为， 心形叶片的对称轴是直线，点，是叶片上的一对对称点， 设的解析式为：． 经过点， ． 解得：． 的解析式为：． ， 解得： 点的坐标为． ． ． （3）作抛物线的对称轴于点，则， 直线与水平线的夹角为， ． 设点的横坐标为， 抛物线的对称轴为直线， ． 顶点的坐标为， 点的纵坐标为． 点在抛物线上， ． 解得：． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与坐标轴的交点，对称思想，两点间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 例6．（2024·辽宁鞍山·二模）【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)请你帮助小丽求出y与x的关系式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度； (3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的实际问题，解直角三角形，掌握待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，一元二次方程和二次函数的关系是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把自变量代入求出函数值即可解题； （3）先求出直线的解析式，然后分和两种情况，分别利用解直角三角形解题即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴代入得：，解得， ∴； （2）解：当时，， ∴此时面碗中水的深度为； （3）解：设的解析式为，把点和代入得： ，解得， ∴， 当时，如图，过点D作于点G，设与y轴交于点H， ∴则点的坐标为， ∴， ∴，， ∴面碗中水的最大深度； 当时，作与抛物线有且只有一个交点且平行于的直线交y轴于点N，过H作交平行线于点P， 则设的解析式为， 则有唯一解，即， ∴，解得， ∴点N的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴这时最大深度为； 综上所述，时面碗中水的最大深度为． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·二模）2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，活动主题为“关注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某电商销售一款护眼贴，每盒的进价为50元，销售平台要求销售单价不低于56元，且获利不高于34%．根据销售经验，当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒．现电商决定提价销售，设销售单价为x元，每周销售量为y盒． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当护眼贴的销售单价定为多少元时，该电商每周获利1440元？ (3)将护眼贴的销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)58元 (3)将护眼贴的销售单价定为63元时，每周的销售利润最大，最大利润是1690元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒，据此即可列出函数关系式；再根据销售单价不低于56元，且获利不高于即可求出自变量的取值范围； （2）依据题意，根据“销售利润＝销售量×（售价﹣进价）”列出一元二次方程，然后在自变量范围内求解即可； （3）依据题意，根据“销售利润＝销售量×（售价﹣进价）”，列出平均每周的销售利润w与销售价x之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【详解】（1）解：由题意，． ∵销售单价不低于56元，且获利不高于， ∴． ∴． ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：根据题意，得， ∴， 解得：． ∵， ∴． 答：当护眼贴的销售单价定为58元时，该电商每周获利1440元． （3）解：由题意可得，设每周的销售利润为w元， ∴ ． ∵， ∴当时，w取得最大值，w最大为1690． 答：将护眼贴的销售单价定为63元时，每周的销售利润最大，最大利润是1690元． 2．（2024·辽宁丹东·二模）某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个． (1)求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围） (2)若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？ (3)设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为； (2)这款水杯的销售单价应定为90元； (3)当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元． 【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，结合减少库存，列方程可解； （3）由题意得二次函数，得到对称轴，可求得答案． 本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大． 【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为， 根据题意，得： ， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为． （2）由题意得， ∴， 解得：，， ∵想尽量减少库存， ∴， 答：这款水杯的销售单价应定为90元． （3）由题意得， 因为销售单价不低于成本， ∴， 因为销售利润率不高于65%， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，（元）． 答：当销售单价定为99元时，该经销商销售该水杯的总利润最大，最大利润是3978元． 3．（2024·辽宁沈阳·二模）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． (1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？ (2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【答案】(1)三月份每件产品的成本是20万元； (2)，四月份最少利润是500万元． 【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式． （1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求得y与x的函数关系式；再求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程，求解即可； （2）列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 将代入，得（件）， 设三月份每件产品的成本是a万元， 由题意得， 解得， 即三月份每件产品的成本是20万元； （2）解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为， 由题意得： ， 则抛物线的对称轴为，且，开口向下， 则时，取得最小值， 此时，， 即四月份最少利润是500万元． 4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据： 水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm； ②求满足条件的抛物线解析式： (2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】(1)①49，230；② (2)乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值为4.11cm 【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当 时，；②待定系数法求解析式即可求解； （2）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：①观察表格数据，可知当和 时，函数值相等， 对称轴为直线，顶点坐标为， 抛物线开口向下， 最高点时，乒乓球与球台之间的距离是， 当时，， 乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：49；230； ②设抛物线解析式为， 将代入得，， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：∵运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变 ∴可设平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为cm 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 【答案】(1)①；②9米 (2)米以下 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点，设这条抛物线的解析式为，根据待定系数法即可求解； ②将代入中，求出值，即可求解； （2）由对称性可知机翼一侧的长为米，将代入中，求出值，即可求解； （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线，根据抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小．分情况讨论：①当时， ②当时，分别求解即可； 【详解】（1）①由抛物线的对称性可知对称轴为y轴，点， 设这条抛物线的解析式为， 将B，D代入得， 解得， 设这条抛物线的解析式为； ②将代入中，， 答：这个门洞内部顶端离底面的距离为9米． （2）由对称性可知机翼一侧的长为米， 所以将代入中，， 答：飞机飞行时高度必须控制在米以下． （3）由题意得，新抛物线的对称轴为直线， ，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的y值越大，反之抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的y值越小． 分情况讨论： ①当时，y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得，解得， ∴b的取值范围为， ②当时， y的最小值在处取得，最小值为， 由题意，得， 解得， ∴b的取值范围为， 综上所述，或， ∴b的取值范围为：． 6．（2024·辽宁铁岭·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 7．（2024·辽宁大连·一模）【问题情境】 高速摄像机是一种能够以极快速率捕获物体运动图像的设备，可以将快速移动的物体运动的过程拍成照片记录下来．小明和小强参加科技小组活动，小明从一建筑物的顶端，在保证安全的情况下让一个质量为的金属小球由静止状态自由落下，小强用一种高速摄像机拍摄下小球的运动．相机每隔曝一次光，记录下不同时刻小球所处的位置，由于曝光时间间隔相等，因此，照片既记录下了小球自由下落的距离，也记录下了小球运动的时间，具体数据如图1所示． 【问题发现】 小强根据照片上的数据，将小球下降的距离与下落的时间整理成下面的表格，小明检查后发现时，y的值是错误的，请你改正过来． 0 1 2 3 4 0 4.9 14.7 44.1 78.4 （1）y的值是______； 【问题探究】 小明和小强把上表中t、y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出了草图，猜想并验证y与t之间的函数关系； （2）请你先在图2所示的坐标系中描点，再求出这个函数关系式并进行验证． 【问题拓展】 小明把的金属小球换成质量为的金属小球，重新实验，发现小球自由下落的距离与所经过的时间的数据与之前得到的数据完全相同． （3）物理学上将这种运动称为自由落体运动，通过上述两次实验，你能得到关于自由落体运动的一个结论是______（写出一个即可） 【答案】（1）；（2）见解析，，验证见解析；（3）小球自由落体的距离与下落的时间之间的函数关系式为， 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由图1可知，是第二次和第三次曝光之间的距离差，据此即可求出时y的值； （2）先描点画出图象，再利用待定系数法求出二次函数解析式，分别求出函数式验证即可； （3）根据（2）所得结果写出结论即可． 【详解】解：（1）由图1可知，是第二次和第三次曝光之间的距离差， 表示的是小球下降的距离， 当时，； 故答案为：； （2）描点画图如下： 设函数关系式为， 将、代入函数关系式得： ，解得：， 函数关系式为， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即函数关系式满足条件； （3）通过上述两次实验，能得到关于自由落体运动的一个结论是：小球自由落体的距离与下落的时间之间的函数关系式为， 故答案为：小球自由落体的距离与下落的时间之间的函数关系式为． 8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的解析式为： (2) (3)杯中液体深度为或 【分析】本题考查二次函数的实际应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质，进行求解即可． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别为，,分别求出，,即可得出结果； （3）分和进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：点为抛物线和抛物线的顶点，对称轴为轴， 设抛物线的解析式为：， 将点代入，得，解得． 抛物线的解析式为：． 设抛物线的解析式为：，将点代入， 得，解得． 抛物线FCG的解析式为：． （2）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 由题可知，当男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为时，． 在抛物线中：将代入解析式得， ， 两者液体最上层表面圆面积之差为； （3）解：设男士杯中的液体与女士杯中的液体最上层表面圆的半径分别为， 当时， 即 解得．此时深度为． 当时，， 即．解得． 此时深度为．综上所述：杯中液体深度为或． 1．（2024·辽宁·模拟预测）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 【答案】这种商品的销售单价应定为55元 【分析】本题主要考查了一元二次方程在营销问题上的应用，解题的关键在于列出售价与利润之间的关系式，但是要注意，题意中的要求，为了扩大销售量，减少库存，所以在相同利润的情况下，应选取售价较低，销售量较高的方案．设售价为x元，列出售价与利润之间的一元二次关系式，并解得的值，但是为了满足题中要求的扩大销售量，减少库存，要选取售价较低，销售量较高的方案． 【详解】解：设这种商品的售价为x元，依题意得 ， 解得：，， 因需扩大销售量，减少库存，所以应舍去， ∴． 答：这种商品的销售单价应定为55元． 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【详解】（1）解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 【答案】这个旅行团的人数为30人 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为元，利用总旅游费用人均旅游费用人数，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】 解：设这个旅行团的人数为人，则人均旅游费用为：（元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意； 当时，，不合题意，舍去； 答：这个旅行团的人数为30人． 4．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)137个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，利用该市改造老旧小区年投入资金该市改造老旧小区年投入资金（该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）利用年计划投入的资金可以改造老旧小区的数量该市改造老旧小区年投入资金改造每个小区的平均费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：设该地区用于改造老旧小区投入资金的年平均增长率为， 依题意，得． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为． （2）解：根据题意得：（个） 答：2024年计划投入的资金可以改造老旧小区137个． 5．（2024·山东东营·二模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)每盒售价最高为16元； (2)a的值为2； (3)当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元． 【分析】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元，则月销量为盒，根据月销量不低于300盒，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）利用月销售利润每盒的销售利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （3）设月销售利润为y元，根据月利润每盒的利润销售量列出函数解析式，在（1）的条件下由函数的性质求最值． 本题考查了二次函数、 一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （3）找准等量关系，正确列出函数解析式． 【详解】（1）设每盒“河东东”“海营营”套装的售价为x元， 则月销量为盒， 依题意得：，解得：， 答：每盒售价最高为16元； （2）依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：a的值为2； （3）设月销售利润为y元， 根据题意得：， ∴对称轴为， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2700， ∴当每盒售价为16元时，月销售利润最大，最大利润为2700元． 6．（2024·辽宁沈阳·一模）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； (2)甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）设乙种剪纸每套进价为a元，则甲种剪纸每套进价为元，根据用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套，列出方程，解方程即可； （2）设乙种剪纸的销售单价为x元，商家获得的利润为w元，根据利润=售价-进价，列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设乙种剪纸每套进价是a元，则甲种剪纸每套进价元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根， 此时， ∴乙种剪纸每套进价是40元，甲种剪纸每套进价50元； （2）解：设乙种剪纸每套售价为x元，则甲种剪纸每套售价为元，商家获得利润为w元， 根据题意得： ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为120050， 此时， 答：甲种剪纸每套售价为元，乙种剪纸每套售价为54元时，商家可获得最大利润，最大利润是120050元． 7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）阅读与思考： 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区于成本价且利润率不高于．销售一段时间后市场调研发现，与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务：请帮助小明解决相关的3个问题． 【答案】（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 （3）销售单价应定为50元 【分析】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程． （1）“y与x满足一次函数关系”，利用待定系数法求解即可； （2）设每天获利w元，得，由二次函数性质即可解答； （3）根据题意得把代入中，解方程即可． 【详解】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为， 把代入得：， 解得， ∴ （2）设每天获利w元． 根据题意，得 整理，得． ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，对称轴是直线． 又∵售价不得低于成本价且利润率不高于80%， ∴且． 解，得． ∴时，取最大值，． 答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． （3）把代入中， 得 解得，． ∵， ∴． 答：销售单价应定为50元． 8．（2024·辽宁丹东·三模）【问题背景】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） 【建立模型】（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值； 【方案决策】 （3）若每件商品产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每周的最大利润. 【答案】（1）；（2）；当售价是7元时，最大利润是元；（3）最大利润为 【分析】本题考查了一次函数解析式和二次函数的应用； （1）设函数解析式为，再运用待定系数法解答即可； （2）先确定进价，然后再利用销售利润销售量售价进价确定二次函数解析式，然后再确定函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：（1）设一次函数解析式为， 根据题意，得 ， 解得 所以与的函数表达式为． （2）进价为（元/件）， 所以 所以当元时，周销售利润最大，最大利润为元． （3）由（2）可得，当时，周销售利润最大，最大利润为元． ∵每件商品产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数）， ∴当时，取得最大值，最大值为 当时，元时，周销售利润最大，最大利润为元． 综上所述，最大利润为 9．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】(1) (2)小强在这次训练中的成绩为分 (3)小朋友有危险，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）当时，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式， 令，则，整理得， 解得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为米， ∵， ∴小强在这次训练中的成绩为分； （3）解：小朋友有危险，理由如下， 当时，， ∵， ∴小朋友有危险． 10．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．    (1)求篮球出手位置点的高度． (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起拦截，已知乙的拦截高度为，那么他能否获得成功？并说明理由． (3)若甲在乙拦截时，突然向后后退，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度，求篮球出手位置的高度变化． 【答案】(1)点的高度为 (2)获得成功，理由见解析 (3)篮球出手位置的高度提高了 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式． （1）根据题意可得两点和，可设抛物线的表达式为：，代入即可求得解析式； （2）将代入即可求得函数值，再与3比较大小即可； （3）根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点为：，抛物线过点， 设抛物线的表达式为：， 将代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 即点的高度为； （2）获得成功，理由： 当时，， 故能获得成功； （3）由题意得，新抛物线的，抛物线过点、， 则设抛物线的表达式为：， 则，解得：， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 则， 故篮球出手位置的高度提高了． 11．（2024·辽宁盘锦·一模）在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．解答下列问题： (1) 求山坡坡顶的高度为_____米，抛物线C2的函数解析式为_____； (2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； (3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 【答案】(1)；； (2)运动员与点A的水平距离是12； (3)运动员与小山坡的高度差最大是米． 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）将的解析式转化为顶点式，求出最值，待定系数法求出的解析式； （2）令，进行求解即可； （3）设运动员与小山坡的高度差为h，转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：， 当时，y取最大值； 由题意可知抛物线：过点和，将其代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； 故答案为：；； （2）当运动员和小山坡到水平线的高度相同时， ， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴当运动员与点A的水平距离是12，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）设运动员与小山坡的高度差为h， 则， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为， ∴运动员与小山坡的高度差最大是米． 12．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②该航模飞机此次试飞能达到要求，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据表中数据，用待定系数法求出函数解析式； （2）①令，解方程求出的值，再把的值代入求出即可； ②当时，．求得．当时，．求得，再求出二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质求解即可． ，从而得出结论． 【详解】（1）设关于的函数解析式为． 将和代入，得 解得 ∴关于的函数解析式为． （2）①解：令，则， 解得，（舍去）． 当时，． 答：飞机落到水平安全线时飞行的水平距离为． ②该航模飞机此次试飞能达到要求． 理由：当时，．解得． 当时，．解得． ∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． ∴，均在对称轴的左侧． ∵， ∴当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值是． ∵， ∴该航模飞机此次试飞能达到要求． 13．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 33 0 (1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线的表达式． (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 【答案】(1)见解析 (2)①49，230；② (3)乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 14．（2024·辽宁锦州·二模）一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)直接写出图2中抛物线的解析式______； (2)倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； (3)将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先确定，，，的坐标，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，可得旋转前与水平方向的夹角为，即，求出点的坐标，利用待定系数法求出的解析式，并与抛物线解析式联立，求出点的坐标，进而求出的长；把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度，联立和抛物线得到一元二次方程，根据有位于交点，利用根的判别式等于0，求出的值，确定的解析式，进而求出点的坐标，的长，利用三角函数求出即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意知：，，，，，， 抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 把点，代入， 得， 解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）解：液面下降了cm， 此时液面距碗底距离为，即， 当时，， 解得（舍去），， 液面的宽度为cm； （3）解：以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，设与轴交于点，如图： 将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤， 当时停止，所以旋转前与水平方向的夹角为，即， 设直线的解析式为，与轴交于点，如图： 由题意知：点，， ，， ， 即点， ， 解得：， 直线的解析式为：， 由，解得或， ，， ． 把直线，向下平移得到直线，当直线与抛物线只有一个交点时，两平行线之间的距离最大，设与轴交于点，过作，交于点，的长即为碗内面汤的最大深度， 联立， 整理为：， 只要一个交点， ， 即， 解得：， 直线的解析式为：， 点， ， 与水平面的夹角为， 直线与水平面的夹角为，即， 在中， ， 即碗内面汤的最大深度为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查二次函数，一次函数以及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 15．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 【答案】(1)①；②；③63m (2)不超过6分钟 (3)光源应放在和之间 【分析】（1）①作轴于D点，由题意得，根据求出S的值，即可得的长，由此可得B点的坐标； ②设，将B点坐标代入，求出a的值，即可得抛物线的表达式； ③设最长的吊杆为，由题意得，代入表达式中求出y的值，即可得的长，即吊杆的长． （2）作轴，交抛物线于M、N两点，则，求出M、N两点的横坐标，进而可得的长，再求出游客在悬索上方能看到彩车的时间，即可判断结果． （3）设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点，先求出直线的表达式为，由可知直线与直线的k相同，设直线的表达式为，联立抛物线和直线的表达式可得，由，求出m的值为，由此可得直线的表达式为，求出G点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）①如图，作轴于D点， 由题意得， ， ， ， ， ∴点B的坐标为； ②设， 把代入得， 解得， ∴y与x的函数解析式为：； ③如图，设最长的吊杆为EF， ∵吊杆间距10m， ∴， ， 由得，时，， ， ∴最长的吊杆的长度约为63m． （2）如图，作轴，交抛物线于M、N两点， 由题意知，代入抛物线解析式得， 解得，， ，， ， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间为：， ∴游客在悬索上方能看到彩车的时间不超过6分钟． （3） 设光源放在G点时，光线与悬索只有一个交点， 设直线的表达式为，则 ， 解得， ∴直线的表达式为：． ， ∴直线与直线的k相同， 设直线的表达式为， 联立， 得， 整理得， ∵直线与抛物线只有一个交点， ， 解得， ∴直线的表达式为． 当时，， 解得， ∴， ∴光源应放在和之间，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，建立适当的坐标系，求出解析式，熟练掌握求二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程与二次函数的实际应用 目录 题型01 一元二次方程的实际应用 1 题型02 二次函数的实际应用 4 中考练场 14 题型01 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用是初中数学代数领域中，用于解决涉及数量变化规律及几何图形面积等复杂问题的重要内容，中考分值占比大致为 8%-12%。 1.考查重点：重点考查从实际问题中挖掘出能构建一元二次方程的数量关系，并通过求解方程来解决问题。 2.高频题型：常见的有增长率问题、几何图形面积问题、商品定价与利润问题以及传播问题等。 3.高频考点：考点聚焦于根据实际情境准确列出一元二次方程，运用合适方法求解方程，以及依据实际意义对所得方程的解进行筛选和解释。 4.能力要求：学生需具备良好的文字理解能力，能将实际问题转化为数学语言，有较强的逻辑思维梳理数量关系，掌握一元二次方程的求解方法并准确运算。 5.易错点：易错之处在于对实际情境分析不透，导致方程列错；解方程过程中因方法不当或计算失误出错；同时，易忽略实际问题对解的限制，未舍去不符合实际的根。 【提分秘籍】 （1）仔细审题，明确已知条件和未知量，找到等量关系，特别注意判别式的意义。 （2）熟记常见题型的解题套路，如面积问题中的“面积=长×宽”，利润问题中的“利润=售价-成本”等。 （3）解方程时确保系数a、b、c计算准确，求根时注意判别式的值，分析判别式时注意根的性质。 【典例分析】 例1．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件）与每件售价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价/元 日销售量/件 (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由． 例2．（2024·辽宁本溪·一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱，某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售，经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 例3．（2024·辽宁铁岭·一模）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． (1)求原计划每天摊铺沥青多少米． (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【变式演练】 1．（2024·辽宁沈阳·三模）在“五一”期间，贝贝同学参加社会实践活动，在“励志书店”帮助店主销售科普书籍．店主嘱咐，这些科普图书以元的价格购进，根据有关销售规定，销售单价不低于元且不高于元．贝贝同学在四天的销售过程中发现，每天的科普图书销量（本）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，对应如下表： 销售单价元 销售数量本 (1)求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (2)若某天销售科普图书获得的利润为元，则该天销售科普图书的数量为多少本？ 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； (2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 3．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． (1)求进馆人次的月平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人数，并说明理由． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长、宽 的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 5．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）火龙果在春节期间销售很快，某商家在还有天过春节时，用元/千克的进价购回千克火龙果，放在冷库内储存，火龙果最多可以存放天，当日市场价为每千克元，经市场调查发现，此后市场价每天每千克可上涨元，但是平均每天有千克火龙果坏掉，存放天后一次性销售． (1)直接写出x天后还有多少千克的火龙果？ (2)若存放x天后一次性销售，销售总额为元，求x的值． 题型02 二次函数的实际应用 二次函数的实际应用是初中数学函数板块中，用于解决涉及最值、抛物线形状等现实问题的核心内容，中考分值占比约为 10%-15%。 1.考查重点：考查如何将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数的性质求最值以及分析变量间的关系。 2.高频题型：常见高频题型有销售利润问题（求最大利润）、几何图形面积问题（求图形面积最大值或最小值）、物体运动轨迹问题（如抛物线形的投篮、抛球等运动）。 3.高频考点：主要考点为确定二次函数表达式，运用顶点坐标求最值，分析函数图象在实际情境中的意义，如与 x 轴交点表示的实际情况等。 4.能力要求：要求学生具备较强的建模能力，能将实际问题数学化，同时要熟练掌握二次函数图象与性质的运用，具备分析数据和推理的能力。 5.易错点：易错点在于建模过程中对实际情境理解不透彻导致函数表达式错误，求最值时忽略自变量的实际取值范围，以及对函数图象与实际问题结合的解读偏差。 【提分秘籍】 （1）高频题型包括最值问题（如利润最大、成本最小）、抛物线运动问题（如抛体运动）、面积优化问题（如矩形面积最大）、利润最大化问题等。 （2）要熟记常见题型的解题套路，如最值问题通常需要找到顶点坐标，抛物线运动问题需要分析抛物线的开口方向和顶点位置。 【典例分析】 例1．（2025·辽宁沈阳·一模）某超市销售的一种饮料每瓶进价为3元，若每瓶按4元的价格销售，则每月能卖出160瓶；若每瓶按5元的价格销售，则每月能卖出60瓶．如果该超市每月销售这种饮料瓶数（单位：瓶）是销售单价（单位：元）的一次函数． (1)求与的函数关系式； (2)当这种饮料销售单价定为多少元时，该超市每月销售这种饮料获得的利润最大？并求出此时的最大利润． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）辽宁省是中国著名的水果产区之一，很多地区的水果还被列为地标性水果，如大连樱桃、小凉山西瓜、鞍山南果梨、绥中白梨、东港草莓、盖州苹果、庄河歇马杏、朝阳大枣、熊岳葡萄等．某果园今年种植的樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部售完，该果园果农对销售情况进行统计后发现，在该樱桃上市第x天时，日销售量P(单位：与x 之间的函数关系为，樱桃单价y(单位：元)与x之间的函数关系如图所示． (1)当时，求y关于x 的函数解析式； (2)设日销售额为W元，当时，求W 的最大值． 例3．（2024·辽宁锦州·二模）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员（将运动员看成一点）从原点O点起跳，在空中运动的路线是经过点O的抛物线．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻转、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线满足另一条抛物线．一个运动员在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式，并求出入水处点B的坐标； (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5.5米，则该运动员此次跳水会不会失误？请通过计算说明理由． (3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线表达式为，若该运动员出水点D在之间（包括M，N两点），请求运动员入水最大水深的范围． 例4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．    (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由； (2)研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 ①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证； ②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 例5．（2025·辽宁沈阳·一模）［综合探究］运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图像过原点，求抛物线的解析式及顶点的坐标； 【探究二】研究心形叶片的宽度： （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，抛物线与轴交于另一点，点，是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处的宽度； 【探究三】探究幼苗叶片的长度 （3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究一中的二次函数．已知直线（点为叶尖）与水平线的夹角为，求幼苗叶片的长度． 例6．（2024·辽宁鞍山·二模）【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径cm，碗底直径cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离cm，碗足高cm．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 (1)请你帮助小丽求出y与x的关系式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为时，求此时面碗中水的深度； (3)小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 【变式演练】 1．（2024·辽宁抚顺·二模）2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，活动主题为“关注普遍眼健康，共筑“睛”彩大世界”．某电商销售一款护眼贴，每盒的进价为50元，销售平台要求销售单价不低于56元，且获利不高于34%．根据销售经验，当销售单价为56元时，每周可售出200盒，销售单价每上涨1元，每周销售量减少10盒．现电商决定提价销售，设销售单价为x元，每周销售量为y盒． (1)请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当护眼贴的销售单价定为多少元时，该电商每周获利1440元？ (3)将护眼贴的销售单价定为多少元时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2024·辽宁丹东·二模）某经销商购进一款成本为60元的水杯．按物价部门规定，其销售单价不低于成本，但销售利润率不高于．据市场调查发现，水杯每天的销售数量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系：当销售单价为70元时，销售数量为160个；当销售单价为80元时，销售数量为140个． (1)求y与x之间的函数表达式．（不需写出自变量x的取值范围） (2)若该经销商每天想从这款水杯销售中获利3600元，又想尽量减少库存，这款水杯的销售单价应定为多少元？ (3)设该水杯每天的总利润为W（元），那么销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？ 3．（2024·辽宁沈阳·二模）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 … 月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 … 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． (1)求：三月份每件产品的成本是多少万元？ (2)四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 4．（2024·辽宁锦州·模拟预测）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为28.75cm的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据： 水平距离x/cm 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度y/cm 28.75 33 45 49 45 33 0 (1)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是________cm； ②求满足条件的抛物线解析式： (2)技术分析：如果乒乓球的运行轨迹形状不变，最高点与球台之间的距离不变，只上下调整击球高度，确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长为274cm，球网高15.25cm．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为48cm．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）【提出问题】 小星学习二次函数后，查阅资料发现其中一个抛物线形门洞，门洞内的地面宽度为两侧距地面高处各有一盏灯．两灯间的水平距离为，未发现水泥门洞高度．他想知道这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【分析问题】 数形结合思想是解决问题的重要思想．小星想到建立适当的平面直角坐标系．通过数据求出二次函数的表达式．利用表达式可以求得这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米． 【解决问题】 (1)小星根据二次函数图象的性质建立了如图所示的平面直角坐标系． ①求出抛物线的函数表达式； ②这个门洞内部顶端离地面的距离为多少米？ (2)小星学习小组的小红发现，如果她家遥控飞机模型（如图）能飞过此门洞是非常有趣的一件事，飞机的机翼长（是指左右两侧翼尖之间的总长度）为，为保障飞行安全．飞机水平飞行时高度必须控制在多少米以下？ (3)为了造型更加美观，小星决定改造一下门洞，重新设计抛物线，其表达式为当时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围． 6．（2024·辽宁铁岭·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 7．（2024·辽宁大连·一模）【问题情境】 高速摄像机是一种能够以极快速率捕获物体运动图像的设备，可以将快速移动的物体运动的过程拍成照片记录下来．小明和小强参加科技小组活动，小明从一建筑物的顶端，在保证安全的情况下让一个质量为的金属小球由静止状态自由落下，小强用一种高速摄像机拍摄下小球的运动．相机每隔曝一次光，记录下不同时刻小球所处的位置，由于曝光时间间隔相等，因此，照片既记录下了小球自由下落的距离，也记录下了小球运动的时间，具体数据如图1所示． 【问题发现】 小强根据照片上的数据，将小球下降的距离与下落的时间整理成下面的表格，小明检查后发现时，y的值是错误的，请你改正过来． 0 1 2 3 4 0 4.9 14.7 44.1 78.4 （1）y的值是______； 【问题探究】 小明和小强把上表中t、y的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出了草图，猜想并验证y与t之间的函数关系； （2）请你先在图2所示的坐标系中描点，再求出这个函数关系式并进行验证． 【问题拓展】 小明把的金属小球换成质量为的金属小球，重新实验，发现小球自由下落的距离与所经过的时间的数据与之前得到的数据完全相同． （3）物理学上将这种运动称为自由落体运动，通过上述两次实验，你能得到关于自由落体运动的一个结论是______（写出一个即可） 8．（2024·辽宁葫芦岛·一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下： 素材 内容 素材1 如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分： 杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上． 素材2 图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形 素材3 已知，图2坐标系中，，记为，． 根据以上素材内容，尝试求解以下问题： (1)求抛物线和抛物线的解析式； (2)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留） (3)当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差，求杯中液体的深度． 1．（2024·辽宁·模拟预测）某商场将进货单价为20元的日用商品以销售单价35元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种商品的销售单价每上涨1元，其销售量就将减少10个，为了实现平均每月14 000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种商品的销售单价应定为多少元？ 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）沈阳是国家历史文化名城，清朝发祥地，素有“一朝发祥地，两代帝王都”之称．现有阳光旅行社专门定制了一条来我市的旅游线路，收费标准为：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元．但人均旅游费用不得低于700元．如果该旅行社组织的一个来我市的旅行团共收取了费用27000元，求这个旅行团的人数． 4．（2024·辽宁锦州·二模）为了改善人民群众的居住环境，建设美丽城市，近年来国家投入大量资金改造老旧小区．某市2021年投入资金5000万元，2023年投入资金9800万元． (1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； (2)已知2023年改造老旧小区98个，如果投入资金年平均增长率和改造每个小区的平均费用保持不变，那么2024年计划投入的资金可以改造老旧小区多少个？ 5．（2024·山东东营·二模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文情怀，是一座城市的形象图腾．为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物．一时间“河东东”“海营营”套装的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元． (1)商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增长2元，月销量就将减少10盒．若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价最高为多少元？ (2)实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒，于是月销售利润达到了2100元，求的值； (3)在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？ 6．（2024·辽宁沈阳·一模）剪纸是一种非常普及的中国民间艺术，春节期间，人们都喜欢在窗户上贴上窗花作为装饰，不仅烘托了喜庆的节日气氛，还为人们带来了美的享受，集装饰性、欣赏性和实用性于一体．某商家在春节前夕购进甲、乙两种剪纸进行销售，已知每套甲种剪纸的进价是每套乙种剪纸进价的1.25倍，用400元购进甲种剪纸的套数比用400元购进乙种剪纸的套数少2套． (1)求这两种剪纸每套进价分别为多少元？ (2)根据商家的销售经验，甲种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为，乙种剪纸的销售量（套）与销售单价x（元）之间的关系为．若每套甲种剪纸的售价同样是每套乙种剪纸售价的1.25倍，则甲、乙两款剪纸的销售单价定为多少元时，商家可获得最大利润？最大利润是多少元？ 7．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）阅读与思考： 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区于成本价且利润率不高于．销售一段时间后市场调研发现，与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务：请帮助小明解决相关的3个问题． 8．（2024·辽宁丹东·三模）【问题背景】某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润（元）的三组对应值如下表： 售价（元/件） 周销售量（件） 周销售利润（元） 注：周销售利润周销售量（售价进价） 【建立模型】（1）求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）求周销售利润关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围），并求出周销售利润的最大值； 【方案决策】 （3）若每件商品产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每周的最大利润. 9．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． (1)求抛物线的解析式； (2)某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； (3)小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 10．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为，当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大为．    (1)求篮球出手位置点的高度． (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起拦截，已知乙的拦截高度为，那么他能否获得成功？并说明理由． (3)若甲在乙拦截时，突然向后后退，再投篮命中（此时乙没有反应过来，置没有移动），篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度，求篮球出手位置的高度变化． 11．（2024·辽宁盘锦·一模）在北京冬奥自由式滑雪女子大跳台决赛上，中国选手谷爱凌凭借精彩发挥夺得金牌，创造历史．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，图1是跳台比赛场地的示意图，在图2中取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线：近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方3米的A点滑出，滑出后沿一段抛物线：运动，当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为7米．解答下列问题： (1) 求山坡坡顶的高度为_____米，抛物线C2的函数解析式为_____； (2)当运动员与点A的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； (3)运动员从A点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 12．（2024·辽宁大连·一模）某课外科技小组制作了一架航模飞机，计划参加学校举办的航模比赛．通过试验；收集了该飞机相对于出发点飞行的水平距离（单位：）、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据，如下表所示： 飞行时间 0 2 4 6 8 飞行水平距离 0 8 16 24 32 飞行高度 0 18 32 42 48 已知与满足一次函数关系，即，与满足二次函数关系． (1)求关于的函数解析式．（不必写出自变量的取值范围） (2)如图，活动小组在水平安全线上的点处设置一个起飞平台试飞该航模飞机（平台的高度忽略不计）． ①求飞机落到水平安全线时飞行的水平距离． ②若航模比赛规定，以该起飞平台为起点，参赛选手需要控制航模飞机在飞行水平距离为的范围内进行特技动作展示，且动作展示时飞行高度不能低于，请你判断该航模飞机此次试飞能否达到要求，并说明理由． 13．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 33 45 49 45 33 0 (1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象． (2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______． ②求满足条件的抛物线的表达式． (3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）． 14．（2024·辽宁锦州·二模）一个瓷碗的截面图如图1所示，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），点是抛物线的顶点，碗底高，碗底宽，当瓷碗中装满面汤时，液面宽，此时面汤最大深度．以为原点，直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系如图2所示． (1)直接写出图2中抛物线的解析式______； (2)倒去部分面汤后，其液面下降了1.5cm至线段处，试求此时液面的宽度； (3)将瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，如图3，当时停止，此时液面宽______cm；碗内面汤的最大深度是______cm． 15．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布置为180+460+180=820m． 如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中． 【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系? 【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决问题． 【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）． (1)请直接写出以下问题的答案： ①右侧悬索最高点B的坐标； ②y与x的函数解析式； ③最长的吊杆的长度； (2)某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能看到彩车的时间是否超过6分钟； (3)如图3，灯光秀中一个射灯光源C（，），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上? 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$