热点05 统计与概率（8大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点05 统计与概率 中考数学中统计与概率部分主要考向分为四类： 一、数据的整理与收集（每年2~3道，8~14分） 二、数据分析（每年1~2道，3~8分） 三、概率（每年1~3题，3~12分） 四、综合实践（每年1~2题，8~18分） 统计与概率问题在中考中往往以基础题难度呈现，属于必考题。概率有时作为单独的考查点在选择题或者填空题出现，有时与统计相结合，作为解答题中的最后一问，在解答题中常考查运用树状图或者列表法求概率，学生如果选择树状图时，注意卷面的整洁规范。对于统计的知识，扇形统计图、折线统计图、条形统计图、频数分布直方图是常考点，重点在于从图表中获取有效信息进行数据分析，以及补全图表。 考向一：数据的收集与整理 【题型1 调查方式】 全面调查和抽样调查的适用范围：调查总数很少的可以全面调查，如一个班的身高情况；调查总数多的选择抽样调查，如一个学校的作业完成情况；比较重要或影响比较大的事情必须全面调查，如疫情期间，某市感染人数、第7次全国人口普查等． 1．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（    ） A．1500名师生的国家安全知识掌握情况 B．150 C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的150名师生 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】解：样本是从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况． 故选：C． 2．（2022·山东枣庄·中考真题）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 (1)有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______； 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 三、分析数据，解答问题 (2)调查视力数据的中位数所在类别为______类； (3)该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； (4)为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 【分析】（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性即可得； （2）根据类和类的占比，以及中位数的定义即可得； （3）利用1600乘以类与类所占的百分比之和即可得； （4）根据类与类所占的百分比为，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控即可． 【详解】（1）解：由抽样的代表性、普遍性和可操作性可知，方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查，作为样本进行调查分析，是最符合题意的． 故答案为：方案三． （2）解：因为类的占比为，类和类的占比之和为， 所以调查视力数据的中位数所在类别为类， 故答案为：． （3）解：（人）， 答：该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人． （4）解：该校学生近视程度为中度及以上占比为， 说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）． 【题型2 统计图表的分析与应用】 1 条形统计图：总数为各组数量之和； 2 折线统计图：一般用于反应变化趋势； 3 扇形统计图：圆心角=该部分的百分比×360°； 1．（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（    ） A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多 C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为 【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D． 本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键． 【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查， 所以班主任采用的是全面调查， 故A选项错误； 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多， 故B选项错误； 喜爱戏曲节目的同学有名， 故C选项错误； “体育”对应扇形的圆心角为， 故D选项正确． 故选：D． 57．（2022·山东聊城·中考真题）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示： 组别 零花钱数额/元 频数 一 二 12 三 15 四 五 5 关于这次调查，下列说法正确的是（    ） A．总体为50名学生一周的零花钱数额 B．五组对应扇形的圆心角度数为36° C．在这次调查中，四组的频数为6 D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人 【分析】选项A根据“总体”的定义判定即可；选项B用360°乘“五组”所占的百分比即可求出对应的扇形圆心角的度数；选项C根据“频率=频数总数”可得答案；选项D利用样本估计总体即可． 【详解】解：总体为全校学生一周的零花钱数额，故选项A不合题意； 五组对应扇形的圆心角度数为：，故选项B符合题意； 在这次调查中，四组的频数为：50×16%=8，故选项C不合题意； 若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为：（人），故选项D不合题意， 故选：B． 44．（2023·山东临沂·中考真题）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下： 81    90    82    89    99    95    91    83    92    93 87    92    94    88    92    87    100    86    85    96 (1)请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；    (2)①这组数据的中位数是_____________； ②分析数据分布的情况（写出一条即可）_____________； (3)若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数． 【分析】（1）根据极差和组距，可以判断组数，确定分点后，列频数分布表进行统计即可；再将频数分布表中的数据用频数分布直方图表示出来，最后从图表中观察整体的情况，得出结论； （2）①根据中位数的定义求解即可； ②根据频数分布直方图即可解答； （3）用样本估计总体即可求解. 【详解】（1）解：数据从小到大排列：81、82、83、85、86、87、87、88、89、90、91、92、92、92、93、94、95、96、99、100 最大值是100，最小值为81，极差为，若组距为5，则分为4组， 频数分布表 成绩分组 划记 正一 频数 4 6 7 3 频数分布直方图，如图；   ； （2）解：①中位数是； 故答案为； ②测试成绩分布在的较多（不唯一）； （3）解：（人）， 答：估计该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数约为480人． 54．（2022·山东烟台·中考真题）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下： 组别 体育活动时间/分钟 人数 A 0≤x＜30 10 B 30≤x＜60 20 C 60≤x＜90 60 D x≥90 10 根据以上信息解答下列问题： (1)制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比； (2)小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间； (3)若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数． 【分析】（1）用扇形统计图表示各组人数占所调查人数的百分比； （2）根据平均数的计算方法进行计算即可； （3）样本估计总体，求出样本中每天校外体育活动时间不少于1小时的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解：由于各组人数占所调查人数的百分比，因此可以采用扇形统计图； （2）解：＝64（分）， 答：小明本周内平均每天的校外体育活动时间为64分钟； （3）1400×＝980（名）， 答：该校1400名学生中，每天校外体育活动时间不少于1小时的大约有980名． 62．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 【分析】本题主要考查数据统计与整理的相关知识，掌握平均数，方差的计算方法、概率的计算方法等知识的运用是解题的关键． （）根据平均数的计算方法即可求解； （）根据方差的计算即可求解； （）列表或或画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：由题意得去掉一个最高分分，去掉一个最低分分， 则； （2）解：甲班平均分：， 则， 乙班平均分：， 则， 丙班平均分：， 由 所以，整体发挥较好的是甲班和乙班， ∵ ∴乙整体发挥稳定性最好， 故答案为：乙； （3）列表如下．              第二名 第一名 由列表可以看出，所有等可能出现的结果共有种， ∴（选择同一套图书）． 29．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 【分析】（）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （）用乘以甲商家分的占比即可求解； （）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 补全条形统计图如下： （）； （）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 30．（2024·山东威海·中考真题）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）． 2月份测试成绩统计表 个数 人数 表1 本学期测试成绩统计表 1 平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； (2)从多角度分析本次引体向上训练活动的效果； (3)若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 【分析】（1）根据总人数减去引体向上为其他个数的人数，进而补充条形统计图，根据题意求得合格率，补充折线统计图，根据平均数，众数的定义，即可得出的值； （2）根据平均数，众数，中位数，合格率，分析； （3）根据样本估计总体即可求解． 【详解】（1）解：月测试成绩中，引体向上个的人数为 根据表2可得， ； （2）解：本次引体向上训练活动的效果明显， 从平均数和合格率看，平均数和合格率逐月增加， 从中位数看，引体向上个数逐月增加， 从众数看，引体向上的个数越来越大，（答案不唯一，合理即可） （3）解：（人） 答：估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数为人 35．（2023·山东青岛·中考真题）今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．    根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______； (3)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，试估计小明班级的平均成绩； (4)小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因． 【分析】（1）根据直方图与扇形统计图共同有的量C组数据计算出样本即可得到答案； （2）利用乘以A组的占比即可得到答案； （3）利用加权平均数公式求解即可得到答案； （4）根据抽样的要求分析即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， 样本为：（人）， ∴B的人数为：（人）， ∴频数分布直方图如图所示：   ； （2）解：由（1）得， 扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为：， 故答案为：； （3）解：由题意可得， 小明班级的平均成绩为：（分）， 答：小明班级的平均成绩为分； （4）解：由题意可得， 小明估计不准确的原因：小明同学抽样的样本不具有随机性，不符合取样要求． 考向二：数据分析 【题型3 各统计量的计算与选择】 1 极差=最大值-最小值； 2 平均数=； 3 中位数：将数据从小到大（或者从大到小）排列，取中间的数为中位数：共有n个数据，若n为奇数，则中位数是第个，若n为偶数，则中位数为第和第+1个数的平均数； 4 众数：出现次数最多的数据； 5 方差=，反应的是数据的稳定程度，方差越小，数据越稳定。 6 注意：计算这些统计量后，需要加单位。 1、极差 1．（2023·山东青岛·中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分． 【分析】根据极差的定义：一组数据中最大数与最小数的差叫数据的极差直接判断即可得到答案； 【详解】解：由数据得， 极差为：， 故答案为：3． 2、平均数 2．（2022·山东青岛·中考真题）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分． 【分析】按三项得分的比例列代数式再计算即可． 【详解】解：由题意得： 故答案为： 3．（2023·山东聊城·中考真题）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述．      根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______组和第______组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有______人； (2)若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？ (3)若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义以及用样本估计总体的思想求解即可； （2）首先求出每组的平均阅读时间，然后根据算术平均数的计算方法求解即可； （3）将一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比与进行比较即可解答． 【详解】（1）解：∵第③组的人数最多， ∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组； ∵第50、51名学生均在第③组， ∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组； 由题意得：， 即一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为； （人）， 即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人， 故答案为：③，③，，560； （2）解：由题意得，每组的平均阅读时间分别为1.5，2.5，3.5，4.5，5.5， ∴估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为：小时； （3）解：一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比为， ∵， ∴本次课外经典阅读活动不成功， 建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）． 3、中位数 4．（2023·山东枣庄·中考真题）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字（或者两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数． 【详解】解：中位数为第15个和第16个的平均数为：，众数为9． 故选：D． 5．（2023·山东济南·中考真题）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 下面给出了部分信息： a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20． b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：    请根据以上信息完成下列问题： (1)统计图中E组对应扇形的圆心角为____________度； (2)请补全频数分布直方图； (3)这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万； (4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表： 组别 A B C D E 平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50 求这30个地区“五一”假期的平均出游人数． 【分析】（1）由E组的个数除以总个数，再乘以即可； （2）先用D组所占百分比乘以总个数得出其个数，再用总个数减去A、B、D、E组的个数得出C组个数，最后画图即可； （3）根据中位数的定义可得出中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，求解即可； （4）根据加权平均数的求解方法计算即可． 【详解】（1）， 故答案为：36； （2）D组个数：个， C组个数：个， 补全频数分布直方图如下：    （3）共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组， ∴中位数为百万， 故答案为：15.5； （4）（百万）， 答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万． 6．（2022·山东济宁·中考真题）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（  ） A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C．每月阅读课外书本数的众数是45 D．每月阅读课外书本数的中位数是58 【分析】根据折线统计图的变化趋势即可判断A，根据折线统计图中的数据以及众数的定义，中位数的定义即可判断B，C，D选项． 【详解】A.从2月到6月，阅读课外书的本数有增有降，故该选项不正确，不符合题意； B.从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值为78比最小值28多50，故该选项不正确，不符合题意； C. 每月阅读课外书本数的众数是58，故该选项不正确，不符合题意； D.这组数据为： 28，33，45，58，58，72，78，则每月阅读课外书本数的中位数是58，故该选项正确，符合题意； 故选D 4、众数 7．（2024·山东东营·中考真题）4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 【分析】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．直接根据众数的定义求解． 【详解】解：由统计表可知，每天阅读1小时的人数最多，为18人， 所以学生每天的平均阅读时间的众数是1小时． 故答案为：1． 5、方差 8．（2024·山东青岛·中考真题）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 【分析】本题考查了折线统计图和方差，根据折线统计图和方差的意义进行求解即可，掌握方差的意义是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，甲地的气温波动小，比较稳定，乙地的气温波动大，更不稳定， ∴， 故答案为：． 9．（2024·山东烟台·中考真题）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【分析】本题考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴； 故选A． 10．（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【分析】本题考查通过方差判断数据的稳定性，计算3名运动员测试成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大”即可解答． 【详解】解：甲的平均数为 方差； 乙的平均数为 方差； 丙的平均数为 方差； ∴ ∴甲的成绩最稳定． 故选：A． 11．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（    ） A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故选D． 12．（2023·山东·中考真题）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（    ）    A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2 【分析】根据中位数、众数、平均数、方差定义逐个计算即可． 【详解】根据条形统计图可得， 从小到大排列第5和第6人投篮进球数都是5，故中位数是5，选项A不符合题意； 投篮进球数是5的人数最多，故众数是5，选项B不符合题意； 平均数，故选项C不符合题意； 方差，故选项D符合题意； 故选：D． 13．（2023·山东泰安·中考真题）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（    ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是 【分析】根据众数的定义，中位数，平均数，方差的计算方法即可求解． 【详解】解：、这组数据中出现次数最多的是，故众数是，正确，不符合题意； 、这组数据重新排序为：，，，，，， ， ， ，，故中位数是，错误，符合题意； 、这组数据的平均数是，故平均数是，正确，不符合题意； 、这组数据的平均数是，方差是，故方差是，正确，不符合题意； 故选：． 14．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹所在班级10名同学的身高数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（） 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170 下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【分析】根据平均数、众数、中位数的定义即可得出答案． 【详解】解：平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势， ∴能够描述这组数据集中趋势的是平均数、众数、中位数． 故选：ACD． 15．（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键． （1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可． 【详解】（1）解：由题意得：； 把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数； 甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数． 故答案为：80，，． （2）解：甲的方差为： ； 乙的方差为： ， 因为， 所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐． 故答案为：甲． （3）解：（个）． 答：大果约有600个． 16．（2022·山东潍坊·中考真题）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测． 【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率． 样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b 表中___________；___________． 请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩． 【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示． A组：；B组：；C组：． 请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）． 【监测反思】 ①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？ 【分析】学科测试：用列表法求解小亮、小莹作答相同试卷的概率即可；根据中位数和众数的定义求a和b的值；根据平均数、方差、中位数、众数分别分析即可； 问卷调查：根据平均数的定义求解即可； 监测反思：①根据表格中的数据和频数分布直方图分析语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②统计调查要考虑总体的大小来确定样本容量的大小． 【详解】学科测试：设3套不用的试卷分别为1、2、3，列表如下： 1 2 3 1 （1,2） （2,1） （3,1） 2 （1,2） （2,2） （3,2） 3 （1,3） （2,3） （3,3） 一共有9种情况，而满足题意的有三种情况， ∴小亮、小莹作答相同试卷的概率为， 由表可得甲校的中位数， 乙校的众数； 从平均数看两校的成绩一样；从方差看乙校的成绩比较均衡；从中位数看甲校的成绩好于乙校；从众数看乙校的成绩好于甲校； 问卷调查：根据频数分布直方图可得， 甲校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）， 乙校样本学生阅读课外书的平均数量为（本）； 监测反思：①从语文测试成绩来看：甲乙平均数一样大，乙校样本学生成绩比较稳定，甲校的中位数比乙校高，但从众数来看乙校成绩要好一些； 从课外阅读量来看：虽然甲校学生阅读课外书的平均数较大，但整体来看，三个组的人数差别较大，没有乙校的平稳； 综上来说，课外阅读量越大，语文成绩就会好一些，所以要尽可能的增加课外阅读量； ②甲、乙两校学生都超过2000人，不可以按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平，因为W市的抽样方法是各校抽取了10人，样本容量较小，而甲乙两校的学生人数太多，评估出来的数据不够精确，所以不能用这10个人的成绩来评估全校2000 多人的成绩． 考向三：概率 【题型4 简单事件概率】 求摸球试验的概率时，一定要注意是放回还是不放回； 1．（2023·山东济南·中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数． 【详解】解：， ∴盒子中棋子的总个数是． 故答案为：． 2．（2022·山东威海·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是(   ) A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率． 【详解】解：一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球， 从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种， 从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是， 故选：A． 【题型5 几何类型概率】 1 对于时间问题，常转化为线段图，即概率为长度之比； 2 对于平面区域问题，概率为面积之比； 3 对于空间区域问题，概率为体积之比。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ． 【分析】根据简单地概率公式计算即可． 本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种， 故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为． 故答案为：． 2．（2022·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块， ∴它最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为： 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 【题型6 列举法求概率】 1 对于两步型试验，一般选择列表法，特别是解答题，列表法比树状图法卷面更显整洁； 2 对于游戏是否公平问题，需要分别求出两人获胜的概率，概率相同则公平，否则就是不公平。 1．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键．画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同一个活动的结果有3种， 小红和小丽恰好选到同一个活动的概率为， 故选：C． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 【分析】本题考查了用列举法求概率，列出所有可能出现的结果，再找出每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的结果，利用概率公式计算即可求解，正确列出所有可能出现的结果是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 3．（2023·山东济南·中考真题）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 4．（2023·山东淄博·中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．    【分析】先画出树状图，从而可得投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果，再找出投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意，画出树状图如下：      由图可知，投掷两枚骰子，朝上一面的点数的所有等可能的结果共有36种，其中，投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的结果有6种， 则投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率为， 故答案为：． 6．（2023·山东·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到红球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画树状图如下：    由树状图知，共有20种等可能的情况数，其中两人都摸到红球的有2种， 则两人都摸到红球的概率是． 故选：A． 7．（2023·山东·中考真题）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ． 【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可． 【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同， 列表如下： 1 2 3 0 10 20 30 1 21 31 2 12 32 3 13 23 一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32， ∴是偶数的概率为． 故答案为：． 8．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解． 【详解】解：所有可能的结果如下： 乙甲 1 2 3 4 5 1 2 ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果． ∴P（小冰获胜） P（小雪获胜） ∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜） ∴游戏对双方都公平． 【题型7 概率与其他知识的综合】 1．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ． 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种， 两球上的数字之积恰好是有理数的概率为， 故答案为：． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A． B． C． D．1 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故选：B． 3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是 ． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 2 0 -1 3 （2，3） （0，3） （-1，3） 2 （2，2） （0，2） （-1，2） -2 （2，-2） （0，-2） （-1，-2） -3 （2，-3） （0，-3） （-1，-3） 由表可知，共有12种等可能，其中点落在直角坐标系第二象限的有2种， 所以点落在直角坐标系第二象限的概率是， 故答案为：． 4．（2022·山东东营·中考真题）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义，结合概率计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，由轴对称图形的定义可知当选取编号为1，3，5，6其中一个白色区域涂黑后，能使黑色方块构成的图形是轴对称图形， ∴任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是， 故选A． 考向四：综合实践 【题型8 统计与概率的综合实践】 4 解方程组时，常使用加减消元法，求解完后，可以带回检验一下； 5 二元一次方程组的解指的是各个方程的公共解，对于已知某方程组的解也同样适用于其他方程的题型，有时可以将方程进行重组成新的方程组。 1．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 【分析】（1）用家务劳动时间为②组的人数除以所占百分比，即可得到调查总人数，再用乘以第④组人数所占比例即可求解； （2）用调查总人数减去第①②④⑤组的人数，得到第③组的人数，即可补全周家务劳动时间的频数直方图； （3）先求出调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用800乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数所占比例即可； （4）画出树状图，得到所有可能出现的结果数，再找出两人恰好选到同一门课程的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：调查总人数为：（名）， 第④组所对应扇形的圆心角的度数为： （2）解：第③组的人数为：（人）， 可补全周家务劳动时间的频数直方图如图；    （3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为：（人） （人）， 答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数有176人； （4）解：树状图如图所示：    则共有25中情况，两人恰好选到同一门课程的结果数有5种， 两人恰好选到同一门课程的概率为：． 2．（2023·山东东营·中考真题）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．    请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)在本次调查中，一共抽取了____名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为____； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数； (4)学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率． 【分析】（1）用选择研学基地B的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生人数；用A的学生人数除以本次被调查的学生人数再乘以可得选择研学基地A所对应的圆心角的度数． （2）求出选择研学基地C、D的学生人数，补全条形统计图即可． （3）用选择研学基地C所占百分比乘以480即可． （4）画树状图得出所有等可能的结果数和所选的两人恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：样本容量为(名)，即一共抽取了24名学生； A所对应圆心角的度数为； 故答案为：24，； （2）解：选择研学基地C的学生人数(名)， 选择研学基地D的学生人数(名)， 补全图形如图所示：   ； （3）解：(名)， 答：该校选择研学基地C的学生人数是120名． （4）解：选择研学基地D的学生有2名男生和2名女生，画树状图如下：    共有12种等可能的结果，其中所选2人都是男生的结果有2种， ∴P（所选2人都是男生）． 3．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； (2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． (3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 补全条形统计图如图所示： （2）解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； （3）解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东东营·中考真题）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是， 从甲，丙，丁中选取， 甲的方差是，丙的方差是，丁的方差是， 发挥最稳定的运动员是丁， 从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故答案为：丁． 2．（2023·山东烟台·中考真题）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 【分析】根据平均数，中位数，极差，方差的定义分别求解即可． 【详解】甲班视力值分别为：； 从小到大排列为：；中位数为， 平均数为；极差为 方差为； 乙班视力值分别为：； 从小到大排列为：，中位数为 平均数为；极差为 方差为； 甲、乙班视力值的平均数、中位数、极差都相等，甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差，故D选项正确 故选：D． 3．（2023·山东滨州·中考真题）在某次射击训练过程中，小明打靶次的成绩（环）如下表所示： 靶次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 成绩（环） 则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【分析】根据众数的定义，以及方差的定义，即可求解． 【详解】解：这组数据中，10出现了4次，故众数为10， 平均数为：， 方差为， 故选：C． 4．（2022·山东东营·中考真题）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 分钟． 作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组数据的众数． 【详解】解：由表可知： ∵6＞4＞2＞2＞1， ∴这组数据的众数是70分钟． 故答案为：70． 5．（2022·山东淄博·中考真题）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ） A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15 【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题． 【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15． 故选：D． 6．（2023·山东潍坊·中考真题）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查． 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 【数据的描述与分析】 （1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．    （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 m n 3.3 1.01 直接写出表格中m、n的值，并求出． 【数据的应用与评价】 （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 【分析】（1）利用乘以七年级学生投稿2篇的学生所占百分比即可得的值；根据八年级学生的投稿篇数的频数分布表补全频数直方图即可； （2）根据中位数和众数的定义、加权平均数公式即可得； （3）从中位数、众数、平均数、方差的意义进行分析即可得． 【详解】解：（1）两个年级随机抽取的学生数量为（人）， 则． 补全频数直方图如下：    （2）， 将八年级学生的投稿篇数按从小到大进行排序后，第25个数和第26个数的平均数即为其中位数， ，， 中位数， ∵在八年级学生的投稿篇数中，投稿篇数4出现的次数最多， ∴众数． （3）从中位数、众数、平均数来看，八年级学生的均高于七年级学生的，而且从方差来看，八年级学生的小于七年级学生的，所以八年级学生的投稿情况比七年级学生的投稿情况好． 7．（2023·山东·中考真题）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．    表1 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 35% 第二次 b 8 9 c 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； (2)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； (3)从多角度分析本次专项安全教育活动的效果． 【分析】（1）先求出第二次测试得8分的人数，然后求出第二次测试得7分的人数，再补全统计图即可；根据众数、中位数的定义，合格率的计算方法求解即可； （2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可； （3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析． 【详解】（1）解：第二次测试得8分的人数为：（人）， 第二次测试得7分的人数为：（人）， 补全图2中的统计图如图：    由表1知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数， 第二次测试的平均数为， 第二次测试的合格率； （2）解：（人）， 答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人； （3）解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升， 故本次专项安全教育活动的效果非常显著． 8．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 9．（2024·山东·中考真题）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 10．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（   ） A． B． C． D． 【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即即可． 【详解】解：列表如下： A B A A，A A，B B B，A B，B 所以所有的等可能的结果数有4种，符合条件的结果数有1种， 所以该校同学王明和李强均从通道入校的概率是 故选A 11．（2022·山东德州·中考真题）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小明和姐姐抽取的度假方案相同的结果有3种， ∴小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率为， 故答案为：． 12．（2024·山东烟台·中考真题）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______； (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法或树状图法求概率： （1）组人数除以所占的比例，求出总人数，进而求出组人数，补全条形图即可； （2）用组人数除以总数，求出的值，组人数所占的比例乘以360度求出圆心角的度数； （3）列出表格，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：， ∴组人数为：； 补全条形图如图： （2）， ∴， D组对应的扇形圆心角的度数为； 故答案为：； （3）列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 13．（2023·山东枣庄·中考真题）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．    请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【分析】（1）利用组人数除以所占的百分比求出总数，总数乘以组的百分比，求出组人数，进而求出组女生人数，总数乘以组的百分比，求出组的人数，进而求出组男生人数； （2）根据（1）中所求数据，补全图形即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【详解】（1）解：（人）， ∴一共调查了20人； ∴组人数为：（人）， ∴组女生有：（人）； 由扇形统计图可知：组的百分比为， ∴组人数为：（人）， ∴组男生有：（人）； 故答案为： （2）补全图形如下：    （3）用表示名男生，用表示两名女生，列表如下： A B C D E A B C D E 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， ∴． 14．（2023·山东·中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3    请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________； (2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； (3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 【分析】（1）根据统计图可得抽取学生的总人数为50人，然后可得m的值，进而问题可求解； （2）根据题意易知大于等于80的学生所占比，然后问题可求解； （3）根据列表法可进行求解概率． 【详解】（1）解：由统计图可知：D等级的人数有8人，所占比为， ∴抽取学生的总人数为（人）， ∴，C等级对应扇形的圆心角的度数为； 故答案为15，； （2）解：由题意得： （人）， 答：该学校“劳动之星”大约有760人 （3）解：由题意可列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 / 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男1男2 / 男2女1 男2女2 女1 男1女1 男2女1 / 女1女2 女2 男1女2 男2女2 女1女2 / 从A等级两名男同学和两名女同学中随机选取2人进行经验分享，共有12种情况，恰好抽取一名男同学和一名女同学共有8种情况，所以抽取一名男同学和一名女同学的概率为． 33 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点05 统计与概率 中考数学中统计与概率部分主要考向分为四类： 一、数据的整理与收集（每年2~3道，8~14分） 二、数据分析（每年1~2道，3~8分） 三、概率（每年1~3题，3~12分） 四、综合实践（每年1~2题，8~18分） 统计与概率问题在中考中往往以基础题难度呈现，属于必考题。概率有时作为单独的考查点在选择题或者填空题出现，有时与统计相结合，作为解答题中的最后一问，在解答题中常考查运用树状图或者列表法求概率，学生如果选择树状图时，注意卷面的整洁规范。对于统计的知识，扇形统计图、折线统计图、条形统计图、频数分布直方图是常考点，重点在于从图表中获取有效信息进行数据分析，以及补全图表。 考向一：数据的收集与整理 【题型1 调查方式】 全面调查和抽样调查的适用范围：调查总数很少的可以全面调查，如一个班的身高情况；调查总数多的选择抽样调查，如一个学校的作业完成情况；比较重要或影响比较大的事情必须全面调查，如疫情期间，某市感染人数、第7次全国人口普查等． 1．（2023·山东聊城·中考真题）4月15日是全民国家安全教育日.某校为了摸清该校1500名师生的国家安全知识掌握情况，从中随机抽取了150名师生进行问卷调查．这项调查中的样本是（    ） A．1500名师生的国家安全知识掌握情况 B．150 C．从中抽取的150名师生的国家安全知识掌握情况 D．从中抽取的150名师生 2．（2022·山东枣庄·中考真题）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动． 一、确定调查对象 (1)有以下三种调查方案： 方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查； 方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名生，进行视力状况调查； 方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查． 其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是______； 二、收集整理数据 按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成如图一幅不完整的统计图． 抽取的学生视力状况统计表 类别 A B C D 视力 视力≥5.0 4.9 4.6≤视力≤4.8 视力≤4.5 健康状况 视力正常 轻度视力不良 中度视力不良 重度视力不良 人数 160 m n 56 三、分析数据，解答问题 (2)调查视力数据的中位数所在类别为______类； (3)该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数； (4)为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议． 【题型2 统计图表的分析与应用】 1 条形统计图：总数为各组数量之和； 2 折线统计图：一般用于反应变化趋势； 3 扇形统计图：圆心角=该部分的百分比×360°； 1．（2024·山东济宁·中考真题）为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（    ） A．班主任采用的是抽样调查 B．喜爱动画节目的同学最多 C．喜爱戏曲节目的同学有6名 D．“体育”对应扇形的圆心角为 57．（2022·山东聊城·中考真题）“俭以养德”是中华民族的优秀传统，时代中学为了对全校学生零花钱的使用进行正确引导，随机抽取50名学生，对他们一周的零花钱数额进行了统计，并根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图，如图所示： 组别 零花钱数额/元 频数 一 二 12 三 15 四 五 5 关于这次调查，下列说法正确的是（    ） A．总体为50名学生一周的零花钱数额 B．五组对应扇形的圆心角度数为36° C．在这次调查中，四组的频数为6 D．若该校共有学生1500人，则估计该校零花钱数额不超过20元的人数约为1200人 44．（2023·山东临沂·中考真题）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下： 81    90    82    89    99    95    91    83    92    93 87    92    94    88    92    87    100    86    85    96 (1)请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；    (2)①这组数据的中位数是_____________； ②分析数据分布的情况（写出一条即可）_____________； (3)若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数． 54．（2022·山东烟台·中考真题）2021年4月，教育部办公厅在《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中明确要求保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间．某校为了解本校学生校外体育活动情况，随机对本校100名学生某天的校外体育活动时间进行了调查，并按照体育活动时间分A，B，C，D四组整理如下： 组别 体育活动时间/分钟 人数 A 0≤x＜30 10 B 30≤x＜60 20 C 60≤x＜90 60 D x≥90 10 根据以上信息解答下列问题： (1)制作一个适当的统计图，表示各组人数占所调查人数的百分比； (2)小明记录了自己一周内每天的校外体育活动时间，制作了如下折线统计图．请计算小明本周内平均每天的校外体育活动时间； (3)若该校共有1400名学生，请估计该校每天校外体育活动时间不少于1小时的学生人数． 62．（2024·山东日照·中考真题）为进一步推动阳光体育运动，提高学生身体素质，今年月学校举行健美操比赛，最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛．团体决赛需要分别进行五个单项比赛，计分规则如下表： 单项比赛计分规则 五名裁判打分，去掉一个最高分和一个最低分，剩下三个有效分的平均数即为该项得分 团体决赛计分规则 各单项比赛得分之和为团体最终成绩，名次按团体最终成绩由高到低排序 现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析，并绘制统计图表，部分信息如下： ．甲、乙两班五个单项得分折线图： ．丙班五个单项得分表： 项目 一 二 三 四 五 得分 根据以上信息，回答下列问题： (1)已知丙班第二个单项比赛中，五名裁判的打分分别为，，，，，求丙班第二个单项的得分； (2)若团体最终成绩相同，则整体发挥稳定性最好的班级排名靠前，那么获得团体比赛冠军的是_______班；（填“甲”“乙”或“丙”） (3)获得团体决赛前两名的班级可得到一套图书奖励，现有，，三种图书可供选择，请用列表或画树状图的方法，求两个班级都选择同一套图书的概率 29．（2024·山东潍坊·中考真题）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价（分值为分、分、分、分和分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】 下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（）（）． （）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； （）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角的度数． 【分析与应用】 样本数据的统计量如下表，请回答问题（）（）． 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 乙商家 （）直接写出表中和的值，并求的值； （）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的观点． 30．（2024·山东威海·中考真题）为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动，设定6个及以上为合格．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了20名男生2至6月份的测试成绩．其中，2月份测试成绩如表1，6月份测试成绩如图1（尚不完整）．整理本学期测试数据得到表2和图2（尚不完整）． 2月份测试成绩统计表 个数 人数 表1 本学期测试成绩统计表 1 平均数/个 众数/个 中位数/个 合格率 2月 3月 4月 5月 6月 表2 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图1和图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； (2)从多角度分析本次引体向上训练活动的效果； (3)若将此活动在邻校八年级推广，该校八年级男生按400人计算，以随机抽查的20名男生训练成绩为样本，估算经过一学期的引体向上训练，可达到合格水平的男生人数． 35．（2023·山东青岛·中考真题）今年4月日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分分）均不低于分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（），B组（），C组（），D组（），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．    根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为______； (3)把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：的中间值为）来代替，试估计小明班级的平均成绩； (4)小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有名学生中会有名学生成绩低于分，实际只有名学生的成绩低于分．请你分析小明估计不准确的原因． 考向二：数据分析 【题型3 各统计量的计算与选择】 1 极差=最大值-最小值； 2 平均数=； 3 中位数：将数据从小到大（或者从大到小）排列，取中间的数为中位数：共有n个数据，若n为奇数，则中位数是第个，若n为偶数，则中位数为第和第+1个数的平均数； 4 众数：出现次数最多的数据； 5 方差=，反应的是数据的稳定程度，方差越小，数据越稳定。 6 注意：计算这些统计量后，需要加单位。 1、极差 1．（2023·山东青岛·中考真题）小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8，．这六个分数的极差是 分． 2、平均数 2．（2022·山东青岛·中考真题）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演进比赛，其演讲形象、内容、效果三项得分分别是9分，8分，8分．若将三项得分依次按3∶4∶3的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分． 3．（2023·山东聊城·中考真题）某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述．      根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______组和第______组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有______人； (2)若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？ (3)若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议． 3、中位数 4．（2023·山东枣庄·中考真题）4月23日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校七年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 6 7 10 7 课外书数量（本） 6 7 9 12 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 5．（2023·山东济南·中考真题）2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组： A组：；B组：；C组：；D组：；E组：． 下面给出了部分信息： a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20． b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：    请根据以上信息完成下列问题： (1)统计图中E组对应扇形的圆心角为____________度； (2)请补全频数分布直方图； (3)这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万； (4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表： 组别 A B C D E 平均出游人数（百万） 5.5 16 32.5 42 50 求这30个地区“五一”假期的平均出游人数． 6．（2022·山东济宁·中考真题）某班级开展“共建书香校园”读书活动．统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的本数，并绘制出如图所示的折线统计图．则下列说法正确的是（  ） A．从2月到6月，阅读课外书的本数逐月下降 B．从1月到7月，每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45 C．每月阅读课外书本数的众数是45 D．每月阅读课外书本数的中位数是58 4、众数 7．（2024·山东东营·中考真题）4月23日是世界读书日，东营市组织开展“书香东营，全民阅读”活动，某学校为了解学生的阅读时间，随机调查了七年级50名学生每天的平均阅读时间，统计结果如下表所示．在本次调查中，学生每天的平均阅读时间的众数是 小时． 时间（小时） 0.5 1 1.5 2 2.5 人数（人） 10 18 12 6 4 5、方差 8．（2024·山东青岛·中考真题）图①和图②中的两组数据，分别是甲、乙两地年月日至日每天的最高气温，设这两组数据的方差分别为，，则 ．（填“”，“”，“”） 9．（2024·山东烟台·中考真题）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．（2024·山东德州·中考真题）甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 甲 乙 丙 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 11．（2024·山东淄博·中考真题）数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（    ） A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10 12．（2023·山东·中考真题）为检测学生体育锻炼效果，从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，投篮进球数统计如图所示．对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（    ）    A．中位数是5 B．众数是5 C．平均数是5.2 D．方差是2 13．（2023·山东泰安·中考真题）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（    ） A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是 C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是 14．（2022·山东潍坊·中考真题）小莹所在班级10名同学的身高数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（） 165 158 168 162 174 168 162 165 168 170 下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是（    ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 15．（2024·山东泰安·中考真题）某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： (1) 统计量供应商 平均数 中位数 众数 甲 80 80 乙 76 则__________，__________，__________． (2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”） (3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？ 16．（2022·山东潍坊·中考真题）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测． 【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率． 样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表： 样本学生成绩 平均数 方差 中位数 众数 甲校 50 66 66 66 78 80 81 82 83 94 74.6 141.04 a 66 乙校 64 65 69 74 76 76 76 81 82 83 74.6 40.84 76 b 表中___________；___________． 请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩． 【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数直方图，如图所示． A组：；B组：；C组：． 请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）． 【监测反思】 ①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性； ②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？ 考向三：概率 【题型4 简单事件概率】 求摸球试验的概率时，一定要注意是放回还是不放回； 1．（2023·山东济南·中考真题）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是 ． 2．（2022·山东威海·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是(   ) A． B． C． D． 【题型5 几何类型概率】 1 对于时间问题，常转化为线段图，即概率为长度之比； 2 对于平面区域问题，概率为面积之比； 3 对于空间区域问题，概率为体积之比。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ． 2．（2022·山东济南·中考真题）如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 3．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型6 列举法求概率】 1 对于两步型试验，一般选择列表法，特别是解答题，列表法比树状图法卷面更显整洁； 2 对于游戏是否公平问题，需要分别求出两人获胜的概率，概率相同则公平，否则就是不公平。 1．（2024·山东济南·中考真题）3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东潍坊·中考真题）小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是 ． 3．（2023·山东济南·中考真题）从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A． B． C． D． 4．（2023·山东淄博·中考真题）“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·山东潍坊·中考真题）投掷两枚骰子，朝上一面的点数之和为7的概率是 ．    6．（2023·山东·中考真题）一个不透明的袋子中装有2个红球、3个黄球，每个球除颜色外都相同．晓君同学从袋中任意摸出1个球（不放回）后，晓静同学再从袋中任意摸出1个球．两人都摸到红球的概率是（　　） A． B． C． D． 7．（2023·山东·中考真题）用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为 ． 8．（2022·山东青岛·中考真题）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【题型7 概率与其他知识的综合】 1．（2023·山东聊城·中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ． 2．（2022·山东烟台·中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　） A． B． C． D．1 3．（2022·山东聊城·中考真题）如图，两个相同的可以自由转动的转盘A和B，转盘A被三等分，分别标有数字2，0，-1；转盘B被四等分，分别标有数字3，2，-2，-3．如果同时转动转盘A，B，转盘停止时，两个指针指向转盘A，B上的对应数字分别为x，y（当指针指在两个扇形的交线时，需重新转动转盘），那么点落在直角坐标系第二象限的概率是 ． 4．（2022·山东东营·中考真题）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 考向四：综合实践 【题型8 统计与概率的综合实践】 4 解方程组时，常使用加减消元法，求解完后，可以带回检验一下； 5 二元一次方程组的解指的是各个方程的公共解，对于已知某方程组的解也同样适用于其他方程的题型，有时可以将方程进行重组成新的方程组。 1．（2024·山东淄博·中考真题）希望中学做了如下表的调查报告（不完整）： 调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程 调查方式 随机问卷调查 调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在范围内） 调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是①②③④⑤ （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门） A家政    B.烹饪    C.剪纸    D.园艺    E．陶艺 调查结果    结合调查信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的学生人数________名；在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为________度； (2)补全周家务劳动时间的频数直方图： (3)若该校七年级学生共有800人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数； (4)小红和小颖分别从“家政”等五门最喜欢的劳动课程中任选一门学习，请用列表法或画树状图的方法，求两人恰好选到同一门课程的概率． 2．（2023·山东东营·中考真题）随着新课程标准的颁布，为落实立德树人根本任务，东营市各学校组织了丰富多彩的研学活动，得到家长、社会的一致好评．某中学为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了A．“青少年科技馆”，B．“黄河入海口湿地公园”，C．“孙子文化园”，D．“白鹭湖营地”四个研学基地进行研学．为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．    请根据统计图中的信息解答下列问题： (1)在本次调查中，一共抽取了____名学生，在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为____； (2)将上面的条形统计图补充完整； (3)若该校共有480名学生，请你估计选择研学基地C的学生人数； (4)学校想从选择研学基地D的学生中选取两名学生了解他们对研学活动的看法，已知选择研学基地D的学生中恰有两名女生，请用列表法或画树状图的方法求出所选2人都是男生的概率． 3．（2024·山东东营·中考真题）为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； (2)调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． (3)学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东东营·中考真题）为备战东营市第十二届运动会，某县区对甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，他们射击测试成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 ． 2．（2023·山东烟台·中考真题）长时间观看手机、电脑等电子产品对视力影响非常大．6月6日是“全国爱眼日”，为了解学生的视力情况，某学校从甲、乙两个班级各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，则下列说法正确的是（    ）    A．甲班视力值的平均数大于乙班视力值的平均数 B．甲班视力值的中位数大于乙班视力值的中位数 C．甲班视力值的极差小于乙班视力值的极差 D．甲班视力值的方差小于乙班视力值的方差 3．（2023·山东滨州·中考真题）在某次射击训练过程中，小明打靶次的成绩（环）如下表所示： 靶次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 第次 成绩（环） 则小明射击成绩的众数和方差分别为（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（2022·山东东营·中考真题）为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是 分钟． 作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90 人数（单位：人） 1 4 6 2 2 5．（2022·山东淄博·中考真题）小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 人数 3 4 8 5 课外书数量（本） 12 13 15 18 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ） A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15 6．（2023·山东潍坊·中考真题）某中学积极推进校园文学创作，倡导每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件．学期末，学校对七、八年级的学生投稿情况进行调查． 【数据的收集与整理】 分别从两个年级随机抽取相同数量的学生，统计每人在本学期投稿的篇数，制作了频数分布表． 投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5 七年级频数（人） 7 10 15 12 6 八年级频数（人） 2 10 13 21 4 【数据的描述与分析】 （1）求扇形统计图中圆心角的度数，并补全频数直方图．    （2）根据频数分布表分别计算有关统计量： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 七年级 3 3 1.48 八年级 m n 3.3 1.01 直接写出表格中m、n的值，并求出． 【数据的应用与评价】 （3）从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对七、八年级学生的投稿情况进行比较，并做出评价． 7．（2023·山东·中考真题）某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）．    表1 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 35% 第二次 b 8 9 c 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； (2)若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； (3)从多角度分析本次专项安全教育活动的效果． 8．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 9．（2024·山东·中考真题）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（    ） A． B． C． D． 10．（2022·山东临沂·中考真题）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了，两条体温快速检测通道，该校同学王明和李强均从通道入校的概率是（   ） A． B． C． D． 11．（2022·山东德州·中考真题）假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在三张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ． 12．（2024·山东烟台·中考真题）“山海同行，舰回烟台”．2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：；B组：；C组：；D组：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． (1)请补全条形统计图； (2)扇形统计图中，a的值为_____，D组对应的扇形圆心角的度数为______； (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 13．（2023·山东枣庄·中考真题）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．    请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图； (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 14．（2023·山东·中考真题）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图． 等级 劳动积分 人数 A 4 B m C 20 D 8 E 3    请根据以上图表信息，解答下列问题： (1)统计表中_________，C等级对应扇形的圆心角的度数为_________； (2)学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人； (3)A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率． 25 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$