热点06 三角形与全等（6大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（山东专用）

热点06 三角形与全等 中考数学中三角形与部分主要考向分为三类： 一、三角形中的角与线（每年1~2道，3~6分） 二、特殊的三角形（每年1~2道，3~6分） 三、全等三角形（每年1~2题，3~12分） 全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要．首先，全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，小题、简单题均有可能出现．而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌握对应知识技巧后一半都能拿下．而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。 考向一：三角形中的角与线 【题型1 三角形的内角与外角】 1 三角形的内角和为180°； 2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在一线三等角模型中，应用外角可容易判断出两角相等； 1．（2024·山东淄博·二模）已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形分类，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和，根据，再根据可得出答案． 【详解】解：设一个角的度数为，则另外两个角分别为，和， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三角形为钝角三角形． 故选：C． 2．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，灵活运用等腰三角形的性质、三角形外角的性质成为解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，，再根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解的：，则． 故答案为：． 3．（2023·山东淄博·二模）如图，在中，，，点是线段上任意一点，连接，作，交线段于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题． （1）直接利用三角形内角和定理可求出；然后根据平角的定义和等腰三角形的性质求出和，再根据三角形内角和定理求出即可； （2）求出，利用即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， 在和中， ， ． 4．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数． 【详解】解：∵，∠BAE＝50°， ∴∠BAE=∠DFE=50°， ∵CF＝EF， ∴∠C=∠E， ∵∠DFE=∠C+∠E=50°， ∴∠E=25°． 故选：B． 5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到，等边对等角，得到，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了等腰三角形及线段垂直平分线．熟练掌握等腰三角形等边对等角，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，三角形外角性质，是解决问题的关键． 首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后利用三角形的外角的性质和线段垂直平分线的性质求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故选：C． 【题型2 三角形中的线】 1 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2 中线：平分一边；平分原三角形面积；涉及到中线时，常将中线等倍延长，构造辅助线。 3 高：几种线中，只有高线有可能在三角形外部，做题时需要思考是不是要分类讨论； 4 角平分线：三条角平分线的交点为三角形内切圆的圆心 ； 5 中位线：一条中位线与第三条边平行，且等于第三条边的一半。 1．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（   ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，先由，，得，解得，结合为整数，即可作答． 【详解】解：∵三角形的三边分别为，，，其中，且，，， ∴， 解得， ∵为整数， ∴的长是4或5， 故选：B． 2．（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可． 【详解】解方程得或， 当时，，不能构成三角形； 当时，这个三角形的周长是， 故选D． 3．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    【分析】如图，延长交于，证明，则，证明，则，即，解得，即是的中点，是的中位线，进而可得． 【详解】证明：如图，延长交于，    ∵平分，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴． 5．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 6．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】过点作，根据切线长定理设，进而结合已知条件表示出，求得的长，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵是的内心， ∴， 设， ∵BD＝10， ∴， ∴,， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选B． 考向二：特殊的三角形 【题型3 等腰三角形的判定与性质】 1 性质：等腰三角形的两条边相等；等边对等角；三线合一； 2 判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边； 1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而利用证明与全等，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：是等腰三角形， ， 在与中， ， ， ． 2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ． 【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可． 【详解】， ， ，， ， 故答案为：30°． 3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）      A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20° 【分析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出∠DAC的度数，即可解答． 【详解】解：如图：由题意得： ∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°， ∵AD∥BE， ∴∠DAB＝∠ABE＝40°， ∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°， ∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°， 故选：A．     ． 4．（2023·山东济南·三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（    ） A．3 B．5或9 C．5 D．9 【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长 ∴当或时，即 ∴方程为 解得： 此时该方程为 解得：， 此时三角形的三边为5，5，1，符合题意； 当时，即 即 解得： 此时该方程为 解得： 此时三角形的三边为3，3，5，符合题意， 综上所述，k的值等于5或9 故选：B． 5．（2023·山东临沂·中考真题）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【分析】（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解； （2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证； （3）延长交于点，延长交于点，根据角平分线以及平行线的性质证明，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ 即； （2）证明：如图所示， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵，, ∴ ∴ ∴ ∴ （3）证明：如图所示，延长交于点，延长交于点，    ∵，， ∴， ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，      即， ∴， 又，则， 在中， ， ∴， ∴ 【题型4 等边三角形的判定与性质】 1 性质：等边三角形三边相等；三角相等为60°；三边都有三线合一； 2 判定：三条边相等的三角形是等边三角形；两个内角是60°的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有 ．（只填序号） 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，四边形内角和，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，掌握相关知识点是解题关键．连接，过点作，，利用角平分线的性质定理和四边形内角和，证明，即可判断①结论；利用全等三角形的性质，即可判断②结论；利用垂线段最短，即可判断③结论；当时，通过证明是等边三角形，即可判断④结论． 【详解】解：如图，连接，过点作，， ， 点是的平分线上的一个定点， 平分， ， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形，①结论正确； ， ， ， 点是的平分线上的一个定点， 是一个定值， 四边形的面积是一个定值，②结论正确； 是等边三角形， 的周长， 当时，最短，此时的周长最小，③结论正确； 如图，当时， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形， 是等边三角形， 点与点重合，即与相交于点，④结论错误； 故答案为：①②③． 3．（2023·山东滨州·中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，        ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：B． 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【题型5 直角三角形的判定与性质】 1 性质：有一个角为90°；两个锐角互余；直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半；两直角边的平方和等于斜边的平方。 2 判定：证明一个角为90°；证明两个锐角互余；若两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。 注意：在翻折问题中，常运用勾股定理求边或者列方程。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ． 【分析】如图：连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，证明为等腰三角形，求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，为边的中点，， ∴，， ∵将沿翻折，点的对应点为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， 设，则， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 3．（2023·山东聊城·二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 【分析】作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交于点，交于点，此时最小，等于，    ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为8， 故选C． 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图．在中，，，，，点F是边的中点，则（    ） A．5 B． C．4 D．2 【分析】先在直角中利用勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后利用三角形的中位线定理求出．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线定理，准确识图并且熟记相关定理与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ，， ， ，点是边的中点， ． 故选：B． 5．（2024·山东潍坊·三模）如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要 ． 【分析】要求直棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将直棱柱展开，然后利用两点之间线段最短结合勾股定理解答．本题主要考查平面展开最短路径问题，解题的关键是得到两条直角边分别是和，根据两点之间线段最短，运用勾股定理进行解答． 【详解】解：将直棱柱展开，连接． 从点开始经过6个侧面缠绕圈到达点，相当于两条直角边分别是和， 根据两点之间线段最短，则． 故答案为：． 6．（2024·山东淄博·一模）如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为 ． 【分析】连接，过A作交延长线于G，连接，证明， ，，利用勾股定理的逆定理得出，进而可得出，利用勾股定理求出，然后利用三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：连接，过A作交延长线于G，连接， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∵M为中点，， ∴， 故答案为：． 7．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键． （1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明； （2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵在菱形中，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：∵在菱形中，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 是斜边上的中线， ． 考向三：全等三角形 【题型6 全等三角形的判定与性质】 1 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等； 2 全等三角形的判定定理：SAS,ASA,AAS,SSS以及HL（斜边-直角边） 注意：（1）平移、旋转、对称都可以得到全等三角形；若已知两角相等，则再证一边相等即可证明全等；若已知两边相等，只能证明夹角相等或者第三边相等来证明全等。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为． 求证：． 【分析】本题主要考查了菱形的性质， 全等三角形的判定以及性质，由菱形的性质得出，用证明，由全等三角形的性质可得出， 由线段的和差关系即可得出． 【详解】证明：四边形是菱形 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解，再根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】解：可选取①或②（只选一个即可）， 证明：当选取①时， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 证明：当选取②时， 在与中， ， ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：①（或②） 4．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、尺规作图： 证明，即可求得； 应用（1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，； 应用（2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接． 【详解】感悟： ∵， ∴． 在和中 ∴． ∴． 应用： （1）：以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长度为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，，图形如图所示． （2）：以点为圆心，以长为半径作弧，交的延长线于一点，该点即为点，以点为圆心，以长为半径作弧，交直线于一点，该点即为点，连接，图形如图所示． 根据作图可得：， 又， ∴， ∴. 5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，证出，，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，，证出，由已知得出，，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵和的平分线、分别交、于点E、F， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点G、H分别为、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∵，G为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据平行线的性质及平角可进行求解． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 2．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【分析】由平行线的性质，得，由外角定理，得，可推证，从而求得． 【详解】解：如图，∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C    3．（2023·山东济宁·二模）已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足．则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵， ∴． 故选：D． 4．（2023·山东德州·二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为（    ） A．0 B． C． D． 【分析】根据三角形三边的关系得到，由此化简绝对值再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三条边， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 5．（2023·山东淄博·一模）如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内心的定义得到分别是的角平分线，再利用三角形的内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：∵点是的内心， ∴分别是的角平分线， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（2024·山东聊城·三模）有4条线段，长度分别是2，8，3，6．从中随机抽取三条，能组成三角形的概率等于 ． 【分析】本题考查了列举法求概率，组成三角形的三边关系等知识．熟练掌握列举法求概率，组成三角形的三边关系是解题的关键． 根据题意列举出所有等可能的结果，然后利用组成三角形的三边关系确定组成三角形所有等可能的结果，最后求概率即可． 【详解】解：由题意知，中随机抽取三条，有①2、8、3，②2、8、6，③2、3、6，④8、3、6，共4种等可能的结果，其中能组成三角形的有8、3、6，共1种等可能的结果， ∴能组成三角形的概率为， 故答案为：． 7．（2024·山东菏泽·一模）已知四边形，，，，，则的取值范围为 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是将四边形分割为两个三角形．连接可得、利用三角形的三边关系与绝对值，即可求解． 【详解】解：四边形，连接如图所示： 在中，， 即， 在中，， 即， 故答案为： 8．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究 （1）在中，，分别是与的平分线． ①若，，如图，试证明； ②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由． 迁移运用 （2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明． 【分析】（1）①证明是等边三角形，得出E、D为中点，从而证明； ②在上截取，根据角平分线的性质，证明，，从而得到答案； （2）作点B关于的对称点E，证明，从而得到，再根据AE、DC分别是、的角平分线，得到． 【详解】（1）①，， ． 又、分别是、的平分线． 点D、E分别是、的中点． ，． ． ②结论成立，理由如下： 设与交于点F， 由条件，得，． 又 ． ． ． ∴． 在上截取． 由∵BF=BF， ∴． ． ． 又∵CF=CF， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． 作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F， ∴，． ∴． ∴ ∴ ∴ ∵AE、DC分别是、的角平分线 由②得． 9．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， ①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去； ②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形， 所以该等腰三角形的周长为， 故答案为：16． 10．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论； （2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果； （3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果； ②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ，∠DAE＝∠BAC＝45°， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△BAD∽△CAE， ； （3）解：①，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，， ∴∠CAE＝∠BAD， ∴△CAE∽△BAD， ； ②由①得：△CAE∽△BAD， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠AGC＝∠BGF， ∴∠BFC＝∠BAC， ∴sin∠BFC． 11．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（    ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，AM=AN，即可证出． ②当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小，利用勾股定理求出，即可得到MN的值． ③当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点，利用三角形中位线定理得到，用勾股定理求出，，而菱形ABCD的面积为：，即可得到答案． ④当时，可证，利用相似三角形对应边成比例可得，根据等量代换，最后得到答案． 【详解】解：如图：在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，，OA=OC， ∵， ∴，与为等边三角形， 又， ， ∴， 在与中 ∴， ∴AM=AN， 即为等边三角形， 故①正确； ∵， 当MN最小值时，即AM为最小值，当时，AM值最小， ∵， ∴ 即， 故②正确； 当MN最小时，点M、N分别为BC、CD中点， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 而菱形ABCD的面积为：， ∴， 故③正确， 当时， ∴ ∴ ∴ ∴ 故④正确； 故选：D． 12．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故答案为． 13．（2023·山东德州·一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为 米． 【分析】利用立体图形路径最小值为展开平面图的两点间距离，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平面展开图为： （米）， 故答案为． 14．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论； （2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点E作于F， 由（1）知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．    15．（2022·山东日照·中考真题）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 【分析】（1）分别表示出AE，BF及EF，计算出AE2+BF2及EF2，从而得出结论； （2）①连接PC，可推出PC⊥AB，可推出AE=PE=PF=BF，从而得出ME=EG=GF=NF，进而得出CE平分∠PCF，CF平分∠BCP，从而得出结果； ②将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，可推出DE=EF，进而推出△DCF≌△FCE，进一步得出结果． 【详解】（1）解：线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下： ∵AM=AC-CM=4-a，BN=4-b， ∴AE=AM= (4−a)，BE= (4−b)， ∴AE2+BF2=2（4-a）2+2（4-b）2=2（a2+b2-8a-8b+32）， AC=4， ∴EF=AB-AE-BF= [4-（4-a）-（4-b）]， ∵ab=8， EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32）， ∴AE2+BF2=EF2， ∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形； （2）解：①如图1，    连接PC交EF于G， ∵a=b， ∴ME=AM=BN=NF， ∵四边形CNPM是矩形， ∴矩形CNPM是正方形， ∴PC平分∠ACB， ∴CG⊥AB， ∴∠PEG=90°， ∵CM=CN=PM=PN， ∴PE=PF， ∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形， EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF2， ∴PE=AE=PF=BF， ∴ME=EG=FG=FN， ∴∠MCE=∠GCE，∠NCF=∠GCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECG+∠FCG=∠ACB=45°； ②如图2，    仍然成立，理由如下： 将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE， ∴∠DAC=∠B=45°，AD=BF， ∴∠DAE=∠DAC+∠CAB=90°， ∴DE2=AD2+AE2=BF2+AE2， ∵EF2=BF2+AE2， ∴DE=EF， ∵CD=CF，CE=CE， ∴△DCF≌△FCE（SSS）， ∴∠ECF=∠DCF=∠DCF=×90°=45°． 16．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 17．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：    (1)； (2)． 【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可； （2）用证明即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又． 四边形是平行四边形． 平行四边形对角相等 （2）四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 18．（2022·山东济南·中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 【分析】根据菱形的性质得出，，再利用角的等量代换得出，接着由角边角判定，最后由全等的性质即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，E，F是对角线AC上两点， ∴，． ∵， ∴， 即． 在和中，， ∴， ∴． 46 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 三角形与全等 中考数学中三角形与部分主要考向分为三类： 一、三角形中的角与线（每年1~2道，3~6分） 二、特殊的三角形（每年1~2道，3~6分） 三、全等三角形（每年1~2题，3~12分） 全等三角形与特殊三角形的基础知识是学习后续很多几何问题的基础，也可以在很多综合压轴问题中起到较强的辅助作用，所以，中考复习，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定至关重要．首先，全等三角形是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系，所以在中考中，考察的几率也是比较大，小题、简单题均有可能出现．而特殊三角形的考察，则更灵活多样，单独考察时，难度一般不大，准确掌握对应知识技巧后一半都能拿下．而综合问题中，就需要大家更加注意各问题间的关联性，在合适的步骤用其性质或判定解决压轴题中重要的一步。 考向一：三角形中的角与线 【题型1 三角形的内角与外角】 1 三角形的内角和为180°； 2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在一线三等角模型中，应用外角可容易判断出两角相等； 1．（2024·山东淄博·二模）已知三角形三个内角的度数之比为，且，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（2024·山东滨州·模拟预测）如图，，则 °． 3．（2023·山东淄博·二模）如图，在中，，，点是线段上任意一点，连接，作，交线段于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 4．（2022·山东淄博·中考真题）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ） A．23° B．25° C．27° D．30° 5．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，是等腰直角三角形，，顶点分别在上，当时， ． 6．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，且分别交，于点D和E，连 接．若，，则 为（    ） A． B． C． D． 【题型2 三角形中的线】 1 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2 中线：平分一边；平分原三角形面积；涉及到中线时，常将中线等倍延长，构造辅助线。 3 高：几种线中，只有高线有可能在三角形外部，做题时需要思考是不是要分类讨论； 4 角平分线：三条角平分线的交点为三角形内切圆的圆心 ； 5 中位线：一条中位线与第三条边平行，且等于第三条边的一半。 1．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（   ） A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6 2．（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（    ） A．1 B．11和13 C．11或8 D．13 3．（2024·山东临沂·一模）如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在中，平分，，重足为点E，过点E作、交于点F，G为的中点，连接．求证：．    5．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 6．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 考向二：特殊的三角形 【题型3 等腰三角形的判定与性质】 1 性质：等腰三角形的两条边相等；等边对等角；三线合一； 2 判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形；等角对等边； 1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE． 2．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ． 3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）      A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20° 4．（2023·山东济南·三模）已知m，n，5分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m，n分别是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值等于（    ） A．3 B．5或9 C．5 D．9 5．（2023·山东临沂·中考真题）如图，．    (1)写出与的数量关系 (2)延长到，使，延长到，使，连接．求证：． (3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点，求证：． 【题型4 等边三角形的判定与性质】 1 性质：等边三角形三边相等；三角相等为60°；三边都有三线合一； 2 判定：三条边相等的三角形是等边三角形；两个内角是60°的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，已知，点是的平分线上的一个定点，点，分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的结论有 ．（只填序号） 3．（2023·山东滨州·中考真题）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　） A． B． C． D． 4．（2023·山东·中考真题）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则 ．    【题型5 直角三角形的判定与性质】 1 性质：有一个角为90°；两个锐角互余；直角三角形中，30°的角对的直角边等于斜边的一半；斜边上的中线等于斜边的一半；两直角边的平方和等于斜边的平方。 2 判定：证明一个角为90°；证明两个锐角互余；若两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。 注意：在翻折问题中，常运用勾股定理求边或者列方程。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在矩形纸片中，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则 ． 2．（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2023·山东聊城·二模）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径画圆A，E是圆A上一动点，P是上一动点，则最小值是（    ）    A． B． C．8 D．12 4．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图．在中，，，，，点F是边的中点，则（    ） A．5 B． C．4 D．2 5．（2024·山东潍坊·三模）如图，直棱柱包装盒子的上、下底面边长都是的正六边形，侧棱长，如果用丝线从点A处开始经过六个侧面缠绕n圈到达点B，则丝线长最短需要 ． 6．（2024·山东淄博·一模）如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为 ． 7．（2025·山东济南·模拟预测）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 考向三：全等三角形 【题型6 全等三角形的判定与性质】 1 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等； 2 全等三角形的判定定理：SAS,ASA,AAS,SSS以及HL（斜边-直角边） 注意：（1）平移、旋转、对称都可以得到全等三角形；若已知两角相等，则再证一边相等即可证明全等；若已知两边相等，只能证明夹角相等或者第三边相等来证明全等。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为，垂足为． 求证：． 3．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，点，在线段上，且． 请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是：__________（只填写一个序号）． 添加条件后，请证明． 4．（2024·山东威海·中考真题）感悟 如图1，在中，点，在边上，，．求证：． 应用 （1）如图2，用直尺和圆规在直线上取点，点（点在点的左侧），使得，且（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线上取一点，在直线上取一点，使得，且（不写作法，保留作图痕迹）． 5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点．    (1)求证：； (2)连接．若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （建议用时：15分钟） 1．（2023·山东·中考真题）如图，是直尺的两边，，把三角板的直角顶点放在直尺的边上，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·山东淄博·中考真题）将含角的直角三角板按如图所示放置到一组平行线中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东济宁·二模）已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足．则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·山东德州·二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则的化简结果为（    ） A．0 B． C． D． 5．（2023·山东淄博·一模）如图，点是的内心，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东聊城·三模）有4条线段，长度分别是2，8，3，6．从中随机抽取三条，能组成三角形的概率等于 ． 7．（2024·山东菏泽·一模）已知四边形，，，，，则的取值范围为 ． 8．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究 （1）在中，，分别是与的平分线． ①若，，如图，试证明； ②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由． 迁移运用 （2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明． 9．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程的一个根，则该等腰三角形的周长为 ． 10．（2022·山东烟台·中考真题）   (1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE． (2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值． (3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE． ①求的值； ②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值． 11．（2022·山东东营·中考真题）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点O，点M，N分别是边上的动点，，连接.以下四个结论正确的是（    ） ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时；④当时，. A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 12．（2024·山东威海·中考真题）将一张矩形纸片（四边形）按如图所示的方式对折，使点C落在上的点处，折痕为，点D落在点处，交于点E．若，，，则 ． 13．（2023·山东德州·一模）小南同学报名参加了学校的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点A攀爬到点B的最短路径为 米． 14．（2023·山东聊城·中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．    (1)求证：； (2)若，时，求的面积． 15．（2022·山东日照·中考真题）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，∠C=90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM=a，CN=b，若ab=8．    (1)判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由； (2)①当a=b时，求∠ECF的度数； ②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由． 16．（2024·山东德州·中考真题）如图，C是的中点，，请添加一个条件 ，使． 17．（2023·山东淄博·中考真题）如图，在中，，分别是边和上的点，连接，，且．求证：    (1)； (2)． 18．（2022·山东济南·中考真题）已知：如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上两点，连接DE，DF，∠ADF＝∠CDE．求证：AE＝CF． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$