精品解析：山东省济宁市任城区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期末质量检测(任城区) 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：①平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．②平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3. 已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　） A. （5，3） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，﹣1） D. （0，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可． 【详解】∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1）， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2， ∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1）， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键． 4. 下列分式中，无论x取何实数，分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 【详解】解：A．当时，无意义，故不符合题意； B．当时，无意义，故不符合题意； C．当时，无意义，故不符合题意； D．无论x取何实数，总有意义，故符合题意； 故选D． 5. 如图，在中，E是边上一点，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质，熟记平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．由平行四边形的对角相等求出，再求得，最后根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故选：D 6. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角为 ∴， 故选：B． 7. 把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 8. 在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形判定定理分别进行判断得出即可． 【详解】解：（1）由“，”可知，四边形的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； （2）由“，”可知，四边形的一组对边平行且相等，据此能判定该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （3）由“，”可知，四边形的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （4）由“，”可知，四边形的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； （5）由“，．”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：B． 9. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，设点，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 【详解】解：设点， ∵四边形是平行四边形，点，点，点， ∴，， ∴，， ∴点， 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. “校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是________分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查求加权平均数，利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：（分）； 故答案为：90． 12. 如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为_________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质．先证明是对角线的中垂线，可得，再进一步利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵在中，O是对角线的交点，且， 是对角线的中垂线， ， 的周长为． 故答案为：． 13. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】先求出，由旋转的性质，得到，，则，即可求出旋转角的度数． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， 由旋转的性质，则，， ∴， ∴； ∴旋转角的度数是50°； 故答案为：50°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质进行计算． 14. 如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理，三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键， 连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 【答案】## 【解析】 【详解】如图，连接BB′， ∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′， ∴AB=AB′，∠BAB′=60°， ∴△ABB′是等边三角形， ∴AB=BB′， △ABC′和△B′BC′中， ， ∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)， ∴∠ABC′=∠B′BC′， 延长BC′交AB′于D， 则BD⊥AB′， ∵∠C=，AC=BC=， ∴AB==2， ∴BD=2×=， C′D=×2=1， ∴BC′=BD−C′D=−1． 故答案为：−1. 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 三．解答题（共9小题，满分55分） 16. （1）先化简，再求值：，其中a满足； （2）解方程：； 【答案】（1），1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则． （1）先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可． （2）两边都乘以x﹣1化为整式方程求解，然后验根即可． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， 当时， 原式． （2）， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心坐标 【答案】（1）作图见解析；， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C平移后的坐标，可以得到平移的规律，然后根据规律把A、B的坐标计算出来，标出来，连接点坐标即可得； （2）把点A、B、C绕点O按顺时针方向旋转得到、、，连接三点坐标即可；（3）先找到和的两组对应点，连接对应两点，即、，分别作、这两条线段的中垂线，两条中垂线相交的地方就是旋转中心． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作三角形； ，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求作三角形； 【小问3详解】 解：取点，，连接，，，，，交于点G， ∵，，， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵，， ∴x轴垂直平分， ∴绕点F旋转可得到， ∴旋转中心的坐标为． 【点睛】本题考查作图－旋转变换，坐标与图形变化-平移，几何变换的类型，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键． 18. 已知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （3）若BC＝5，DE＝2，求△AEF的面积． 【答案】（1）见解析 （2）A；90 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF； （2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠ABC＝90°＝∠ABF， 又DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； 【小问2详解】 解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EAB=90°， ∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°， ∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； 故答案为：A、90； 【小问3详解】 解∵四边形ABCD是正方形，BC=5， ∴AD=BC=5， 在Rt△ADE中，DE=2，AD=5， ∴AE=， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到， ∴△ABF≌△ADE， ∴AE=AF=，∠EAF=90°， ∴△AEF的面积=AE2=×=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质以及勾股定理等知识点，解决本题的关键是明确△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到，即△ABF≌△ADE． 19. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 【答案】（1）见解答 （2）50 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）甲方案，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； 乙方案，由于点于点，得，由平行四边形的性质得，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形； （2）由全等三角形的性质得，再证，然后由三角形面积关系得，即可解决问题． 【小问1详解】 解：甲方案，证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 乙方案，证明：∵于点于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：50． 20. 今年6月26日是第37个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选25名同学参赛，成绩评为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 90 2班 87.6 80 （1）请把1班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中a，b，c的值：_______，_______，______； （3）请你根据平均数和众数，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 【答案】（1）见解析 （2）876，90，100 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、平均数、中位数、众数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出一班竞赛成绩为C等级的人数，再补全条形统计图即可； （2）由平均数、众数、中位数的定义进行计算即可得出答案； （3）根据众数和平均数进行分析即可． 【小问1详解】 解：1班C等级人数为， 补图如下： 【小问2详解】 解：1班的平均成绩（分）， 一班竞赛成绩处于第13个数为90，故中位数为90， 由二班竞赛成绩的统计图可得，处于A等级的人数最多，故众数为100，即， 故答案为：87.6，90，100； 小问3详解】 解：两个班级的平均数相等，都是87.6，一班的众数为90 ，二班的众数为100，二班的众数大于一班的众数，因此二班的成绩相对较好． 21. 已知：如图，垂直平分，，． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【小问1详解】 证明：垂直平分， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 22. 某品牌山地自行车经销商经营的型车去年销售总额为元，今年每辆车的售价比去年降低元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少元．、两种型号车今年的进货和销售价格信息如表所示． 型车 型车 进货价 元/辆 元/辆 销售价 元/辆 （）今年型车每辆售价为多少元? （）该品牌经销商计划新进一批型车和型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多?最大利润是多少? 【答案】（）今年型车每辆售价为元；（）当经销商新进型车辆，型车辆时，获利最多，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设今年型车每辆售价为元，可根据“某品牌山地自行车经销商经营的型车去年销售总额为元，今年每辆车的售价比去年降低元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少元．”列出分式方程，即可得出答案； （2）设经销商新进型车辆，则型车为辆，获利元．根据表格中提供信息，可列出关于和的函数关系式，然后根据“型车的进货数量不超过型车数量的倍，”求出的取值范围，再根据所求的函数关系式的性质，在自变量取值范围内求出最大值即可． 【详解】解：（）今年型车每辆售价为元，由题意得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意． （元）， 答：今年型车每辆售价为元； （）设经销商新进型车辆，则型车为辆，获利元．由题意得：， 即， 型车的进货数量不超过型车数量的倍， ， ， 由与的关系式可知，，的值随的值增大而减小． 时，的值最大，最大利润为元． （辆）， 当经销商新进型车辆，型车辆时，获利最多，最大利润为元． 答：当经销商新进型车辆，型车辆时，获利最多，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出分式方程． 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】（1）t， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，得到线段 ；点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，得到； 解答即可． （2）过点A作于点E，先计算，再利用三角形面积不变，面积公式计算即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合题意， ，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ； ∵点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； 故答案为：t，． 【小问2详解】 过点A作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵是边上的高， ∴． 小问3详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 如图，此时， 根据题意，得， 解得． 故当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，解有一元一次方程，分类思想，熟练掌握平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末质量检测(任城区) 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 以下是某学校社团活动拓展课程的相关图标，这些图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　） A （5，3） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，﹣1） D. （0，﹣1） 4. 下列分式中，无论x取何实数，分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，E是边上一点，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（ ） A B. C. D. 7. 把多项式分解因式，下列结果正确的是（ ） A. B. C D. 8. 在四边形中，对角线与相交于O点，给出五组条件： （1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，，，则顶点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. “校园之声”社团招聘成员时，需考察应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，并按照应变能力占，知识储备占，朗读水平占，计算加权平均数，作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是________分． 12. 如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为_________．     13. 如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______． 14. 如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为______． 15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______ 三．解答题（共9小题，满分55分） 16. （1）先化简，再求值：，其中a满足； （2）解方程：； 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题： （1）若经过平移后得到，已知点的坐标为作出并写出其余两个顶点的坐标； （2）将绕点O按顺时针方向旋转得到，作出； （3）若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标 18. 已知：四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； （3）若BC＝5，DE＝2，求△AEF的面积． 19. 如图，在中，点O是对角线的中点．某数学兴趣小组要在上找两个点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下： 甲方案 乙方案 在上分别取点E，F，使得 作于点E，于点F 请回答下列问题： （1）选择其中一种方案，并证明四边形为平行四边形； （2）在（1）的基础上，若，，则的面积为______． 20. 今年6月26日是第37个国际禁毒日，某校八年级1，2班开展了一次禁毒知识竞赛，每班选25名同学参赛，成绩评为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次为100分，90分，80分，70分，将两个班的成绩整理后，绘制成如下统计图表： 平均数 中位数 众数 1班 90 2班 87.6 80 （1）请把1班竞赛成绩统计图补充完整； （2）计算出表格中a，b，c的值：_______，_______，______； （3）请你根据平均数和众数，分析比较1班和2班的竞赛成绩． 21. 已知：如图，垂直平分，，． （1）证明：四边形平行四边形； （2）若，，求的长． 22. 某品牌山地自行车经销商经营的型车去年销售总额为元，今年每辆车的售价比去年降低元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少元．、两种型号车今年的进货和销售价格信息如表所示． 型车 型车 进货价 元/辆 元/辆 销售价 元/辆 （）今年型车每辆售价为多少元? （）该品牌经销商计划新进一批型车和型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多?最大利润是多少? 23. 如图，在中，，，其中是边上的高，点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点P由点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的直线,交于点Q，连接，设运动时间为，（），解答下列问题： （1）线段 _______，_______（用含t的代数式表示）； （2）求的长； （3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$