黄金卷08（北京专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 2．把一块直尺与一块含的三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠2=∠3， ∵∠3=∠1+90°，∠1=46°， ∴∠3=136°， ∴∠2=∠3=136°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．|b|＜|a| B．a+b=0 C．b＜a D．ab＞0 【答案】A 【详解】解：由数轴可知：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，|b|＜|a|， ∴a+b＜0，b＞a，ab＜0， 正确的是A选项． 故选A． 4．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一元二次方程有实数根，列出关于胡a的不等式，即可求解. 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴，即：整数a的最大值是2． 故选B. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握时，一元二次方程有实数根，是解题的关键. 5．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，“两次取出的小球标号的和等于4”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号的和等于4的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号的和等于4的情况有3种， 所以两次取出的小球的标号的和等于4的概率为． 故选：B． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 6．据网络平台数据，截止3月1日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破143亿元，143亿用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，正确的确定的值即可． 【详解】解：解：143亿． 故选D． 7．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 【答案】C 【详解】试题分析：如图，连接EC、DC． 根据作图的过程知， 在△EOC与△DOC中， ， △EOC≌△DOC（SSS）． 故选C． 考点：1.全等三角形的判定；2.作图—基本作图． 8．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】延长AE交的延长线于点H，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，可判断①；由四边形内角和定理可求，可得，可判断②；连接，过点C作于，由，知点在上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为，可判断③正确． 【详解】如图，延长AE交DC的延长线于点H， ∵点E是CM的中点， ∴ME＝EC， ∵AB∥CD， ∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE， ∴△AME≌△HCE（AAS）， ∴AE＝EH， 又∵∠ADH＝90°， ∴DE＝AE＝EH， ∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF， ∴AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴AE＝DE＝EF，故①正确； ∵AE＝DE＝EF， ∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD， ∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°， ∴2∠ADE+2∠EDF＝270°， ∴∠ADF＝135°， ∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确； 如图，连接FC，过点C作CF'⊥DF于F'， ∵∠CDF＝45°， ∴点F在DF上运动， ∴当CF⊥DF时，CF有最小值为CF''的长度， ∵CD＝2，∠CDF＝45°， ∴CF''，即CF有最小值为，故③正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，正确作辅助线，构造全等三角形． 二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．如果有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式组，解之即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式有意义和分式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件是分母不为零． 10．因式分解 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】解： . 故答案为. 【点睛】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握提取公因式法与平方差公式. 11．分式方程＝1的解为 ． 【答案】x＝2 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：2+x﹣1＝x2﹣1，即x2﹣x﹣2＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x+1）＝0， 解得：x＝2或x＝﹣1， 经检验x＝﹣1是增根，分式方程的解为x＝2， 故答案为：x＝2 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验． 12．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，并求解，即可解题． 【详解】解：反比例函数的图象经过点和， ， ，即， ∴， 故答案为：． 13．某学校为了解本校600名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 13 21 19 【答案】200 【分析】用600乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可． 【详解】解：， 所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有200人． 故答案为：200． 【点睛】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体． 14．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=40°，则∠DEF= ． 【答案】70° 【分析】连接OD、OF，根据题意易得∠ADO=∠AFO=90°，由四边形内角和及∠A=40°可求解． 【详解】解：连接OD、OF，如图所示： ∵△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F， ∴OD⊥AB，OF⊥AC， ∴∠ADO=∠AFO=90°， 由四边形内角和为360°及∠A=40°，得， ∠O=360°-∠A-∠ADO-∠AFO=140°， ∴； 故答案为70°． 【点睛】本题主要考查切线定理及圆周角，熟练掌握切线定理及圆周角是解题的关键． 15．如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比是 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质及平行线的性质可知，再根据相似三角形的性质可知，最后利用面积关系解答即可． 【详解】解：过作，垂足， ∵在正方形中， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为．      【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，面积关系，掌握相似三角形的判定与性质解题的关键． 16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 【答案】28 【分析】本题考查有理数的运算，结合题意进行正确的推理是解题的关键． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， 工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序，都需要9分钟完成， 甲学生做工序，乙学生做工序，需要9分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要9分钟， 最后甲学生做工序，乙学生同时做工序， 此时需要10分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟． 故答案为：28． 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键． 先算特殊角的三角函数，零次幂，乘方，绝对值的化简，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 18．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为x＞3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则进行化简，然后整体代入求值即可． 【详解】解： 当时， 原式= 【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键． 20．如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质以及解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）首先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形为平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出，进而可根据菱形的判定得出结论； （2）由平行线的性质可得出，设，，运用勾股定理求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴． 21．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 【答案】3D版电影票单价为40元，IMAX版电影票单价为50元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，再列式计算即可． 【详解】解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元， 根据题意，得： 解得： 答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元． 22．如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)A点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）令纵坐标为0求解即可； （2）求出当时，，把代入，求得，然后借助图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为； （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或． 23．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：    平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 “美团” ① 6 6 ② “滴滴” 6 ③ ④ (1)完成表格，在相应序号处填空： (2)根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】(1)①6；②；③5；④4 (2)选“美团”网约公司，理由见解析 【分析】本题考查了平均数，众数，中位数，方差等知识， （1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可，熟知各个知识点的概念，理解题意，正确利用方差、中位数、众数作决策是解题的关键． 【详解】（1）解：①“美团”平均月收入：（千元）； ②“美团”方差：； ③“滴滴”中位数：（千元）； ④“滴滴”众数：4（千元）； （2）选“美团”网约公司 理由：两家公司月收入平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，月收入更为稳定， 因此选“美团”网约车公司． 24．如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接，与相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，利用证明，由全等三角形的性质和切线的性质可得，即可证明结论； （2）设交于，连接，如图，求解，，由等面积法与勾股定理可得，，，证明，可得，同理可得：，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：连接、，如下图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与切于点， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）设交于，连接，如图， ∵、为切线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵为直径， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、半圆（直径）所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 25．数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大． 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式： ； （2）确定自变量x的取值范围是 ； （3）列出y与x的几组对应值. x/dm … … y/dm3 … 1.3 2.2 2.7 m 3.0 2.8 2.5 n 1.5 0.9 … （4）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下图； 结合画出的函数图象，解决问题： 当小正方形的边长约为 dm时，（保留1位小数），盒子的体积最大，最大值约为 dm3．（保留1位小数） 【答案】（1）  （或）；（2）；（3）m=3，n=2；（4）~都行，3~3.1都行. 【分析】根据题意，列出y与x的函数关系式，根据盒子长宽高值为正数，求出自变量取值范围；利用图象求出盒子最大体积． 【详解】（1）y=x(4−2x)(3−2x)= 故答案为y= (2)由已知 解得：0<x< (3)根据函数关系式，当x= 时，y=3；当x=1时，y=2 (4)根据图象，当x=0.55dm时，盒子的体积最大，最大值约为3.03dm3 故答案为~都行，3~3.1都行 【点睛】此题考查函数的表示方法，函数自变量的取值范围，函数图像，解题关键在于看懂图中数据. 26．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．    (1)求b的值及该抛物线的对称轴． (2)若，求n的最大值与最小值的差． 【答案】(1)，对称轴 (2)8 【分析】（1）把代入，解得，易知对称轴，即可作答； （2）由（1）知，对称轴，因为为抛物线上的一点，，则把，和分别代入，求出，再求n的最大值与最小值的差，即可列式作答． 【详解】（1）解：把代入， 则， 解得， 则 那么对称轴； （2）解：由（1）知，对称轴， ∵为抛物线上的一点，且， ∴把，和分别代入， ∴当时， 当时，； 当时，； 所以n的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象性质以及比较函数值的大小，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 27．如图已知四边形和四边形都是正方形，且，连接，． (1)求证： (2)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质 （1）结合正方形的性质利用证明，进而可证明结论； （2）连接，通过证明可得为等边三角形，进而求解． 【详解】（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 28．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点（点可以重合），在图形上存在两点（点可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系． (1)如图1，点，点在线段上运动（点可以与点重合），连接． ①线段的最小值为______，最大值为______；线段的取值范围是______； ②在点，点中，点______与线段满足限距关系； (2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围； (3)的半径为，点是上的两个点，分别以为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，，；②O和D (2)点F横坐标的取值范围是： (3)r的取值范围为 【分析】（1）①通过直线外一点到直线的距离垂线段最短判断即可；②根据题意定义的限距关系判断即可； （2）分类讨论，①当在圆内时；②当与圆有交点时；③当在圆外并且没有交点时，结合各个情况找出圆上的点与线段的最短距离与最长距离，结合新定义的限距关系关系式来求取值范围即可； （3）取极限状态即和在的两端时，找出此时最大距离和最短距离结合限距关系的关系式求取值范围即可． 【详解】（1）①如图1中， ∵点， ， ， 当时，的值最小，当与重合时，的值最大是， 中，，即的最小值是； 如图2，当时，的值最小， 中， ， ， ， ， ， ， 当与重合时，的值最大，的最大值是2， ∴线段的取值范围是：； 故答案为：，，； ②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 故答案为：和； （2）∵点， ∴设直线的解析式为：， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴设的解析式为：， ， ， 当时，如图5，线段在内部，与无公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， ∵线段与满足限距关系， ， 解得， ∴； 当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系， 当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， ∵线段与满足限距关系， ， 而总成立， ∴时，线段 与满足限距关系， 综上所述，点F横坐标的取值范围是：b； （3）如图3﹣1中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧， 两圆的距离的最小值为，最大值为， ∵和都满足限距关系， ， 解得 故的取值范围为． 【点睛】本题主要考查一次函数与圆的综合问题以及新定义问题，含角的直角三角形的性质，熟练掌握一次函数性质与含角的直角三角形的性质以及充分理解新定义的意义是解决本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B D C A 2、 填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．且/且 10． 11．x＝2 12． 13．200 14．70° 15． 16．28 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．解： ． 18．解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为x＞3． 19．解： 当时， 原式= 20．（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵中，，D为边的中点， ∴． ∴四边形是菱形；（3分） （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴，即 解得，（负值舍去） ， ∴．（3分） 21．解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元， 根据题意，得： 解得： 答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元． 22．（1）解：∵点A是一次函数的图象与x轴交点， ∴A点的纵坐标为0，即， ∴解得， ∴A点坐标为；（2分） （2）解：如图， ∵一次函数， ∴一次函数过定点， 当时，， 把代入，得 解得， 由图象可知，当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，k的取值范围是或．（3分） 23．（1）解：①“美团”平均月收入：（千元）； ②“美团”方差：； ③“滴滴”中位数：（千元）； ④“滴滴”众数：4（千元）；（4分） （2）选“美团”网约公司 理由：两家公司月收入平均数一样，中位数，众数美团均大于滴滴，且美团方差小，月收入更为稳定， 因此选“美团”网约车公司．（1分） 24．（1）证明：连接、，如下图，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与切于点， ∴， ∴，即， ∴是的切线；（3分） （2）设交于，连接，如图， ∵、为切线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵为直径， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴．（3分） 25．（1）y=x(4−2x)(3−2x)=4−14+12x 故答案为y=4−14+12x（1分） (2)由已知 解得：0<x<（1分） (3)根据函数关系式，当x= 时，y=3；当x=1时，y=2（2分） (4)根据图象，当x=0.55dm时，盒子的体积最大，最大值约为3.03dm3 故答案为~都行，3~3.1都行（1分） 26．（1）解：把代入， 则， 解得， 则 那么对称轴；（3分） （2）解：由（1）知，对称轴， ∵为抛物线上的一点，且， ∴把，和分别代入， ∴当时， 当时，； 当时，； 所以n的最大值与最小值的差为．（3分） 27．（1）证明：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴；（3分） （2）连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵由（1）可知， ∴， ∴为等边三角形， ∴．（4分） 28．（1）①如图1中， ∵点， ， ， 当时，的值最小，当与重合时，的值最大是， 中，，即的最小值是； 如图2，当时，的值最小， 中， ， ， ， ， ， ， 当与重合时，的值最大，的最大值是2， ∴线段的取值范围是：； 故答案为：，，；（2分） ②根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 根据限距关系的定义可知，线段上存在两点，满足，如图3， 故点与线段满足限距关系； 故答案为：和；（2分） （2）∵点， ∴设直线的解析式为：， ，解得： ， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴设的解析式为：， ， ， 当时，如图5，线段在内部，与无公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， ∵线段与满足限距关系， ， 解得， ∴； 当时，线段与有公共点，线段与满足限距关系， 当时，如图6，线段在的外部，与没有公共点， 此时上的点到线段的最小距离为，最大距离为， ∵线段与满足限距关系， ， 而总成立， ∴时，线段 与满足限距关系， 综上所述，点F横坐标的取值范围是：b；（2分） （3）如图3﹣1中，不妨设，的圆心在轴上位于轴的两侧， 两圆的距离的最小值为，最大值为， ∵和都满足限距关系， ， 解得 故的取值范围为．（1分） 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（本大题共8题，每题2分，共16分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B． C． D． 2．把一块直尺与一块含的三角板如图放置，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．|b|＜|a| B．a+b=0 C．b＜a D．ab＞0 4．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．一个不透明的口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸取一个小球后，放回并摇匀，再随机摸取一个小球，“两次取出的小球标号的和等于4”的概率为（    ） A． B． C． D． 6．据网络平台数据，截止3月1日全球动画电影票房榜冠军电影《哪吒之魔童闹海》总票房突破143亿元，143亿用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 7．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（ ） 作法： ①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E； ②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C； ③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线． A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS 8．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分.） 9．如果有意义，那么的取值范围是 ． 10．因式分解 11．分式方程＝1的解为 ． 12．若反比例函数的图象经过点和，则的值为 ． 13．某学校为了解本校600名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 13 21 19 14．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=40°，则∠DEF= ． 15．如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比是 ．    16．学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需七道工序，加工要求如下：①工序须在工序A完成后进行，工序须在工序都完成后进行，工序须在工序都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 分钟． 三、解答题（本大题共12题，第17-19题、第22-23题、第25题每题5分，第20-21题、第24题、第26题每题6分，第27-28题每题7分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．计算：． 18．解不等式组： 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，在中，，为边的中点，连接，过点A作，过点作，与相交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 22．如图，一次函数的图象与x轴交于点A． (1)求出点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，求k的取值范围． 23．近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：根据以上信息，整理分析数据如下：    平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 “美团” ① 6 6 ② “滴滴” 6 ③ ④ (1)完成表格，在相应序号处填空： (2)根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 24．如图，是的切线，是切点，是直径，是弦，连接，与相交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大． 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式： ； （2）确定自变量x的取值范围是 ； （3）列出y与x的几组对应值. x/dm … … y/dm3 … 1.3 2.2 2.7 m 3.0 2.8 2.5 n 1.5 0.9 … （4）在下面的平面直角坐标系中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下图； 结合画出的函数图象，解决问题： 当小正方形的边长约为 dm时，（保留1位小数），盒子的体积最大，最大值约为 dm3．（保留1位小数） 26．如图，在直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点，点为抛物线上的一点．    (1)求b的值及该抛物线的对称轴． (2)若，求n的最大值与最小值的差． 27．如图已知四边形和四边形都是正方形，且，连接，． (1)求证： (2)连接，若，，求的度数． 28．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点（点可以重合），在图形上存在两点（点可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系． (1)如图1，点，点在线段上运动（点可以与点重合），连接． ①线段的最小值为______，最大值为______；线段的取值范围是______； ②在点，点中，点______与线段满足限距关系； (2)在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围； (3)的半径为，点是上的两个点，分别以为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，和都满足限距关系，直接写出r的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$