精品解析：2025年河南省洛阳市汝阳县中考一模数学试题

汝阳县2025年中招第一次模拟考试 九年级数学 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标，即． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．） 1. 已知⊙O的直径为6cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ） A. 大于3cm B. 不小于3cm C. 大于6cm D. 不小于6cm 2. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A. 500名学生 B. 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C. 50名学生 D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况 4. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 24 6. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 7. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7） 8. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ） A 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知正方形内接于半径为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值是_______ 12. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是______． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______． 14. 将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 15. 二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 17. 如图所示，在中，以为直径交于点P，边与相切于点C，点Q是的中点． （1）请你判断直线与的位置关系为________． （2）证明（1）中你的判断． 18. 我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图： （1）本次一共调查了_________名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率. 19. 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 20. 如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向． （1）求线段的长度； （2）若小岛周围海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 21. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE 延长线于点C． （1）若，求∠C的度数； （2）若，，直接写出AC的长_____． 22. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 23. 已知，如图中，，，，点D在边上，交于点E． （1）当时，求线段的长； （2）已知，点G，H在边上且四边形是矩形，当四边形的面积最大时，判断点D在线段上的位置？ （3）已知点M是边上的一动点，若是等腰直角三角形，请直接写出线段的长________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汝阳县2025年中招第一次模拟考试 九年级数学 参考公式： 二次函数图象的顶点坐标，即． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个答案，只有一个是正确的，将正确的选项代码填入括号中．） 1. 已知⊙O的直径为6cm，点A不在⊙O内，则OA的长（ ） A. 大于3cm B. 不小于3cm C. 大于6cm D. 不小于6cm 【答案】B 【解析】 【详解】根据点与圆位置关系，易得OA 不小于3cm ，故选B. 2. 下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故此选项错误； B、，与不是同类二次根式，故此选项错误； C、与不是同类二次根式，故此选项错误； D、，，与3是同类二次根式，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式． 3. 每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ） A. 500名学生 B. 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况 C. 50名学生 D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况 【答案】B 【解析】 【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，据此即可判断． 【详解】样本是所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况． 故选：B． 【点睛】本题考查了样本的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 4. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 5. 若是一元二次方程的根，则的值为（ ） A. B. 5 C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．，掌握以上公式是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的根， ∴， 故选：B． 6. 方程根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键．根据因式分解法求一元二次方程即可． 【详解】解： 或 ，， 故选：D． 7. 将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. （0，2） B. （0，3） C. （0，4） D. （0，7） 【答案】B 【解析】 【分析】先根据顶点式确定抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，3），于是得到移后抛物线解析式为y=x2+3，然后求平移后的抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：抛物线y=（x-1）2+3的顶点坐标为（1，3）， 把点（1，3）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，3）， 所以平移后抛物线解析式为y=x2+3， 所以得到的抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8. 如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 只有选项C错误，符合题意． 故选C． 9. 如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【详解】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 10. 已知正方形内接于半径为10且圆心角为90°的扇形（即正方形的各定点都在扇形边或弧上），则正方形的边长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．分两种情况：点O为正方形的顶点，点O不是正方形的顶点，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：如图1所示，连接，设正方形的边长为x， 则在中，，即，解得； 如图2所示，过O作，交于点H，连接， 设， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ，即， 解得：， ； 综上分析可知：正方形的边长是或，故C正确． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 二次函数的最小值是_______ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将该二次函数写成顶点式，即可解答． 【详解】解：∵， ∴当时，函数有最小值，为． 故答案为：1 12. 某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种， ∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．正确画出树状图是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则CD的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到∠B=60°，BC=AB=2，根据已知条件得到△BCD是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接CD， ∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4， ∴∠B=60°，BC=AB=2， ∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D， ∴△BCD是等边三角形， ∴CD=BC=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 14. 将半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， 故答案为：3 15. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①，②，③，④，⑤若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论是________． 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键．根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来判断①②；根据对称轴得来判断③；利用当时，来判断④；利用A、B、C到对称轴的距离分别为5，，进行判定⑤． 【详解】解：①由二次函数部分图象可知，抛物线开口向下， ∴；故①正确，符合题意； ②抛物线与轴交于正半轴， ∴；故②正确，符合题意； ③∵对称轴为直线， ，即， ∴，故③错误，不符合题意； ④∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故④错误，不符合题意； ⑤∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线，且开口向下， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为5，，， ，故⑤错误，不符合题意， 综上所述，符合题意的有：①②． 故答案为：①②． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分．） 16. 计算： （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、一元二次方程的解法． 根据绝对值的定义可知、、、，可得：原式，然后再根据运算法则计算即可； 首先利用十字相乘分解因式可得：，所以可得，，解两个一元一次方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， ，， ，． 17. 如图所示，在中，以为直径的交于点P，边与相切于点C，点Q是的中点． （1）请你判断直线与的位置关系为________． （2）证明（1）中你的判断． 【答案】（1）直线是的切线 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，正确理解题意是解题的关键． （1）根据图形可得出直线是的切线； （2）连接、，先根据直径所对的圆周角是90度，得出，再根据切线的性质得出，推出，再证明，进而可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：直线与的位置关系为：直线是的切线． 【小问2详解】 证明：连接、， ∵是的直径， ∴， ∴． 又∵是的切线， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴ 又∵Q是中点，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的切线． 18. 我国中小学生迎来了新版“教育部统编义务教育语文教科书”，本次“统编本”教材最引人关注的变化之一是强调对传统文化经典著作的阅读.某校对《三国演义》、《红楼梦》、《西游记》、《水浒》四大名著开展“最受欢迎的传统文化经典著作”调查，随机调查了若干名学生（每名学生必选且只能选这四大名著中的一部）并将得到的信息绘制了下面两幅不完整的统计图： （1）本次一共调查了_________名学生； （2）请将条形统计图补充完整； （3）某班语文老师想从这四大名著中随机选取两部作为学生暑期必读书籍，请用树状图或列表的方法求恰好选中《三国演义》和《红楼梦》的概率. 【答案】（1）50；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】(1) 本次一共调查：15÷30%;(2)先求出B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7，再画图；（3）先列表，再计算概率. 【详解】（1）本次一共调查：15÷30%=50（人）； 故答案为50； （2）B对应的人数为：50﹣16﹣15﹣7=12， 如图所示： （3）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC ∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种， ∴P（选中A、B）==． 【点睛】本题考核知识点：统计初步，概率. 解题关键点：用列表法求概率. 19. 某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式； (3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍．（2）w=-x2+34x+8000；（3）一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元． 【解析】 【分析】（1）理解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系； （2）每个房间订住后每间的利润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润； （3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的增减性以及x的范围即可求解． 【详解】（1）由题意得： y=50-，且0≤x≤160，且x为10的正整数倍． （2）w=（180-20+x）（50-），即w=-x2+34x+8000； （3）w=-x2+34x+8000=-（x-170）2+10890 抛物线的对称轴是：x=170，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大， 但0≤x≤160，因而当x=160时，即房价是340元时，利润最大， 此时一天订住的房间数是：50-=34间， 最大利润是：34×（340-20）=10880元． 答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元． 考点：二次函数的应用． 20. 如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛在北偏东方向上，航行海里到达点，这时测得小岛在北偏东方向． （1）求线段的长度； （2）若小岛周围海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2）航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、三角形外角的性质、锐角三角函数． 过点作，垂足为，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得海里； 根据可求海里，比较可得，航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 根据题意可知，， ， ， 海里； 【小问2详解】 解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险， 理由如下： 在中，，，， ， （海里） ， 航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． 21. 如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE 延长线于点C． （1）若，求∠C的度数； （2）若，，直接写出AC的长_____． 【答案】（1）40° （2） 【解析】 【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理与切线的性质求出∠AOC和∠OAC，再利用三角形的内角和定理解答即可； （2）先求解，根据含30°的直角三角形的性质先求出OA、OC的长，再根据勾股定理计算AC的长即可． 【小问1详解】 解：如图，连接OA， ∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径， ∴OA⊥AC， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 设⊙O的半径为r， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用、圆的切线的性质、含30°的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，作出过切点的半径构建直角三角形是解本题的关键． 22 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求m和b的值； （2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线有两个公共点，请你画图观察，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2）点的坐标为，不等式的解集为或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点分别代入抛物线和直线的解析式计算即可得； （2）先联立两个函数的解析式即可得点的坐标，再根据不等式表示的是抛物线位于直线的上方，结合函数图象即可得； （3）先求出，抛物线的顶点坐标为，再画出函数图象，由此即可得． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线得：， 解得， 将点代入直线得：， 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线的解析式为，一次函数的解析式为， 联立，解得或， 所以点的坐标为， 不等式表示的是抛物线位于直线的上方， 则结合函数图象可知，不等式的解集或． 【小问3详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴，点之间的水平距离为3， 抛物线化成顶点式为的顶点坐标为， 画出图象如下： 当点与抛物线的顶点重合时，，解得，此时线段与抛物线恰好只有一个公共点， 则由函数图象可知，当时，线段与抛物线没有公共点， 当时，线段与抛物线只有一个公共点， 当时，线段与抛物线有两个公共点， 当时，线段与抛物线恰好只有一个公共点， 当时，线段与抛物线没有公共点， 综上，若线段与抛物线有两个公共点，点的横坐标的取值范围为． 23. 已知，如图中，，，，点D在边上，交于点E． （1）当时，求线段的长； （2）已知，点G，H在边上且四边形是矩形，当四边形的面积最大时，判断点D在线段上的位置？ （3）已知点M是边上的一动点，若是等腰直角三角形，请直接写出线段的长________． 【答案】（1） （2）点D为线段的中点，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，二次函数的性质； （1）由可得，得到代入计算即可； （2）过点作，交于点，交于点，先由面积求出，设，然后根据利用相似三角形的性质列方程得到，最后表示出矩形面积根据二次函数的最值可得长； （3）根据等腰直角三角形得到三角形相似，再计算即可． 小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得∴， ∴； 【小问2详解】 过点C作，交于点Q，交于点P， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∴当时，即时，面积有最大值． 此时， ∴， ∴，即点D为线段的中点． 【小问3详解】 （3）或． 详解如下：①如图所示，若，则， 由（2）可得；，，，， 设，则， ∵， ∴，解得， ∴当时，是等腰直角三角形， ②如图所示，同①．若，则，此时， ③如图所示，若，则，作交于点N， ∵，，， ∴， ∴， 设， 设，可得：，解得：， ∴当时，是等腰直角三角形， 综上，当或时，是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$