精品解析：湖北省荆楚联盟2025年初中学业水平考试数学试题（一）

荆楚联盟2025年初中学业水平考试 数学模拟试卷（一） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答案题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，将一对三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，为上的点，沿折叠这个矩形，点的对应点恰好在边上，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 学校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭每份的平均价格是（ ） 品种 A B C 单位（元/份） 10 8 6 销售比例 A. 8元 B. 7.8元 C. 元 D. 7元 8. 已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 9. 如图，是半圆的直径，分别以O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线经过，下列结论：①；②；③时，；④关于一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2+6x+9=___． 12. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为______． 13. 如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为______． 14. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 15. 在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．如图所示，现将点向右平移一个单位长度得到对应点，点向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，并将之记为第一次变换；再将向右平移一个单位长度得到对应点，向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，记为第二次变换，此时与点重合；按这样的方式继续平移3次，则有与是该变换下的第二次重合，…，当点与点是这样的变换中的第25次重合时，则______，点的坐标为______． 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论． 请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明，多选无效．若是选中每一个条件并作答，我们以第一个的答案作为你本次成绩的评分依据，记入你的成绩总分． ①；②；③； 18. 教材内容一 七年级下《不等式与不等式组》中“阅读与思考”——用求差法比较大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有； 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 教材内容二 八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选 你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？ 阅读以上材料完成下列任务： 问题探究 对于图2我们进一步的探讨． （1）______；______； （2）比较与的大小，并说明理由： 拓展运用 （3）应用以上结果，求的最小值． 19. 为了解学生对“生态环境保护”相关知识的学习效果，学校组织了“生态环境保护”知识竞赛，并从七，八年级抽取相同数量的成绩数据进行统计分析（比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次．记为100分，90分，80分，70分），学校将两个年级的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将表格填充完整： 成绩 年级 平均数 中位数 众数 七年级 ______ ______ ______ 八年组 87.6 80 ______ （2）若八年级有1000名学生参加本次竞赛，估计得分在B组的人数； （3）从平均数和中位数的角度对七、八年级的竞赛成绩作比较分析． 20. 在平面直角坐标系xOy中，点A，B在轴正半轴上，矩形的面积为8，且，为的中点．反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）观察图象，当时，直接写出的取值范围． 21. 如图，在中，为斜边上的一点，经过点的与AC交于点，连接，．若，． （1）求证：为的切线： （2）若，，求的长． 22. 【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 23. 问题情境 如图1，在正方形中，是的中点，是上一点，且．则①；②（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形中，是的中点，与直线交于点．请证明：①；②． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当，平分时，求的长； ②如图4，若与矩形外角的平分线交于点，当，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 24. 如图，一次函数的图象与抛物线交于，两点，与轴交于点，为第二象限抛物线上的点． （1）一次函数的图象经过点时，求的值； （2）过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求，，三点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荆楚联盟2025年初中学业水平考试 数学模拟试卷（一） 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答案题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行留存，由学校自行安排． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数定义，熟知带根号的要开不尽方的才是无理数，无限不循环小数为无理数是解题关键． 根据无理数、有理数的定义即可判定求解 ． 【详解】解：A、带根号且开不尽方，因此是无理数，此选项符合题意； B、是有理数里的整数，此选项不符合题意； C、是有理数里的负整数，此选项不符合题意； D、是有理数里的分数，是无限循环小数，非无理数，此选项不符合题意． 故选：A． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，单项式乘以单项式以及同底数幂的除法和幂的乘方，运用相关运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并 ，故此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算错误，不符合题意； C、 ，计算正确，符合题意； D、 ，此选项计算错误，不符合题意； 故选：C 4. 如图，将一对三角板按如图方式摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，平行线的性质求出，再根据三角形的外角，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 5. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了“杠杆原理”，即“阻力阻力臂=动力动力臂”．建筑工人甲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：N）关于动力臂（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：D． 6. 如图，在矩形中，，为上的点，沿折叠这个矩形，点的对应点恰好在边上，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，根据矩形性质，折叠的性质，得到，，勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 则：， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选C． 7. 学校食堂销售三种午餐盒饭有关数据如表所示，该食堂销售午餐盒饭每份的平均价格是（ ） 品种 A B C 单位（元/份） 10 8 6 销售比例 A 8元 B. 7.8元 C. 元 D. 7元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，根据销售比例，计算加权平均数即可． 【详解】解：午餐盒饭的平均价格为：（元） 故选：B． 8. 已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合计算和一次函数的性质． 先根据分式的计算法则化简即可得，进而判断①计算正确，由一次函数的增减性判断错误，把代入计算可得，即可判断③． 【详解】解： ， 即：，故①计算结果正确； ∵， ∴随增大而减小，故②结论错误； 当时，，故正确； 综上所述：正确结论有①③． 故选D． 9. 如图，是半圆的直径，分别以O，A为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点，直线交半圆于点，连接，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，证明为等边三角形，得到，圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：连接， 由作图可知：垂直平分， ∵直线交半圆于点， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选C． 10. 抛物线经过，下列结论：①；②；③时，；④关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根据对称性求出抛物线的对称轴，判断②，二次函数与一元二次方程的关系，判断④，条件不足无法得到①和③，即可得出结果． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，即：；故②正确； ∵抛物线经过，， ∴与的交点的横坐标为：， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根为；故④正确； 条件不足，无法判断的符号和的符号；故①③错误； 故选B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2+6x+9=___． 【答案】（x+3）2 【解析】 【详解】试题分析：直接用完全平方公式分解即可：x2+6x+9=（x+3）2． 12. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．若设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键. 分别根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”建立方程组即可得. 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”可得：； 根据“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”可得：； 则可列方程组为； 故答案为：． 13. 如图所示是小华设计的物理电路图，假设开关①、②、③、④都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，列表如下： ① ② ③ ④ ① ①，② ①，③ ①，④ ② ②，① ②，③ ②，④ ③ ③，① ③，② ③，④ ④ ④，① ④，② ④，③ 共12种等可能的结果，其中能让小灯泡发光的结果有4种， ∴； 故答案为：． 14. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 【答案】100 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 15. 在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为，，，．如图所示，现将点向右平移一个单位长度得到对应点，点向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，并将之记为第一次变换；再将向右平移一个单位长度得到对应点，向右平移3个单位长度得到对应点，以为对角线作正方形，记为第二次变换，此时与点重合；按这样的方式继续平移3次，则有与是该变换下的第二次重合，…，当点与点是这样的变换中的第25次重合时，则______，点的坐标为______． 【答案】 ①. 74 ②. 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，点的平移，点的规律探究，根据题意，与点重合，和重合，和重合进而得到第次重合时，，，进而求出点与点是这样的变换中的第25次重合时，的值，根据平移规律求出 ，过点作，根据等腰直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：与点重合，和重合，和重合， ∴点与点第次重合时，，， ∴当点与点是这样的变换中的第25次重合时， ， 此时：， 即：， ∴， ∵为正方形， ∴为等腰直角三角形， 过点作， 则：， ∴， ∴； 故答案为：74， 三、解答题（共9题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先将二次根式化简及计算二次根式的乘法、负整数次幂，再合并即可得到答案 【详解】解： 17. 如图，将线段沿过点的直线向右平移至，点A，B的对应点分别为，．若______，请判定四边形的形状，并证明你的结论． 请选择下列条件中的一个填写在上述空格上，然后作出判定并证明，多选无效．若是选中每一个条件并作答，我们以第一个的答案作为你本次成绩的评分依据，记入你的成绩总分． ①；②；③； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，先根据平移的性质，推出四边形为平行四边形，对于①推出，得到四边形为矩形；对于②，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可；对于③证明，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可． 【详解】解：∵将线段沿过点的直线向右平移至， ∴， ∴四边形为平行四边形； 当选择①时：四边形为矩形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形矩形； 当选择②时，四边形为菱形； ∵四边形平行四边形，且， ∴四边形为菱形； 当选择③时，四边形为菱形； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 18. 教材内容一 七年级下《不等式与不等式组》中的“阅读与思考”——用求差法比较大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a，b比较大小，那么 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有； 反过来也对，即 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 教材内容二 八年级上《整式的乘法与因式分解》中的“完全平方式”节选 你能根据图2和图3中图形的面积说明完全平方公式吗？ 阅读以上材料完成下列任务： 问题探究 对于图2我们进一步的探讨． （1）______；______； （2）比较与的大小，并说明理由： 拓展运用 （3）应用以上结果，求的最小值． 【答案】（1）能，（2）（3）2 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，分式的求值： （1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上2个长方形的面积，得到完全平方公式，直接利用面积公式求出即可； （2）作差法比较与的大小即可； （3）利用（2）的结论，利用，即可得出结果． 【详解】解：（1）能，图2：大正方形的面积； 图3：， ∴； 由图可知：； （2）由（1）知：， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴的最小值为2． 19. 为了解学生对“生态环境保护”相关知识的学习效果，学校组织了“生态环境保护”知识竞赛，并从七，八年级抽取相同数量的成绩数据进行统计分析（比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，相应等级的得分依次．记为100分，90分，80分，70分），学校将两个年级的成绩整理并绘制成如图所示的统计图： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）将表格填充完整： 成绩 年级 平均数 中位数 众数 七年级 ______ ______ ______ 八年组 87.6 80 ______ （2）若八年级有1000名学生参加本次竞赛，估计得分在B组的人数； （3）从平均数和中位数的角度对七、八年级的竞赛成绩作比较分析． 【答案】（1）见解析 （2）40 （3）七年级成绩好 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数及众数，解题的关键是从条形统计图，扇形统计图获得正确的数据． （1）利用平均数，中位数及众数的定义求解即可； （2）根据八年级的总人数乘以得分在B组的百分比计算即可； （3）分别从平均分和中位数的角度分析即可． 【小问1详解】 解：七年级的平均分为：； 由条形统计图可以知道，中位数落在B等级，故七年级中位数是90； 七年级B等级人数最多，七年级众数是90； 由扇形统计图可知：八年级A等级所占的比例最大，故二班的众数是100． 故完成表格如下： 成绩 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.6 90 90 八年组 87.6 80 100 【小问2详解】 八年级得分在B组的人数占八年级总人数百分比为， 八年级有1000名学生参加本次竞赛，估计得分在B组的人数人. 答：八年级有1000名学生参加本次竞赛，估计得分在B组的人数人. 【小问3详解】 解：从平均数和中位数的角度来比较七年级和八年级的成绩；七年级和八年级相同，七年级中位数高，说明七年级在90以上的超过一半人数，八年级没有，所以七年级成绩好． 20. 在平面直角坐标系xOy中，点A，B在轴正半轴上，矩形的面积为8，且，为的中点．反比例函数的图象经过点． （1）求的值； （2）观察图象，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质， （1）由矩形的面积为8，，求出，进而可得，再根据中点坐标可得，进而求出； （2）由直线与反比例的图象位置关系和交点坐标即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，矩形的面积为8， ∴， ∴点， ∵为的中点， ∴点，即点， ∴． 【小问2详解】 联立解析式得： 解得：，， 如图： 由图象可知：当时，． 21. 如图，在中，为斜边上的一点，经过点的与AC交于点，连接，．若，． （1）求证：为的切线： （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定、解三角形、等腰三角形的性质等知识点． （1）连接，根据，可知，，等量代换可得，根据等边对等角可证，进而可证，从而可证结论成立； （2）如图，延长交于点，连接，根据，可得，进而求出，可得，进而求出，证明，得，再在求出即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径； ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，连接， ， ∴是直径，即、、三点共线， ∴， 又∵在中，，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，． 22. 【项目式学习】 【项目主题】研究击球运动 【项目背景】探究击球运动中蕴含的数学知识，并运用所学知识解决相关的问题．甲，乙，丙，丁四个学习小组开展数学项目式学习实践活动，获取的所有数据共享．活动地点：比较开阔的草坪地． 【项目素材】 素材一：甲小组调试机器击球，保证每一次的击球方式相同，球在空中的飞行路线是相同的抛物线（在无风的情况下，且不考虑空气阻力）． 素材二：乙小组用监测仪器测得球的飞行高度与水平距离部分数据如下． 水平距离 0 6 18 30 36 飞行高度 0 9 21 25 24 素材三：丙小组用监测仪器测得的小球飞行的水平距离与时间的关系，根据数据分析，与是正比例函数关系，并根据相关数据绘制成如下图象（如图1）． 素材四：如图2所示，丁小组在草坪边山坡点处放置一个球框，并测得山坡的坡角，，． （参考数据：，，）． 【项目任务】 任务一：直接写出与的函数关系式； 任务二：当小球飞行的高度达到时，求小球飞行的时间； 任务三：若在点处击球，球能否落在点处的球筐中？请说明理由． 【答案】任务一：；任务二：秒或秒；任务三：不能落在点处的球筐． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般． （1）因为球在空中的飞行路线是相同的抛物线，故可设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，代入乙小组数据，由待定系数法即可求出与的函数关系式； （2）由图1可求小球飞行的水平距离与时间的函数关系，进而可求飞行高度与时间的函数关系式，由此即可求出当小球飞行的高度达到16m时小球飞行的时间； （3）求出点到击球处点的水平距离和高度，再根据是否经过点即可判断球能否落在点处的球筐中． 【详解】解：任务一：设球的飞行高度与水平距离的函数关系式，由乙小组数据得： ， 解得：， 即球的飞行高度与水平距离的函数关系式为， 任务二：设小球飞行的水平距离与时间的，由图1可得， ，解得， 即， ∴， 当时，即，解得，． 当小球飞行的高度达到时，小球飞行的时间为秒或秒． 任务三：山坡的坡角，． ∴， ， ∴， 当时，， ∴当时，小球高度小于，不能落在点处的球筐． 23. 问题情境 如图1，在正方形中，是的中点，是上一点，且．则①；②（结论不需要证明）． 初步探究 （1）如图2，在矩形中，是的中点，与直线交于点．请证明：①；②． 结论运用 （2）在（1）的条件下， ①如图3，当，平分时，求的长； ②如图4，若与矩形外角的平分线交于点，当，D，G在同一条直线上时，请直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）①通过矩形的性质结合直角三角形的两个锐角互余即可求解； ②通过两角分别相等得两个三角形相似证得，设、、，通过推得，代入，得，即可求解； （2）①通过角平分线的性质结合矩形的性质证得，设，，代入得，利用三角函数得，即可求解； ②设，，根据题意得，证得，即得，结合得，求出与，代入，得，设，即得一元二次方程，解方程即可得的值． 【详解】解：（1）①四边形是矩形， ， ， ． ②， ， 由①得， ， ∴， 设，， 是的中点， ， ， ， ， ，， 且， ． （2）①平分， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 由（1）得， ∴， ， ， ， ． ②，， ， 设，， 平分， ， ， ， ， ． 由（1）得， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， 解得：，（，舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角函数，利用公式法解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，一次函数的图象与抛物线交于，两点，与轴交于点，为第二象限抛物线上的点． （1）一次函数的图象经过点时，求的值； （2）过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接．求证：四边形为平行四边形； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，求，，三点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析 （3）点，点，点． 【解析】 【分析】（1）直接将代入函数解析式即可求出， （2）设一次函数与抛物线交于，两点为，，根据交点坐标可得，，再由直线解析式为求出点C的纵坐标；由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形得出结论； （3）根据点和（2）的结论，，即点，进而可得，再代入可求，，根据，得，进而求出，由此即可解题． 【小问1详解】 解：∵一次函数经过时，代入得． 【小问2详解】 解：设，两点坐标分别为，， 依题意得，整理得：， ∴， 设直线解析式为得：， ∴， 即直线解析式为； ∵轴， ∴点的横坐标为，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【小问3详解】 ∵，即， ∴，． ∴，即点 ∴， ∴， ∴， 由（2）得，由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴，即． ∴， 解并检验得 ∴，， ， ∴点，点，点． 【点睛】本题是二次函数与几何图形综合题，涉及了二次函数与一次函数交点 一元二次方程根与系数关系，平行四边形判定，解题关键是设交点坐标，由根与系数关系得出交点坐标的关系，进而表示出线段或面积的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$