精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校（重庆外国语学校）2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆外国语学校 2024-2025学年度（下）高2027届3月检测 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 命题人：陈彬彬 审题人：林安东 郭海峰 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 将函数图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 3. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 定义域为 C. 函数图象所有对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 出土于鲁国故城遗址“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A B. C D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 设为锐角，若，则______． 13. ______． 14. 已知函数的定义域为，若有且仅有3个解，则的取值范围为______． 四、解答题（共5题．共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知角是第二象限角，，为第二象限角，． （1）的值； （2）求的值． 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 17. 已知函数最小正周期为． （1）求的值及函数图象的对称中心； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆外国语学校 2024-2025学年度（下）高2027届3月检测 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 命题人：陈彬彬 审题人：林安东 郭海峰 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分，每题有且仅有一个正确答案） 1. 已知为钝角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，且为钝角，则， 则. 故选：D 2. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象．命题p：是奇函数，命题q：，则（ ） A. p是q的充分不必要条件 B. p是q的必要不充分条件 C. p是q的充要条件 D. p是q的既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象的平移变换及函数性质求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】依题意，， 当时，是奇函数，即. 若是奇函数，则，解得. 当时都在之间，，不一定必须， 所以不能推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期 B. 定义域为 C. 函数图象所有对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 4. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【详解】因为，所以，且，所以，则 故选：A． 5. 出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各项数据（图2）：，若，则璜身（即曲边四边形）面积近似为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定图形求出圆心角，再利用扇形面积公式计算即得. 【详解】显然为等腰三角形，， 则，，又， 所以，于是， 所以璜身的面积近似为. 故选：C 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法求解. 【详解】解：由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式等知识求得正确答案. 【详解】 ， 所以， ， . 故选：D 8. 已知函数，设的始边是轴的非负半轴，且，若关于的方程在内有解，则的终边不可能位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，写出方程，解出方程，根据角的取值范围，得到角的取值范围，从而得出可能在的象限，得解. 【详解】由，， ， 或， 当，时，得，， 又，所以这样的不存在， 当时，得， ，， ，又， 时，，此时在第一象限； 当时，，此时在第二象限； 当时，，此时在第四象限； 所以的终边可能位于第一、二、四象限. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的解析式可以为 B. 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数图象求正弦函数解析式方法可判断；利用三角函数的图象变换可判断；根据正弦函数的对称中心的求法可判断；利用换元法，结合三角函数的性质可判断. 详解】对于：由图知，，所以， 过点，所以， 可取，则，故正确； 对于：由知， 将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，可得， 再向左平移个单位，得到的图象， 则， , 二者不相等，故错误； 对于：由知，所以， 解得，所以的对称中心为，故错误； 对于：，令， 则，因为， 则，，所以， 即，即， 所以，故正确 故选：. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，由函数周期性的定义分析B，由函数单调性的性质分析C，利用函数图象和不等式的性质分析D即得． 【详解】对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数的单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与的图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于需要先判断函数的奇偶性，在此基础上才能由函数在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置. 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 设为锐角，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方关系可得，再结合，利用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】由为锐角，可得， 又，则， 所以 ． 故答案为：. 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式、二倍角公式以及辅助角公式化简计算可得结果. 【详解】易知， 可得 ． 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，若有且仅有3个解，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简函数解析式，结合三角函数性质将方程有且仅有3个解转化为有且仅有3个解，利再用正弦函数的图象性质即可求解. 【详解】, 因为，，所以， 因为，所以，则， 要使有且仅有3个解，则有且仅有3个解， 所以由正弦函数图像性质可得，解得. 故答案为：. 四、解答题（共5题．共77分，其中15题13分，16、17每题15分，18、19每题17分，请写出必要的解答过程） 15. 已知角第二象限角，，为第二象限角，． （1）的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和的正弦公式即可求解； （2）由同角三角商的关系及两角和的正切公式即可求解； 【小问1详解】 因为角是第二象限角，， 所以， 所以； 【小问2详解】 为第二象限角，， 所以， ， 所以 16. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）若方程在区间上有两个解，求实数a的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，故利用求出最小正周期，并利用整体法求出单调递减区间； （2）求出，画出在上的图象，数形结合得到答案. 【小问1详解】 由题设， 所以其最小正周期为， 令，，可得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问2详解】 若，则， 画出在上的图象，如下： 若方程在区间上有两个解，则函数与的图象有两个交点， 所以方程在区间上有两个解，只需． 17. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及函数图象的对称中心； （2）若将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，根据正弦型函数的周期性和对称性求解； （2）根据题意进行图象变换得到，通过分离参数得到不等式，利用半角公式将右侧函数变形求出值域，即可得到结果. 【小问1详解】 由题 . ∵最小正周期，∴，. 令，，解得，， ∴函数图象的对称中心，． 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象； 再向右平移个单位长度，得到函数的图象；再将图象向下平移个单位长度得到函数的图象. 所以 由题意对任意恒成立， 所以对任意恒成立. 令， 当时，； 当时，.令，则. 当时，，即； 当时，，由对勾函数性质可知， 所以 综上所述，的值域为，所以. 故实数的取值范围是. 18. 如图，某公园有一块扇形人工湖OMN，其中圆心角，半径为1千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形(四个顶点都落在扇形边界上)；再建造一个观景台，形状为，记 （1）当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积. （2）若在OA的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米16万元，求建造总费用的范围. 【答案】（1），最大值为(平方千米)； （2）万元 【解析】 【分析】(1)三角函数相关知识，利用角来表示矩形边长，进而表示出面积和角的函数关系式，求函数最值即可； (2)由题意可求得建造总费用，利用换元法及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，其中， 在中，，则 所以 因为，所以， 所以当，即时，矩形的面积取最大值， 所以当时，荷花池的面积最大，最大面积(平方千米)； 【小问2详解】 由(1)可知，则 ， 设建造总费用为y万元， 则 令， 因为，所以，所以， 则， 所以 所以建造总费用的范围为万元． 19. 已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， （1）当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， （2）已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到或，的定义域为，所以或，从而求出区间长度； （2）（ⅰ）不等式解集为或，设的两个根为，的两个根为，求出，其中，即，解得或，故或，所以或，结合正弦和差公式得到答案； （ⅱ）由（ⅰ）可得，平方后，结合同角三角函数关系，基本不等式得到，所以，所以，故，所以，故的最大值为. 【小问1详解】 时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； 【小问2详解】 （ⅰ），， 其中，故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或， 所以 或 ； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 则， 即， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或， 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以， 由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $