精品解析：江苏省南通市海安市十三校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试 初三数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（ ） A. 42° B. 48° C. 52° D. 60° 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 5. 如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：m2n﹣4n＝_____． 12. 若单项式与单项式是同类项，则___________． 13. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 14. 如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为_______________________． 15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为____海里（结果保留根号）． 16. 若，，，则的值是____． 17. 如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为____． 18. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共有8小题，共90分） 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 20. 为了解A、B两种铁观音茶叶亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 21. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 24. 销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 26. 某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图的证明过程： 探究问题： （2）当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第一次阶段性联合测试 初三数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．） 1. 据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将10870写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握中，n与小数点移动位数相同． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、与不能合并，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 3. 如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（ ） A. 42° B. 48° C. 52° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先通过作辅助线，将∠1转化到∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2． 【详解】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A， 由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC， 因为BC⊥AB， ∴∠BAC+∠2=90°， ∴∠1+∠2=90°， 因为∠1=48°， ∴∠2=42°； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质等内容，要求学生能根据题意理解其中的隐含关系，解决本题的关键是对角进行的转化，因此需要牢记并能灵活应用相关性质等． 4. 在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 详解】根据题意知=20%， 解得a=20， 经检验：a=20是原分式方程的解， 故选B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 5. 如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC，易证，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案． 【详解】连接OC 点为的中点 在和中 又 四边形CDOE为正方形 由扇形面积公式得 故选B． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 6. 关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】计算判别式，根据判别式的符号即可作出选择． 【详解】∵ ∴关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0有两个不相等的实数根 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，根据根的判别式的符号可判别一元二次方程根的情况，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 7. 关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有5个， ， 解得：， 故选：C． 8. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可； 【详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B； ③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A； 对于，其对称轴为：， ∴在，y随x的增大而增大，故排除C； 对于，其对称轴为：， ∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合； 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键． 9. 如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质、三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 求出反比例函数，设的解析式为，由经过，得出的解式为，设，且，由平行四边形的性质得，，则，，代入面积公式即可得出结果． 【详解】解：反比例函数的图象经过点 ， ， 反比例函数， 经过原点O， 设的解析式为， 经过点， 则， ， 的解析式为， 反比例函数经过点C， 设，且， 四边形是平行四边形， ，， 点B的纵坐标为， 的解析式为， ∴， ∴ ， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点B的坐标是， 故选：A． 10. 已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，由时，的取值范围为或，可得或是方程的两个根，则有，再得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：当时，， ， 当时，的取值范围为或， 或是方程的两个根， ， ， ， 是函数的对称轴，且， ， 函数经过点， ， ， ， ， ， ， 设抛物线， 令，解得， 令，解得， 根据抛物线开口向上， 的解集为或 的可能取值为2， 故选：A． 二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11. 分解因式：m2n﹣4n＝_____． 【答案】n（m+2）（m-2） 【解析】 【分析】先提取公因式n，再根据平方差公式分解即可求解． 【详解】解：m2n﹣4n=n（m2-4）=n（m+2）（m-2）． 故答案为：n（m+2）（m-2）． 【点睛】本题考查利用提公因式法和公式法综合进行因式分解，熟知因式分解的步骤“一提二看三检查”是解题关键． 12. 若单项式与单项式是同类项，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2,n+1=2,分别求出m,n的值，再代入求解即可. 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴m-1=2,n+1=2, 解得：m=3,n=1. ∴m+n=3+1=4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了同类项的概念，正确理解同类项的定义是解题的关键. 13. 点P(2，3)关于x轴的对称点的坐标为________． 【答案】（2，－3）． 【解析】 【详解】试题分析：关于x轴对称的点的坐标特征是横坐标相同，纵坐标互为相反数，从而点P（2，3）关于x轴对称的点的坐标是（2，－3）． 考点：关于x轴对称的点的坐标特征． 14. 如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为_______________________． 【答案】##3：2 【解析】 【分析】根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，得出OA与OD的比值，即可得出△ABC与△DEF的位似比． 【详解】解：∵， ∴， ∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O， ∴△ABC与△DEF的位似比为：. 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解决问题的关键． 15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为____海里（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解求出、，再解求出即可．解决本题的关键是求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题． 【详解】解：如图， 由题意得：，，，海里， 在中，，， 海里， 海里， 在中，，， 海里， 海里， 故答案为：． 16. 若，，，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根与系数的关系，以及代数式求值，由题意得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，原式变形后代入计算即可求出值．熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 【详解】解：实数，且、满足，， 与为方程的两根， ，， ， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题函数，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，二次函数的图象与性质；过点作于点，延长交的延长线于点，利用矩形的判定与性质可得，设，利用相似三角形的判定与性质求得，进而求得，的长，利用求得与之间关系，再利用二次函数的性质和的取值范围解答即可得出结论，做出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图， 点、分别为，中点， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ． ，， ． ， ， ． 为等腰直角三角形， ． 设， 由题意得：，则， ， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， 解得：， ． ． ， ， 由题意：的取值范围为：， 故答案为：． 18. 如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，胡不归问题等，把代入得，故抛物线的解析式为，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，求出，，，，可得，，即得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，根据面积法求出，故的最小值为，解题的关键掌握胡不归问题的解决方法． 【详解】解：把代入得：， 解得， 抛物线的解析式为，、 ， 抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线； 如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于， 在中，令得， 解得或， ， ， 将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点， ，， ， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度， ， ， 的最小值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共有8小题，共90分） 19. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程：． 【答案】（1），3；（2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，解分式方程，熟练计算是解题的关键． （1）再化简，再代入字母的值求解即可； （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验方程的解即可． 【详解】(1)原式 ； 当时，原式； (2)去分母得， 解得 检验：当， ∴是原方程的根 ∴原方程的根为． 20. 为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息： 10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60． 10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59． 抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图 型号 A B 平均数 56 56 中位数 56 b 众数 a 57 方差 7.4 15.8 “优秀”等级所占百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：　　，　　，　　． （2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？ 【答案】（1）55；57；40 （2）B款茶叶更好，理由见解析 （3）估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩 【解析】 【分析】本题考查样本估计总量，涉及众数、中位数、平均数，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念． （1）根据众数、中位数概念可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值； （2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）； （3）用样本估计总量，即可得答案． 【小问1详解】 解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55， 众数， 型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为， “合格”等级占，即， 把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57， ； 故答案为：55，57，40； 【小问2详解】 解：款茶叶更好， 理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：（亩， 答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上有亩． 21. 为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？ （2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【答案】（1），随机 （2）恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率． （1）直接利用概率公式，求解即可； （2）画出树状图，再利用概率公式求解即可． 掌握树状图法求概率，是解题的关键． 【小问1详解】 解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种， ∴，是随机事件； 故答案为：，随机； 【小问2详解】 画出树状图如图： 由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求出，的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据，求出面积，设，构建方程即可解决问题． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点，， ，， 解得，， ，， 把、的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象，不等式的解集为：或． 【小问3详解】 解：连接，，由题意， ， 设， 由题意， 解得， 或． 23. 已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，． （1）求证：直线是的切线； （2）若，垂足为M，的半径为10，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）运用圆周角定理得，根据三角形的内角和得出，因为是的半径，且，故直线是的切线； （2）结合垂径定理得，运用30度所对的直角边是斜边的一半，即，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：如图，∵是的直径，且于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24. 销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元． （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？ （3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？ 【答案】（1） （2）将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元 （3）纪念品的销售单价x的范围是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，熟知最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答是关键． （1）根据题意直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）用图象法即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得： ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为元 ∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元； 【小问3详解】 解：∵利润不低于2250元， 且，w随x增大而增大， 由得或， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标； （3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为，此时点 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，熟练利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）设，利用表示出的长，即可求解； （3）当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解． 小问1详解】 解：抛物线交轴于两点， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线可得， ， 解得， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 在中，， ， 如图， 轴， ， 设点，则点， 则， 则， ， ，故当时，有最大值，为，此时点； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位， 则新抛物线的对称轴为直线，设点， 如图，当为对角线时，存在两种情况，可得， ， 解得， 则， 的中点为，即， 设，则可得，解得， 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时， 当时，， ， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 如图，当为边时，当在上方时， 可得， 根据勾股定理可得， ， ， 根据中点公式可得； 综上，或或或． 26. 某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F． （1）当点D在线段上时，如图，求证：； 分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论： 推理证明：写出图的证明过程： 探究问题： （2）当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明； 拓展思考： （3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______． 【答案】（1）详见解析 （2）或，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； （2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可； 图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可； （3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：在边上截取，连接． 在中，． ， ． 又， ． 又，， ． 又， ． ． ． ． ， ． 是等边三角形． ， ， ； 【小问2详解】 解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下： 如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶ 如图所示，在上取点H使， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，过E作于H， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵面积是面积两倍， ∴，又， ∴，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴，则， ∴； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，与矛盾， ∴不符合题意； 如图所示，当点D在线段的延长线上时， ∵，， ∴，则， 由（2）可知，， ∵， ∴， 过A作于M，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了旋转性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，三角形的外角性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加辅助线构造全等三角形和等边三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$