7.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7.3　离散型随机变量的数字特征 课标要求 学法指导 1．理解离散型随机变量的均值． 2．理解离散型随机变量的方差． 3．理解离散型随机变量的均值、方差的性质. 1．均值与方差是离散型随机变量的数字特征．对均值和方差的理解，可类比在统计部分所学习的平均数和方差． 2．均值的计算公式要熟记，具体可以类比统计部分的加权平均数的计算公式记忆；方差公式可以类比统计部分的方差的公式记忆． 3．对于离散型随机变量的均值与方差，要加强对其实际意义的理解和把握． 4．通过研究离散型随机变量的均值和方差，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 7.3.1　离散型随机变量的均值 问题导入 设有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个． 问题1：任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ 提示　X＝5,6,7. 问题2：X取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示　P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X＝7)＝. 问题3：试想每个西瓜的平均质量该如何求？ 提示　＝5×＋6×＋7×. 微梳理 要点一　离散型随机变量的均值 1．定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. 2．意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的平均水平. 3．性质：设X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.一般地，结论E(aX＋b)＝aE(X)＋b成立． 思考：随机变量的均值和样本的平均值是常数还是随机变量？ 提示　随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取；样本的平均值是一个随机变量，它是随着样本的不同而变化的． 要点二　两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值．(　　) (2)随机变量的均值相同，则两个分布也一定相同．(　　) (3)若X服从两点分布，则E(X)＝np.(　　) (4)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　) 解析　(1)错误．离散型随机变量的均值是一个常数，它不具有随机性． (2)错误．两个随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；反之不一定成立． (3)错误．若X服从两点分布，则E(X)＝p. (4)正确．由均值的性质可知正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　离散型随机变量均值的公式与性质 【例题1】 已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 P m (1)若Y＝－2X，求E(Y)的值； (2)若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值． 解析　(1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝. (2)因为E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 规律总结 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数，求E(ξ)的两种思路： (1)先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)； (2)利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)． 【变式1】 (1)随机变量X的分布列如表所示，则E(5X＋4)＝(　　) X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．16 B．11 C．2.2 D．2.3 (2)已知离散型随机变量X的概率分布列如表所示. X 1 2 3 4 P m ①求m的值； ②求P(|X－3|＝1)和E((X＋2)2)． 解析　(1)由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A项． 答案　A (2)①由概率分布列的性质可得＋m＋＋＝1，解得m＝. ②P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.因为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(X2)＝12×＋22×＋32×＋42×＝，所以E((X＋2)2)＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝＋4×＋4＝. 探究二　离散型随机变量的均值 【例题2】 (2022·北京改编)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖，为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数量(单位：m)． 甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25； 乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23； 丙：9.85,9.65,9.20,9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求X的分布列和数学期望E(X)． 解析　(1)由题意得，甲同学的10次成绩中有4次成绩达到9.5 m以上，所以由频率估计概率可得，甲获得优秀奖的概率为P＝＝0.4. (2)由题意得，乙获得优秀奖的概率为0.5，丙获得优秀奖的概率为0.5.设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，X的可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P()＝0.6×0.5×0.5＝0.15，P(X＝1)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.4， P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(X＝3)＝P(A1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.15 0.4 0.35 0.1 所以E(X)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4. 规律总结 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X)． 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在． 【变式2】 (1)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，则他罚球1次的得分X的均值为______. (2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值． 解析　(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，即该运动员罚球1次的得分X的均值为0.8. 答案　0.8 (2)X的可能取值为1,2,3,4，则X＝1表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6；X＝2表明李明第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28；X＝3表明李明第一、二次考试都未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096；X＝4表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544. 探究三　离散型随机变量均值的实际应用 【例题3】 (2024·北京)已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽样100单，以频率估计概率： (1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率； (2)①毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X，估计X的数学期望； ②若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%，已赔偿过的增加20%，估计保单下一保险期毛利润的数学期望． 解析　(1)设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P(A)＝＝. (2)①设ξ为赔偿金额，则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3， 由题设中的统计数据可得P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝0.8)＝＝，P(ξ＝1.6)＝＝，P(ξ＝2.4)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，故E(ξ)＝0×＋0.8×＋1.6×＋2.4×＋3×＝0.278，故E(X)＝0.4－0.278＝0.122(万元)． ②由题设得变化后的保费为0.4××96%＋0.4××1.2＝0.403 2， 故保单下一保险期毛利润的数学期望为E(Y)＝0.122＋0.403 2－0.4＝0.125 2(万元)． 规律总结 (1)实际问题中的均值问题：均值在实际问题中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计． (2)概率模型的解答步骤 ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论． 【变式3】 某厂销售部以箱为单位销售某种零件，每箱的定价为200元，低于100箱按原价销售，不低于100箱则有以下两种优惠方案： ①以100箱为基准，每多50箱送5箱； ②通过双方议价，买方能以优惠8%成交的概率为0.6，以优惠6%成交的概率为0.4. 某单位需要这种零件650箱，以购买总价的数学期望为决策依据，试问该单位选择哪种优惠方案更划算？ 解析　若选择方案①，由于购买600箱能获赠50箱，所以该单位只需要购买600箱，从而购买总价为200×600＝120 000(元)． 若选择方案②，设在折扣优惠中每箱零件的价格为X元，则X的可能取值为184,188. X的分布列如表所示， X 184 188 P 0.6 0.4 则在折扣优惠中每箱零件价格的数学期望E(X)＝184×0.6＋188×0.4＝185.6， 则购买总价的数学期望为185.6×650＝120 640(元)． 因为120 640>120 000，所以选择方案①更划算． 1．某篮球运动员每次投篮未投中的概率为0.3，投中2分球的概率为0.4，投中3分球的概率为0.3，则该运动员投篮一次得分的数学期望为(　　) A．1.5 B．1.6 C．1.7 D．1.8 答案　C 解析　由已知得E(X)＝0×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝1.7.故选C项． 2．已知随机变量X的分布列如表所示，则E(X)＝(　　) X －1 0 1 P 0.5 0.2 p A．0 B．－0.2 C．－1 D．－0.3 答案　B 解析　由题意得0.5＋0.2＋p＝1，解得p＝0.3，则由离散型随机变量的均值公式得E(X)＝－1×0.5＋0×0.2＋1×0.3＝－0.2.故选B项． 3．甲、乙两台自动车床生产同种标准的零件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表所示，据此判定(　　) X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 A．甲的产品质量比乙的好 B．乙的产品质量比甲的好 C．甲的产品质量与乙的一样 D．无法判定 答案　A 解析　E(X)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，E(Y)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，显然E(X)<E(Y)，由数学期望的意义知，甲的产品质量比乙的好．故选A项． 4．(多选)已知随机变量X的分布列如表所示. X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若E(X)＝7.5，则以下结论正确的是(　　) A．a＝7 B．b＝0.4 C．E(aX)＝52.5 D．E(X＋b)＝7.5 答案　ABC 解析　由分布列的性质知0.3＋0.1＋b＋0.2＝1，解得b＝0.4，B项正确；因为E(X)＝4×0.3＋0.1a＋9b＋10×0.2＝6.8＋0.1a＝7.5，所以a＝7，A项正确；由均值的性质知E(aX)＝aE(X)＝7×7.5＝52.5，C项正确；E(X＋b)＝E(X)＋b＝7.5＋0.4＝7.9，D项不正确．故选ABC项． 学科网（北京）股份有限公司 $$