7.4.1 二项分布（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

7．4　二项分布与超几何分布 课标要求 学法指导 1.通过具体实例，了解伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 3．通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题. 1.注意理解在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率公式与二项式定理之间的联系． 2．在利用二项分布解决实际问题的过程中，深化对随机现象的认识，体会特殊分布的应用． 3．学习超几何分布时，重点注意公式中字母N，M和n的范围及其意义． 4．通过学习二项分布和超几何分布的概念及其数学特征，发展数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 7.4.1　二项分布 ,) 问题导入 在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮3次，每次投篮的命中率都是0.8，用Ai(i＝1，2,3)表示第i次投篮命中这件事，用B1表示仅投中1次这件事． 问题1：试用Ai表示B1. 提示　B1＝(A123)∪(1A23)∪(12A3)． 问题2：试求P(B1)． 提示　因为P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝0.8， 且A123，1A23，12A3两两互斥， 所以P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3) ＝0.8×0.22＋0.8×0.22＋0.8×0.22 ＝3×0.8×0.22. 问题3：用Bk表示投中k次这件事，试求P(B2)和P(B3)． 提示　P(B2)＝3×0.2×0.82，P(B3)＝0.83. 问题4：由以上结果你能得出什么结论？ 提示　P(Bk)＝C×0.8k×0.23－k，k＝0,1,2,3. 微梳理 要点一　n重伯努利试验 1．伯努利试验：把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验． 2．定义：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 3．特征：(1)同一个伯努利试验重复做n次；(2)各次试验的结果相互独立. 思考：定义中“重复”的含义是什么？ 提示　“重复”意味着各次试验成功的概率相同． 要点二　二项分布 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p). 2．二项分布的均值与方差：若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 思考：二项分布与两点分布有何关系？ 提示　两点分布是一种特殊的二项分布，是n＝1时的二项分布；二项分布可以看作两点分布的一般形式． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．(　　) (2)n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．(　　) (3)依次投掷4枚质地不同的骰子，点数1出现2次的试验是4重伯努利试验．(　　) (4)若随机变量X～B(n，p)，则X＝1,2，3，…，n.(　　) 解析　(1)正确．由伯努利试验的相关概念知说法正确． (2)正确．由n重伯努利试验的相关概念可知说法正确． (3)错误．因为骰子的质地不同，点数1出现的概率不同，因此该试验不是4重伯努利试验． (4)错误．X＝0,1,2，…，n. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× ,) 探究一　n重伯努利试验的概念 【例题1】 (1)(多选)下列试验不是n重伯努利试验的是(　　) A．依次投掷4枚质地不同的硬币，3次正面向上 B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中 C．口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球，依次不放回地从中抽取5个球，恰好抽出4个白球 D．一台加工质量不稳定的机床连续加工出20个零件，其中出现5个次品 (2)加工某种零件需经过三道工序．设第一、二、三道工序的合格率分别为，，，且各道工序互不影响． ①加工一个这种零件是否是3重伯努利试验？求加工一个这种零件是合格品的概率； ②加工20个这种零件，记合格品的个数为X，则X是否服从二项分布？ 解析　(1)A项，试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验；B项，某人射击且击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验；C项，每次抽取，试验的结果有三种不同颜色且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是n重伯努利试验；D项，加工质量不稳定说明次品率不稳定，因此不是n重伯努利试验．故选ACD项． 答案　ACD (2)①加工一个这种零件需经过三道工序，各道工序互不影响，它们是独立的，但三道工序的合格率不同，因此加工一个这种零件不是3重伯努利试验．由事件的独立性知，加工一个这种零件是合格品的概率P＝××＝. ②由①知，加工一个这种零件是合格品的概率是，加工20个这种零件，每个零件的加工相互独立，故是一个20重伯努利试验，X表示加工的零件是合格品这一事件发生的次数，故服从二项分布． 规律总结 判断某试验是伯努利试验的依据：①在相同的条件下可以重复进行；②每次试验相互独立、互不影响． 【变式1】 小明和小华一起玩掷骰子游戏，游戏规则如下：小明先掷，小华后掷，如此间隔投掷． (1)小明共投掷n次，是否可看作n重伯努利试验？小华共投掷m次，是否可看作m重伯努利试验？ (2)在游戏的全过程中共投掷了(m＋n)次，则这(m＋n)次是否可看作(m＋n)重伯努利试验？ 解析　(1)由伯努利试验的判断条件，小明、小华各自投掷骰子时可看作在相同条件下，且每次投掷互不影响，故小明投掷的n次可看作n重伯努利试验，小华投掷的m次可看作m重伯努利试验． (2)在游戏的全过程中投掷(m＋n)次，不是在相同条件下进行的试验，故不能看作(m＋n)重伯努利试验． 探究二　二项分布概率的计算 【例题2】 某气象站天气预报的准确率为80%，计算下列事件的概率(结果保留到小数点后第2位)． (1)5次预报中恰有2次准确； (2)5次预报中至少有2次准确． 解析　令X表示5次预报中预报准确的次数，则X～B，故其分布列为P(X＝k)＝Ck·5－k(k＝0,1,2,3,4,5)． (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X＝2)＝C×2×3＝10××≈0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×0×5－C××4＝1－0.000 32－0.006 4≈0.99. 规律总结 (1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)应用二项分布求概率的一般思路 ①根据题意设出随机变量；②分析出随机变量服从二项分布；③明确参数n，p，写出二项分布的分布列；④将k值代入求概率． 【变式2】 (1)设随机变量X～B，则P(X＝3)＝(　　) A. B． C． D． (2)有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝______. (3)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为. ①求乙至多击中目标2次的概率； ②求甲恰好比乙多击中目标2次的概率． 解析　(1)由题意可得P(X＝3)＝C×3×2＝.故选A项． (2)因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为＝.从中取3次，X为取得次品的次数，则X～B，所以P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝C×2×＋C××2＋C×3＝. 答案　(1)A　(2) (3)①乙至多击中目标2次的概率为1－C3＝. ②设“甲恰好比乙多击中目标2次”为事件A，“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次”为事件B1，“甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次”为事件B2，则A＝B1＋B2，B1，B2为互斥事件，所以P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝C3×C×3＋C3×C××2＝×＋×＝. 探究三　二项分布的均值与方差 【例题3】 某商场为刺激消费，拟按以下的方案进行促销：顾客每消费500元便得到奖券一张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张． (1)设该顾客中奖的奖券张数为X，求X的分布列； (2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y元，用X表示Y，并求Y的数学期望． 解析　(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此X～B.所以P(X＝0)＝C×4＝，P(X＝1)＝C×4＝，P(X＝2)＝C×4＝，P(X＝3)＝C×4＝，P(X＝4)＝C×4＝，所以X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 4 P (2)因为X～B，所以E(X)＝4×＝2(张)．又由已知条件可得Y＝2 300－100X，所以E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)，即所求变量Y的数学期望为2 100元． 规律总结 (1)求二项分布的均值和方差的步骤 ①先判断随机变量是否服从二项分布； ②代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差． (2)解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解，若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)． 【变式3】 (1)已知随机变量X～B，则E(X)，D(X)分别为(　　) A.， B．， C.， D．， (2)某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，. ①求该产品的次品率； ②从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X，求随机变量X的分布列与方差D(X)． 解析　(1)因为随机变量X～B，所以E(X)＝2×＝，D(X)＝2××＝.故选D项． 答案　D (2)①产品为正品的概率为P＝＝，所以产品为次品的概率为1－＝. ②由题意得X的取值为0,1,2,3，且X～B，则P(X＝0)＝3＝，P(X＝1)＝C2＝，P(X＝2)＝C2＝，P(X＝3)＝3＝.所以X的分布列如表所示. X 0 1 2 3 P 所以D(X)＝np(1－p)＝3××＝. ,) 1．若随机变量X～B(100，p)，且E(X)＝20，则D(2X－1)＝(　　) A．64 B．128 C．256 D．32 答案　A 解析　由于X～B(100，p)，且E(X)＝20，则100p＝20，解得p＝0.2，所以D(X)＝100p·(1－p)＝20×(1－0.2)＝16，所以D(2X－1)＝22D(X)＝64.故选A项． 2．某学生参加一次选拔考试，有5道题，每题10分．已知他解题的正确率为，若40分为最低分数线，则该生被选中的概率为(　　) A．C×4× B．C×5 C．C×4×＋C×5 D．1－C×3×2 答案　C 解析　该生被选中包括“该生做对4道题”和“该生做对5道题”两种情形，故所求概率为P＝C×4×＋C×5.故选C项． 3．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝______. 解析　因为ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案　0.196 4．某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏装饰灯闪烁一次时，出现红灯的数量为X. (1)求X＝2时的概率； (2)求X的均值． 解析　(1)依题意知X＝2表示“4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯”，而每盏灯出现红灯的概率都是，故X＝2时的概率为C×2×2＝. (2)因为X服从二项分布，即X～B， 所以E(X)＝4×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$