7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 [学习目标] 1.掌握复数代数表示式的加、减法的运算法则(重点).2.了解复数加、减运算的几何意义(重点).3.发展数学运算和数学抽象的核心素养． 要点一　复数加法与减法的运算法则 1．复数的加法和减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝　(a＋c)＋(b＋d)i　，z1－z2＝__(a－c)＋(b－d)i__. 2．对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝__z2＋z1__，(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__. 思考：复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减吗？ 提示　复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减的情形．设复数z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，…，zn＝an＋bni(an，bn∈R)，则z1±z2±…±zn＝(a1＋b1i)±(a2＋b2i)±…±(an＋bni)＝(a1±a2±…±an)＋(b1±b2±…±bn)i. 要点二　复数加、减法的几何意义 1．如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是　　，与z1－z2对应的向量是　　. 2．复平面内两点间的距离公式 公式d＝__|z2－z1|__，其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)关于复数的减法的结论(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) (4)复数z是实数的充要条件是z＝.(　　) 解析　(1)正确，复数的和或差可以是实数也可以是虚数． (2)正确，根据复数的加法法则知说法正确． (3)错误，关于复数的减法的结论(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)一定成立． (4)正确，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝⇔a＋bi＝a－bi⇔b＝0⇔z是实数． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　复数的加、减法运算 规律总结　 (1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加、减法法则与实数的加、减法法则一致； ②加法运算的交换律、结合律在复数集中仍成立； ③符合向量加法的平行四边形法则． (2)法则的记忆：可以类比合并同类项，两个复数相加(减)，就是实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)． 【例题1】 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解析　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. 【变式1】 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－1＋i)＋(1－i)； (3)3＋(4－5i)． 解析　(1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋[5＋(－4)]i＝6＋i. (2)(－1＋i)＋(1－i) ＝(－1＋1)＋[＋(－)]i＝0. (3)3＋(4－5i)＝(3＋4)＋[0＋(－5)]i＝7－5i. 探究二　复数加、减法运算的几何意义 规律总结　 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量，，则有＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算，知＋＝(a＋c，b＋d)．这说明 两个向量与的和就是复数z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此复数的加法可以按照向量的加法来进行．这就是复数加法的几何意义．由平面向量的坐标运算，知－＝(a－c，b－d)．这说明两个向量与的差就是复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i对应的向量．因此复数的减法可以按照向量的减法来进行．这就是复数减法的几何意义． 【例题2】 已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i. (1)求点C，D对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解析　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为－＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，其中O为坐标原点，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，即解得所以点D对应的复数为5. (2)由题意得＝(1,2)，＝(3，－1)． 因为·＝||||cos B， 所以cos B＝＝＝＝， 所以sin B＝， 所以S＝||||sin B＝××＝7， 所以平行四边形ABCD的面积为7. 【变式2】 已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i.它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点．求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解析　方法一　如图，设复数z1，z2，z3所对应的点为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，于是＝－对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为＝，所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， 所以解得 故点D对应的复数为2－i. 方法二　如图，设复数z1，z2，z3所对应的点为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)， 因为点A与点C关于原点对称， 所以原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0， 所以x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i. 探究三　复数的模的综合问题 规律总结　 (1)与复数的模有关的问题常用的解题方法有三种：一是运用复数的定义求解，思路清晰；二是运用复数模的性质求解，解法简便；三是运用复数的几何意义及复数加、减法的几何意义求解，解法简便且不用计算． (2)在复平面内，复数z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．与复数的模有关的几个常见结论： ①四边形OACB为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 【例题3】 (1)设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. (2)如果|z－4－3i|≤3，求|z|的取值范围． 解析　(1)方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题意得所以2ac＋2bd＝0， 所以|z1－z2|2＝|a＋bi－(c＋di)|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2，所以|z1－z2|＝. 方法二　在复平面内作出复数z1，z2对应的向量，， 因为|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，所以，不共线， 以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2. 因为|z1|＝|z2|＝1，所以平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 因为|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2， 所以∠ZZ1O＝90°. 所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形，所以|z1－z2|＝. (2)易知|z－4－3i|≤3表示以(4,3)为圆心，3为半径的圆面，如图所示，|z|＝|OZ|，因为点O到圆心(4,3)的距离为＝5，所以当z所对应的点在上述圆面内变动时，2＝5－3＝|OZ2|≤|OZ|≤|OZ1|＝5＋3＝8，即2≤|z|≤8.所以|z|的取值范围是[2,8]． 【变式3】 (1)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. (2)已知复数z的模为2，求|z－i|的最大值． 解析　(1)在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，，易知，不共线，以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2.因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，所以平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60° 的菱形，所以|z1＋z2|＝|OZ| ＝＝. (2)在复平面内，复数z对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，i对应的点为C(0,1)．如图所示，|z－i|表示圆上各点到定点C的距离，由图易知点(0，－2)到该点的距离最大，最大值为3.所以|z－i|的最大值为3. 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＝(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 答案　A 解析　(1－i)－(2＋i)＋3i＝－1＋i.故选A项． 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z在复平面内对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．故选C项． 3．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是________. 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|，所以＝，即a＝0，则z＝bi，b∈R，所以|z－1|min＝|bi－1|min＝，故当b＝0时，|z－1|取得最小值1. 答案　1 4．在复平面内，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,2＋4i，3－3i. (1)求向量对应的复数； (2)求向量对应的复数； (3)求点B对应的复数． 解析　因为复平面内平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，2＋4i，3－3i，所以对应的复数为2＋4i，对应的复数为3－3i. (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－(3－3i)＝－3＋3i. (2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3－3i)－(2＋4i)＝1－7i. (3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(2＋4i)＋(3－3i)＝5＋i，所以点B对应的复数为5＋i. 学科网（北京）股份有限公司 $$