第7章 复数 章末复习方案（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

章末复习方案 探究一　复数的概念 解决复数概念问题的方法及注意事项： (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． (2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．复数与实数的不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z是虚数⇔b≠0；z是纯虚数⇔z是实数⇔b＝0. 【真题1】 (1)(2024·新课标Ⅱ)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C． D．2 (2)(2023·全国甲)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (3)(2023·全国乙)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析　(1)若z＝－1－i，则|z|＝＝.故选C项． (2)因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C项． (3)由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i.故选B项． 答案　(1)C　(2)C　 (3)B 探究二　复数代数形式的四则运算 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．在复数相关问题的处理中，一般要将复数转化为一般形式z＝a＋bi(a，b∈R)，明确复数的实部与虚部，在求解复数的过程中，经常需要利用复数的四则运算来解决相关问题．实数对于四则运算是畅通无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开偶次方均是畅通无阻的． 【真题2】 (1)(2024·全国甲)设z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．－2 (2)(2024·新课标Ⅰ)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i (3)(2024·上海)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________. 解析　(1)由z＝5＋i⇒＝5－i，z＋＝10，则i(＋z)＝10i.故选A项． (2)因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C项． (3)设z＝1＋bi，b∈R且b≠0，则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m，因为m∈R，所以解得m＝2. 答案　(1)A　(2)C　(3)2 【真题3】 (1)(2023·全国甲)＝(　　) A．－1 B．1 C．1－i D．1＋i (2)(2023·新课标Ⅰ)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 (3)(2023·天津)已知i是虚数单位，化简的结果为________. 解析　(1)＝＝1－i.故选C项． (2)因为z＝＝＝＝－i，所以＝i，即z－＝－i.故选A项． (3)由题意可得＝＝＝4＋i. 答案　(1)C　(2)A　 (3)4＋i 探究三　复数的几何意义及其应用 复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔＝(a，b)；由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可以把复数、向量联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观． 【真题4】 (1)(2023·新课标Ⅱ)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2023·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析　(1)因为(1＋3i)(3－i)＝3＋8i－3i2＝6＋8i，则所求复数对应的点为(6,8)，位于第一象限．故选A项． (2)z在复平面内对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义得z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝－1－i.故选D项． 答案　(1)A　(2)D 学科网（北京）股份有限公司 $$