期中考前满分冲刺之填空题（60题）（二十三种覆盖训练）-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:已知字母的值求代数式的值 1．已知，则 ． 2．已知，则 ． 3．已知，，那么的值是 ． 覆盖训练02:勾股树问题 4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 6．如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 ．    覆盖训练03:三角形的中位线 7．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 8．如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 9．如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 覆盖训练04:二次根式的非负性 10．已知，则 ． 11．已知，则 ． 12．若，则的值为 ． 覆盖训练05:二次根式有意义 13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 14．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 15．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 覆盖训练06:最简二次根式的合并 16．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 17．最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 18．若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 覆盖训练07:勾股定理解三角形 19．如图，在四边形中，，于点A，于点C，，，则 ． 20．在中，，若，则 ． 21．如图，在中，是边上除点外的任意一点，则 ． 覆盖训练08:逆命题 22．已知命题：若，则．该命题的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 23．命题“若，则”的逆命题是 ． 24．命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是： ． 覆盖训练09:数轴上的无理数 25．如图，数轴上点、所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ． 26．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段，为3个单位长度，以原点为圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是 ． 27．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为 ． 覆盖训练10:平行四边形的性质 28．已知中，，则的度数为 ． 29．在平行四边形中，，则的度数为 ． 30．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 覆盖训练11:(特殊)平行四边形的性质 31．如图，矩形的两条对角线相交于点O，若，，则 ． 32．已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ． 33．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 覆盖训练12:勾股定理的实际应用 34．如图，在做小球摆动实验时，嘉嘉发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ． 35．明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长 ． 36．如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 覆盖训练13:二次根式的最值 37．若二次根式是正整数，则整数m的最小值为 ． 38．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 39．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 覆盖训练14:运用乘法公式求代数式的值 40．已知，则 ． 41．已知，求的值 ． 42．已知，则的值为 ． 覆盖训练15:阴影部分面积 43．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 44．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 覆盖训练16:矩形折叠问题 45．如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 46．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 覆盖训练17:中点四边形的规律 47．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 48．如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 覆盖训练18:秦九韶——海伦公式 49．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 50．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 覆盖训练19:(特殊)平行四边形动点求t 51．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 52．如图，正方形的边长为，点在的延长线上，且，动点从点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点从点出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点运动的时间为秒，四边形的面积为，若四边形的形状是平行四边形时，则的取值范围是 ． 覆盖训练20:整数部分与小数部分 53．已知m是的小数部分，则的值为 ． 54．用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 覆盖训练21:直角三角形动点求t 55．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为 ． 56．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是 ． 覆盖训练22:蚂蚁爬行最短问题 57．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 58．如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 覆盖训练23:最值问题 59．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 60．如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之填空题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:已知字母的值求代数式的值 1．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用．把的因式分解，再代入计算． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，代数式求值，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． 根据题意得到，，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．已知，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 覆盖训练02:勾股树问题 4．在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为，则正方形的而积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了以勾股定理为背景的计算，掌握正方形面积的计算，勾股定理的计算是解题的关键． 根据题意可得，由此即可求解． 【详解】解：所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：6 ． 5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的面积是 ，正方形F的面积是 ，正方形G的面积是 ． 【答案】 8 5 13 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是熟练应用勾股定理求得正方形的边长．先由正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3，得到对应的边长分别为，然后利用勾股定理求得正方形的边长分别为，从而求得正方形和的面积，正方形的边长，即可得到正方形的面积． 【详解】解：正方形A，B，C，D的面积分别为3，5，2，3， 正方形A，B，C，D的边长分别为， 由勾股定理得，正方形的边长为，正方形的边长为， 正方形的面积为8，正方形的面积为5，正方形的边长为， 正方形的面积为13， 故答案为：8，5，13． 6．如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为 ．    【答案】2025 【分析】本题主要考查了图形规律，勾股定理等知识．根据题意分别计算出第1次、第2次操作后所得图形中所有正方形的面积之和，找出规律，利用规律求解． 【详解】解：如图，    由勾股定理得， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 第1次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， 同理正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积之和等于1， 第2次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， …… 以此类推，重复上述操作n次形成的图形中所有正方形的面积之和为， 重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为2025． 故答案为：2025． 覆盖训练03:三角形的中位线 7．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离．可以在外选一点C连接，，并分别找出它们的中点D，E，连接．现测得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 由是的中点，是的中点可得是的中位线，由三角形的中位线定理可得，进而可得，由此即可求出的长． 【详解】解：是的中点，是的中点， 是的中位线， ， ， ， 故答案为：． 8．如图，，平分，过点作的延长线于点，点为的中点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质．如图，延长交于点G，根据角平分线和垂线证得，进而得到，，再利用中位线的性质得到，即可求得答案． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴，， ∴E是的中点， ∵F是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，点在边上，点在边上，且，点，分别是，的中点，连接，则线段的长为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的中位线以及全等三角形的判定和性质，利用中线+平行构造全等三角形转化线段和角是解题关键． 根据利用中线+平行构造，得，，由勾股定理求出，再利用是中位线三角形的中位线可得． 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， 又∵，，即是中位线， ∴， 故答案为：． 覆盖训练04:二次根式的非负性 10．已知，则 ． 【答案】22 【分析】本题考查二次根式有意义的应用，以及二次根式的性质应用，直接利用二次根式的性质将已知式子化简，再将原式变形求出答案． 【详解】解：∵一定有意义， ∴， ∴ ∴ 整理得：， ∴， 则． 故答案为：22． 11．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，正确求出、的值是解题的关键，根据二次根式有意义列出，求出的值，即可求出的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ， ， 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x，进而求出y，计算即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 覆盖训练05:二次根式有意义 13．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 14．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 15．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式的意义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 覆盖训练06:最简二次根式的合并 16．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 17．最简二次根式与最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 18．若最简二次根式与是同类二次根式，则 . 【答案】7 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 覆盖训练07:勾股定理解三角形 19．如图，在四边形中，，于点A，于点C，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质．延长交于点F，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得、，进一步计算即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： ． 20．在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，再代入代数式计算即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 21．如图，在中，是边上除点外的任意一点，则 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理；作，根据等腰三角形的性质得再根据勾股定理得，然后结合可得答案． 【详解】解：过点A作于点D，如图， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：36． 覆盖训练08:逆命题 22．已知命题：若，则．该命题的逆命题是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】先写出该命题的逆命题，分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，能否举出反例即可得出答案． 【详解】解：若，则．该命题的逆命题是若，则， ∵，s而， ∴该命题的逆命题是假命题； 故答案为：假命题 【点睛】主要考查命题的真假判断、写出逆命题及利用二次根式的性质化简，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 23．命题“若，则”的逆命题是 ． 【答案】若，则 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据互逆命题的定义，把原命题的题设和结论交换即可． 【详解】解：“若，则”的逆命题为“若，则”． 故答案为：若，则． 24．命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是： ． 【答案】矩形有三个角都是直角 【分析】本题考查求一个命题的逆命题，解题的关键是分清命题的题设与结论．交换原命题的题设与结论即可． 【详解】解：命题“有三个角是直角的四边形是矩形”的逆命题是“矩形有三个角都是直角”； 故答案为：矩形有三个角都是直角． 覆盖训练09:数轴上的无理数 25．如图，数轴上点、所表示的数分别是，过点作数轴，个单位长度，以为圆心，长为半径画弧交数轴上点的左侧一点，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意求出，即可得到答案． 【详解】解：数轴， 数轴上点、所表示的数分别是， ， ， ， ， 点表示的数是， 故答案为： ． 26．小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段，为3个单位长度，以原点为圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得，再结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可得：， ∴， 在中，， 故该点在数轴上对应的实数是， 故答案为：． 27．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、勾股定理，由勾股定理可得三角板直角边的边长为，再结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，三角板直角边的边长为， 故结合图形可得数轴上点A所表示的数为， 故答案为：． 覆盖训练10:平行四边形的性质 28．已知中，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 29．在平行四边形中，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，由四边形为平行四边形得，，根据平行线的性质可得，再由即可求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 30．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，点A到的距离为4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，利用三角形全等，把阴影面积转化为的面积计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 覆盖训练11:(特殊)平行四边形的性质 31．如图，矩形的两条对角线相交于点O，若，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．利用直角三角形30度角的性质，可得． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：4． 32．已知菱形，点分别为边的中点，若四边形的面积为，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，连接交于，根据三角形中位线定理得，，，，进而可得四边形是矩形，得到，进而根据菱形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴菱形的面积． 故答案为：． 33．在一个正方形的内部按照如图所示的方式放置两个大小不同的小正方形，其中较小正方形的面积为8，重叠部分的面积为3． （1）较小正方形的边长为 ． （2）设两处空白部分的面积分别为，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题主要考查了正方形和长方形．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，求一个数的算术平方根，是解题的关键． （1）根据较小正方形的面积为8，根据正方形面积公式直接开方求出边长； （2）先根据两个空白部分的对称性得出它们面积相等，进而推出重叠部分是正方形，求出其边长。再通过空白部分面积和较小正方形边长求出空白长方形的宽和长，从而得到较大正方形边长和面积，最后用大正方形面积减去重叠部分面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）∵较小的正方形面积为8， ∴较小正方形的边长为， 故答案为：； （2）①∵观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等， ∴； ②由①得，重叠部分也为正方形， ∵重叠部分的面积为3， ∴重叠部分的边长为， ∴一个空白长方形的宽为：， ∵两处空白部分的面积为：， ∴一个空白长方形面积为： ， ∴一个空白长方形的长为：， ∴较大正方形边长为：， ∴大正方形面积， ∴阴影部分的面积为 故答案为：；9． 覆盖训练12:勾股定理的实际应用 34．如图，在做小球摆动实验时，嘉嘉发现当小球（看作一个点）静止时，位于点D处，当小球摆动到点B时，小球与静止位置时的高度差，与静止位置时的水平距离，则摆线的长度是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．设摆线的长度是，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】设摆线的长度是，则， 在中，， ， 解得：， 即摆线的长度是， 故答案为：10． 35．明朝数学家程大位曾作词《西江月·秋千索长》，该诗词翻译后的示意图中，表示秋千的绳索，，，则该秋千的索长 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理解即可． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴ ， 解得， 故答案为：． 36．如图，一架长的梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面，请你计算一下，此时梯子底端应再远离墙 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设梯子底端应再远离墙，根据勾股定理列方程得，解方程即可． 【详解】解：设梯子底端应再远离墙， 根据题意列方程得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 梯子底端应再远离墙， 故答案为：． 覆盖训练13:二次根式的最值 37．若二次根式是正整数，则整数m的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质化简， 根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：是正整数， 是一个完全平方数， 当时， 此时，是一个完全平方数， 故答案为：7． 38．二次根式是一个整数，那么正整数的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次根式的性质化简，即可得答案． 【详解】解：，且是一个整数 正整数的最小值3 故答案为：3． 39．已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3. 故答案为：3． 覆盖训练14:运用乘法公式求代数式的值 40．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算，分母有理化，完全平方公式，进行解答，即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 41．已知，求的值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算是解答的关键．先由已知条件判定出a、b的符号，再根据二次根式的性质化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，且， ∴ ， 故答案为：． 42．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的化简求值，根据已知易得：，，然后利用异分母分式加减法法则进行计算，再把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 覆盖训练15:阴影部分面积 43．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 44．如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 覆盖训练16:矩形折叠问题 45．如图所示，将矩形纸片沿折叠，得到，与交于点，若，则 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了矩形折叠问题、平行线的性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再根据平行线的性质、直角三角形的性质可得，，然后根据折叠的性质可得，最后根据角的和差即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， 故答案为：． 46．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． 设，则，用勾股定理解求出；同理，设，则，用勾股定理解求出；作于点H，构造矩形，最后用勾股定理解可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠知，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 同理，设，则， 由折叠知， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 如图，作于点H， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 故答案为：． 覆盖训练17:中点四边形的规律 47．如图，在菱形中，边长为10，．顺次连结菱形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；顺次连结四边形各边中点，可得四边形；按此规律继续下去…．则四边形的周长是 ；四边形的周长是 【答案】 20 【分析】先证明四边形是菱形，求出， ，，求出周长，同理可得四边形、、……为菱形，且对应的边长：，，…… ，进而求出四边形的周长即可． 【详解】解：连接，，，，如图所示： ∵菱形中，边长为10， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顺次连结菱形各边中点，得到四边形， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵顺次连结四边形各边中点，可得四边形， ∴，，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∴是等边三角形，四边形是菱形， ∴的周长为； 同理可得：四边形、、……为菱形， 且对应的边长：， ， …… ∴四边形为菱形，边长为， ∴四边形的周长为： ． 故答案为：20；． 【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，根据题意发现中点四边形性质，分别求出菱形矩形边长并发现规律进行推理是解题关键． 48．如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目． 【详解】已知第一个矩形的面积是1， 第二个矩形的面积为 第三个矩形的面积是 则第n个矩形的面积是 故答案为：． 覆盖训练18:秦九韶——海伦公式 49．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 50．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么三角形的面积为S，；如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式，可以将的三条边长代入公式中，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， 三边长为：，，，不妨令，，， ∴，，， ∴， 故答案为：． 覆盖训练19:(特殊)平行四边形动点求t 51．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间 秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 52．如图，正方形的边长为，点在的延长线上，且，动点从点开始，以的速度沿折线做匀速运动，同时动点从点出发，以相同的速度，沿做匀速运动．设点运动的时间为秒，四边形的面积为，若四边形的形状是平行四边形时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、动点问题的求解等知识与方法，结合所给的条件，观察图形可知，当点在上运动，同时点在上运动，四边形是平行四边形，由，且，得，则，于是得到问题的答案．正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，当，且时，四边形是平行四边形， ，，且点、点的速度都是， 当点在上运动，同时点在上运动，四边形是平行四边形， ，且， ， 解得， 的取值范围是， 故答案为：． 覆盖训练20:整数部分与小数部分 53．已知m是的小数部分，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先估算得到，则，即，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式，去绝对值得原式，然后把m和的值代入计算即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：是的小数部分， ， 原式， ， ，即， 原式 ． 故答案为：． 54．用表示不超过x的最大整数．例如：，，把作为x的小数部分．已知，m的小数部分是a，的小数部分是b，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，新定义，掌握分母有理化以及理解负数的小数部分是解题的关键．利用分母有理化化简m，的值，求出a，b的值，代入代数式求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 覆盖训练21:直角三角形动点求t 55．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为，动点P从点B出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为t秒，当为直角三角形时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，过点作，利用勾股定理先求出，再分当时，当时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：过点作， 点到的距离为， ， ， 根据勾股定理，得， 当时，如图所示： 此时点与点重合，则 根据题意，得， 解得； 当时，如图所示： ，，，， ， 根据勾股定理，得，， ， 解得； 综上所述，当为直角三角形时，t的值为或， 故答案为：或． 56．如图，已知长方形中，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．若为直角三角形，t的值是 ． 【答案】或 【分析】先根据勾股定理计算，再分、两种情况，根据勾股定理计算．本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么． 【详解】解： ，，四边形是长方形 ∴ ∵， ， 在中，； 当时，， 则（秒， 当时，，即， 解得，， 当或时，为直角三角形． 故答案为：或 覆盖训练22:蚂蚁爬行最短问题 57．如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 58．如图，有一长方体容器（无盖），，，，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点的最短爬行路程是 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理的应用，画出展开图找到最短路径是解题的关键．分两种情况画出展开图，根据勾股定理求出的长度，即可求解． 【详解】解：在长方体容器，，，， ∴， 当从正面和右侧面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． 当从下面和后面爬行时，从点A爬到点的最短爬行距离为的长度，如图， 在中 ． ∵， ∴从点A爬到点的最短爬行路程是10． 故答案为：10． 覆盖训练23:最值问题 59．如图，在中，，，点E为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，设交于点，则即为的最小值，由轴对称的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，在中，根据勾股定理可得，即，进而可得，，，由平行四边形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，，设交于点， 则即为的最小值， 由轴对称的性质可得： ，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称——最短路线问题，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握轴对称——最短路线问题是解题的关键． 60．如图，在中，，，点O为的中点，D、E是边上的两个动点（点D在点E的左侧），且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质，在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，则四边形是平行四边形，得到，由对称可得，可以得到，当、、三点共线时，最小，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在右边取点，使，，连接，作点关于的对称点，连接，，    ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称可得， ∴， ∴当、、三点共线时，最小， 过作于，于，则，    ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对称可得，， ∴四边形和都是矩形， ∴，，，， ∴ ∴， ∴最小值， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$