精品解析：北京市中关村中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

中关村中学高一年级三月数学阶段检测 2025.03 一、选择题（本部分共10道小题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．） 1 已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得：，，故，故选B. 2. 如图，平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量运算得. 【详解】由图知， 故选：B. 3. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用终边相同的角的集合，即可求出结果. 【详解】因为，所以与角终边相同的角是， 故选：D. 4. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. 考点：本小题主要考查函数零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 5. 设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的概念，向量共线的性质，可得答案. 【详解】对于A，向量与满足且，若向量与反向，则，故A不符合题意； 对于B，由，则，故B不符合题意； 对于C，由，则向量与同向，所以，故C符合题意； 对于D，向量与满足，若向量与反向，则，故D不符合题意. 故选：C. 6. 已知平面上不共线的四点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算，结合共线向量的意义求得答案. 【详解】由，得，即， 所以. 故选：B 7. 设，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 ,即 又 即 故选：B. 8. 如图所示，已知在矩形中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算化简，即可得解. 【详解】， 因此，. 故选：C. 9. 已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式的解集是；④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可判断①；利用不等式的基本性质可判断②；利用指数函数的单调性解原不等式，可判断③；利用函数的对称性的定义可判断④. 【详解】对于①，因为内层函数在上为减函数，且， 外层函数在上为减函数，故在定义域上单调递增，①对； 对于②，因为，则，可得， 所以，函数无最大值，也无最小值，②错； 对于③，由可得，可得，解得， 故不等式的解集是，③错； 对于④，函数的定义域为，， 所以，的图象关于点对称，④对. 故选：C. 10. 已知函数，其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知f(x)在[0,+∞)上单调递增,值域为[m,+∞)， ∵对于任意x1∈R且x1≠0,均存在唯一实数x2,使得f(x2)=f(x1)， ∴f(x)在(−∞,0)上是减函数,值域为(m,+∞)， ∴a<0，b=m. ∵|f(x)|=f(m)有4个不相等的实数根， ∴0<f(m)<−m，又m<−1， ∴0<am+b<−m,即0<(a+1)m<−m， ∴−2<a<−1. 本题选择D选项. 点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 与向量方向相同的单位向量___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用单位向量的定义，结合向量坐标运算求解. 【详解】与向量方向相同的单位向量. 故答案为： 12. 半径为2，圆心角为2弧度的扇形的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件求得弧长，利用扇形面积计算公式计算即可. 【详解】设弧长为l，半径为r，圆心角为，由题意知， 则扇形面积， 故答案为：4. 13. 函数的定义域为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式，即可解得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，解得且， 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 14. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题设条件知A，P，B三点共线，且有或，设出点P的坐标，分两类利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标即可 【详解】设，则由，得或. 若，则. 所以解得故. 若，同理可解得故 综上，点的坐标为或. 故答案为或. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件，解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，属于中档题. 15. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数 （1）若，则函数是“_______阶准偶函数”； （2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为的根的问题； （2）根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案. 【详解】①当时，函数，的取值为，的取值为，即，根据题意得,解得或， 则集合中恰有个元素， 故是“阶准偶函数” ②根据题意，函数是“阶准偶函数”， 则集合中恰有个元素， 当时,是“阶准偶函数”，不合题意； 当时，函数的图像如图①所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为，的可能取值为， 由题意知， 所以解得或 要使得集合中恰有个元素，则需要满足， 即 当时，函数的图像如图②所示， 根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为， 由题意知， 当，解得不符合题意 当，解得或， 要使得集合中恰有个元素，则需要满足. 综上，若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是. 故答案为：2；范围是. 【点睛】解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，求出方程的解，通过分类讨论根据方程的解的个数确定的取值范围. 16. 定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是___________个． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义进行判断，可作出函数图象，数形结合可判断②；利用“追逐函数”的定义可判断①③④. 【详解】在上的值域为. 若对任意，存在，使得成立， 则与在上的值域相同， 又在上单调递增，则， 则对任意，有. 对于① ：在上单调递增且值域， 且恒成立. 即在上恒成立，符合题意； 对于②，当时，，即函数在上的值域为， 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，的增长速度显然快于函数的增长速度， 则对任意的，，符合题意； 对于③，函数在上递增，且值域为， 且，不符合题意； 对于④，对于函数，该函数在上为增函数， 且当时，，则，不符合题意. 所以，①②是“追逐函数”. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4道小题，共46分） 17. 已知 （1）当k为何值时，与共线？ （2）若，且A，B，C三点共线，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由向量共线的坐标运算列出方程，即可得到结果. （2）根据题意，由三点共线可得与共线，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 因为 所以，， 因为与共线， 所以，解得. 【小问2详解】 因为 所以， ， 因为A，B，C三点共线， 所以与共线，即，解得. 18. 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可； （2）先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数，由古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为： 【小问2详解】 由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件. 乙生产线的样品中优等品有件. 则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为； 从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为. 从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种， 其中符合条件的情况有共8种. 故所求概率. 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 20. 若函数满足：对任意正数都有，则称函数为“函 数”． （1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数、，都有，是否对任意都有，若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）是“函数”，不是“函数”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可； （2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可； （3）由题意令，得到，进而得到和即可得证. 【小问1详解】 对于任意，，， 所以，即成立， 所以是“函数”； 对于，取，则，， 而，所以不是“函数”. 【小问2详解】 由函数是“函数”， 得对于任意的，有恒成立， 即恒成立，则恒成立， 又，故，因此，则，即， 所以实数a的取值范围为 【小问3详解】 由函数为“函数”，知对于任意正数，有，且， 令，得，即， 则对于自然数k与正数s，都有， 对任意，，又， 因此， 同理， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中关村中学高一年级三月数学阶段检测 2025.03 一、选择题（本部分共10道小题，每题3分，共30分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项．） 1. 已知集合，，则 A B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，（ ） A. B. C. D. 3. 与角终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 A. B. C. D. 5. 设与都是非零向量．下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. 且 B. C. D. 6. 已知平面上不共线的四点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 设，，则 A. B. C. D. 8. 如图所示，已知在矩形中，，设，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，给出下列四个结论： ①在定义域上单调递增；②存在最大值；③不等式解集是；④的图象关于点对称． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ①③ C. ①④ D. ①③④ 10. 已知函数，其中，对于任意且，均存在唯一实数，使得，且，若有4个不相等的实数根，则的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 与向量方向相同的单位向量___________． 12. 半径为2，圆心角为2弧度扇形的面积为______． 13. 函数的定义域为___________． 14. 已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________. 15. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数 （1）若，则函数是“_______阶准偶函数”； （2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________． 16. 定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是___________个． 三、解答题（本大题共4道小题，共46分） 17. 已知 （1）当k为何值时，与共线？ （2）若，且A，B，C三点共线，求m值． 18. 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率． 19. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 20. 若函数满足：对任意正数都有，则称函数“函 数”． （1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数、，都有，是否对任意都有，若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $