精品解析：山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

八一路校区高二数学第一次月考测试 一、单选题 1. 若函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ） A 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 3. 拉格朗日中值定理是微分学中基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C D. 5. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 2026 7. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 定义在上函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 10. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 三、填空题 12. 函数在处有极值10，则实数_________． 13. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______． 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题 15. 4名男生和3名女生站成一排. （1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ （2）男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 17. 已知函数，其中. （1）若图象在处的切线经过点，求a的值； （2）讨论的单调性. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在x轴上方. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八一路校区高二数学第一次月考测试 一、单选题 1. 若函数在处可导，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的概念可解. 【详解】. 故选：C 2. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ） A. 36种 B. 72种 C. 144种 D. 288种 【答案】C 【解析】 【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果. 【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是， 共有3种不同方法； 第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法； 第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法； 由分步计数原理可知，共有种． 故选：C 3. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可． 【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”， 则有，即， 整理得，解得， 所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 故选：B. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项． 【详解】解：，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 5. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】记在上的零点为， 由在上的图象，知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为在唯一的零点是1，即， 所以当时，，当时，． 又为偶函数，所以当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：B． 6. 已知函数，则（ ） A. 2024 B. C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导得到的对称中心，然后利用对称性求函数值即可. 【详解】由，可得． 令，得， 又，所以图象的对称中心为， ，，， ． 故选：B. 7. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断. 【详解】令， 则， ，， 在上单调递增， ，即， . 故选：A. 8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题. 二、多选题 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论. 【详解】由函数的导函数的图象可知， 当时，，所以在上单调递增，故B错误； 当时，，所以在上单调递减，故A正确； 所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确. 故选：AD. 10. 设函数，则（ ） A. 函数有两个极值点 B. 函数有两个零点 C. 直线是曲线的切线 D. 点是曲线的对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D; 【详解】 令解得，令解得或， 所以在单调递增，单调递减，单调递增， 因为，极大值，且极小值， 所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确， 令即，，无解； 故C错误； ， 所以，即点是曲线的对称中心，正确； 故选：ABD 11 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 存在a，使得点为曲线的对称中心 D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断； 【详解】A选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，A选项错误； B选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确； C选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，C选项正确. D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误； 故选：BC 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心. 三、填空题 12. 函数在处有极值10，则实数_________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得. 【详解】由求导得，， 依题意，①，②， 联立① ，② ，解得：或. 当，时，， ，函数增函数，显然不符合题意，故舍去； 当，时，， ，当时，，此时为减函数， 当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意. 故答案为：. 13. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可. 【详解】函数，求导， 令，求导， 函数在上单调递增，当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增， 当时，，即， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，此时，即； 在上单调递增，此时，即， 由对任意的，存在唯一的使得， 得是的子集， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域. 四、解答题 15. 4名男生和3名女生站成一排. （1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？ （2）男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？ （3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？ 【答案】（1）2880 （2）960 （3）840 【解析】 【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可； （2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可； （3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可. 【小问1详解】 分两步，先排甲有种，其余有种， 所以根据分步乘法原理知共有种排法. 【小问2详解】 分三步： ① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）； ②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）； ③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种）， 所以根据分步乘法原理可知共有（种）. 【小问3详解】 7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法， 因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法， 故共有种排法 16. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求确定斜率，求确定切点坐标，利用点斜式即可求切线方程. （2）根据，确定函数，令，利用二次求导的方法确定的单调性，再根据，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即，由此结论得证. 【小问1详解】 当时，，则， 得，又，所以切点为，所以切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 令，所以， 令，所以， 因为，时，，所以， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以， 即. 17. 已知函数，其中. （1）若的图象在处的切线经过点，求a的值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案； （2）求导，分、、、讨论，可得答案. 【小问1详解】 ， 因为，， 所以的图象在处的切线方程为， 将代入得，解得； 【小问2详解】 ， 当时，，令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，，所以在上单调递增. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 当时，令，得或；令，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 18. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求证：函数的图象在x轴上方. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间； (2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可. 【小问1详解】 ， 令则. 当时，，∴函数在上单调递增； 当时，，∴函数上单调递减. 即单调递增区间是，单调递减区间是； 【小问2详解】 ， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可. 19. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在区间内有最小值，求的取值范围； （3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可； （2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围； （3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证. 【小问1详解】 的定义域为，， 当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，，随的变化情况如下表所示： 0 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值． 当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 证明：不妨设， 由题意得消去得， 设，代入上式得， ， 下证， 即证． 设，则， 令，则， 所以在区间内单调递增，即， 所以在区间内单调递增，即， 所以，所以， 因为，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$