精品解析：安徽省阜阳市两校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

高二下学期3月份数学月考试卷 满分150分，考试时间120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题） 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求． 1. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论. 【详解】圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 两圆的圆心距为，所以，所以两圆的位置关系为外切. 故选：C. 2. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦点在轴上的椭圆特征列出关于的不等式，求解可得答案. 【详解】，解得. 故选：A. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示及模长公式即可求解. 【详解】因为，，与垂直， 所以，解得， 所以，所以. 故选D. 4. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】可得，得到，进而求得直线的斜率，得到答案. 【详解】由函数，可得， 则，所以直线的斜率为. 故选：C． 5. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案. 【详解】∵数列满足，，∴， ∴，，，， ∴是周期为3的周期数列，而，故． 故选：A 6. 已知正项数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解. 【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此， 所以. 故选：B 7. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 590 B. 602 C. 630 D. 650 【答案】A 【解析】 【分析】根据作差得到，再计算出，即可得到，再利用并项求和法计算可得. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 8. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，设切点，写出切线方程，将点代入切线方程，得到，根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果. 【详解】由得， 设过点的直线与曲线切于点， 则切线斜率为， 所以切线方程为 因为切线过点， 所以，整理得， 因为过点的切线有两条， 所以方程有两不同实根， 因此，解得或， 即实数a的取值范围是. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为19 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据等差数列的基本性质，结合分析公差判断即可；对B，根据作差法结合A中结论分别判断的正负即可；对C，由判断即可；对D，根据可得，再分析时满足判断即可. 【详解】对A，则， 由等差数列性质可得，即. 因为，若公差，则，不满足，故，则. 则，故A正确； 对B，由A，，故. 则，则， 又，故，故B正确； 对C，由可得，故当时，取最大值，故C错误； 对D，由，，可得. 故当时，需要满足，故的最小值为19，故D正确. 故选：ABD 10. 已知直线与圆交于点，点中点为，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点，使得为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线过定点进行逐项分析，对于A，根据和直线垂直时，取最小值求解即可；对于B，验证直线能否过圆心即可； 对于C，联立直线和圆的方程，将表示出来求解即可；对于D，利用，结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可. 【详解】直线，即， 故直线过定点,且圆的圆心为，半径为2, ，故在圆内， 对于A，当和直线垂直时，圆心到直线的距离最大，距离， 此时最小，，故A正确； 对于B，当时，为圆的直径，此时直线过圆心， 方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误； 对于C，设，则， 当直线斜率不存在时，，联立圆得，， 此时 当直线斜率存在时，设直线，联立圆， 得，即， ， ，, , 带入得：， 故为定值，故C正确； 对于D，中点为，故,且在上， 所以,故是直角三角形， 当为中点时，为定值，故D正确. 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD. 【详解】对于AB，设点，则，， 则，而， 所以，故A错误； 又，则，故B正确； 对于C，如下图所示，过点作轴的平行线，与抛物线的准线交于点， 又题意所给抛物线的光学性质可得， 又，所以，从而，故C正确； 对于D，因为，所以，即为的角平分线， 又由抛物线定义知，结合，可得四边形为菱形， 而轴经过线段中点，从而与轴的交点即为点，所以，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答． 【详解】等比数列中，，由， 得，由，得， 所以． 故答案为：3． 13. 已知曲线与直线相切，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由的导数出发，设出切点坐标，利用导数方程，由此求得的值. 【详解】由，得， 设切点为， 则，， 消去得， 函数在区间上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由关系求解数列通项公式，代入式子整理得，对整数奇偶性分类讨论进行数列求和，得数列的最大值，进而得到范围. 【详解】当时，， 又，解得， 由①， 则当时，②， 两式①②相减得，， 即，又，则， 所以数列是以为首项，的公差的等差数列， 故， 则 令， 又 则数列是递增数列，且； 数列是递减数列，， 若恒成立， 且恒成立， 所以，且，解得， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）设，求曲线的斜率为的切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先对给定函数求导，然后将代入导函数求出的值，进而得到函数的解析式. （2）先求出的表达式，再对求导，根据切线斜率求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程. 【小问1详解】 对求导，可得 把代入，得到. 解得. 把代入，得到. 【小问2详解】 已知，把代入可得. 对求导，可得. 因为曲线切线斜率为，所以令，即. 解得或. 当时，. 当时，. 当切点为，切线方程为，整理得. 当切点为，切线方程为，整理得. 综上所得，的斜率为的切线方程为或. 16. 如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且． （1）若，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量去证明平面； （2）利用空间向量先求得二面角的余弦值，进而求得其正弦值. 【小问1详解】 ∵在四棱锥中，平面， ∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ∵点M是棱上一点，，，． ∴， ， 设平面的法向量， 则，取，得， ∵平面，∴平面． 【小问2详解】 ， 设平面的法向量， 则，取，得， 又为平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则 则，则 ∴二面角的正弦值为． 17. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用（）化简题中条件，可得列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，再根据（），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 当时，， 即，解得． 因为（）， 所以（）， 又（，），， 所以（）， 又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以， 所以， 所以． 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2），为定值． 【解析】 【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案； （2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为， 由题意得，， 解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 由题意得，， 当直线的斜率为零时，则． 当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点， 联立，整理得， 则，解得且， 所以， 所以 ． 综上，，为定值． 19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. （1）若，求的前项和； （2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； （3）求最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 【答案】（1） （2）是的充要条件. （3）的最大值为， 【解析】 【分析】（1）根据所给新定义，分n为奇偶讨论，分别求出前n项和； （2）分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证； （3）分析的取值，可得的关系，得出，据此可求出的最大值. 【小问1详解】 依题意 故 因，所以， 当为奇数时，， 当为偶数时，，即的奇数项，偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时， . 当为奇数时，. 综上所述， 【小问2详解】 充分性：因为，所以， 所以， 又因为，所以是以1为首项，1为公比的等比数列， 故是的充分条件. 必要性：假设为等比数列，而不为常数列， 则中存在等于0的项，设项数最小的等于0的项为，其中， 所以， 则等比数列的公比为. 又，得等比数列的公比为，与式矛盾， 所以假设不成立，所以当为等比数列时，为常数列， 故是的必要条件. 综上，可知是的充要条件. 【小问3详解】 当时，，当时，， 当时，，当时，. 综上所述，或或（上述四种情形每种中或1）. 又由题意可知，所以， 所以，故的最大值为， 此时的通项公式可以是 【点睛】关键点点睛：本题的关键一方面在于对新定义的理解，运用，另一方面是能够对分类讨论，证明数列为等比数列，再由等比数列的通项公式，求和公式得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期3月份数学月考试卷 满分150分，考试时间120分钟 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题） 第I卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求． 1. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 2. 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ） A. B. C. 3 D. 4. 已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 2 5. 若数列满足，，则（ ） A B. 2 C. 3 D. 6. 已知正项数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 记数列的前项和为，若，则（ ） A. 590 B. 602 C. 630 D. 650 8. 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 当时，的最小值为19 10. 已知直线与圆交于点，点中点，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为4 C. 为定值 D. 存在定点，使得为定值 11. 已知抛物线的焦点为，从点发出的光线经过抛物线上的点（原点除外）反射，则反射光线平行于轴.经过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，经过点且垂直于轴的直线交轴于点；抛物线在点处的切线与轴分别交于点，则（ ） A B. C. D. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在各项均为正数的等比数列中，，，则________． 13. 已知曲线与直线相切，则______. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，数列满足，若对任意恒成立，则的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）设，求曲线斜率为的切线方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且． （1）若，求证：平面； （2）求二面角的正弦值； 17. 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为． （1）求双曲线的方程； （2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 定义1：若数列满足①，②，则称为“两点数列”；定义2：对于给定的数列，若数列满足①，②，则称为的“生成数列”.已知为“两点数列”，为的“生成数列”. （1）若，求的前项和； （2）设为常数列，为等比数列，从充分性和必要性上判断是的什么条件； （3）求的最大值，并写出使得取到最大值的的一个通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $