精品解析：北京市八一学校2025届高三下学期3月零模数学试题

2025北京八一学校高三零模 数 学 2025. 03 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合选项，逐一验证选项即可得出结果. 【详解】已知，， 对于A选项，，则，符合题意； 对于B选项，，则，不合题意； 对于C选项，，则，不合题意； 对于D选项，，则，不合题意. 故选：A 2. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】设点，因为，所以. 故选：C. 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法和复数相等可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】，所以，，解得. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得结论. 【详解】因为函数在上为减函数，所以，即； 又函数在上为增函数，所以； 函数在上为增函数，所以， 综上可得：. 故选：B. 5. 设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由方程为的渐近线为，且渐近线方程为的双曲线方程为，即可得结果. 详解：若的方程为， 则，渐近线方程为， 即为，充分性成立， 若渐近线方程为，则双曲线方程为， “的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件，故选A. 点睛：本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义及已知条件知为等边三角形，进而可求. 【详解】由抛物线的定义知：又， ∴为等边三角形，，故, 故 故选：C. 7. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解. 【详解】因为函数，由，所以， 令，即，可得， 即，当时，，所以， 因为函数关于A对称，所以关于A的对称点为，即的中点为A， 所以， 又由为轴正方向的单位向量，所以， 所以. 故选：D. 8. 已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由点在直线上，连接，当时，最大，再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】由题意知，点在直线上， 连接，当时，最大，此时， 所以，故， 又圆心到直线的距离，所以. 故选：D 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题. 9. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱台的体积公式即可求. 【详解】取、的中点、，连接、、， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得，， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：A. 10. 集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（ ） A. 10 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】由题列举出所有的集合A的三元素子集，求出最大值，求和即可. 【详解】由题知： ，， ，， ，，， 则 故选：C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数是___________. 【答案】15 【解析】 【分析】求出展开式的通项，然后可得答案. 【详解】展开式的通项为， 令可得， 所以的展开式中的系数是， 故答案为：15 12. 若数列的前n项和，，2，3，…，则满足的n的最大值为___________. 【答案】4 【解析】 【分析】由求出，然后由解不等式可得． 【详解】由已知， 时，，适合此式， 所以，由得，即共4项． 最大值为4． 故答案为：4． 13. 在中，，则的面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】运用余弦定理求出，最后根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知： 或（舍去）， 所以的面积为：, 故答案为： 14. 已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 ①. (1,4) ②. 【解析】 【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围. 详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是 当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为. 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 15. 对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则给出下列四个结论： ①等差数列是“线性数列”； ②等比数列是“线性数列”； ③若是等差数列，则是“线性数列”； ④若是等比数列，则是“线性数列”. 其中正确的结论是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①②根据“线性数列”的定义进行判断；对于③：找特例，代入即可判断；对于④：结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可. 【详解】对于①，数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，①正确； 对于②，数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，②正确； 对于③，是等差数列，设， 则，若是“线性数列”， 则， 则应有， 故不是“线性数列”，③错误； 对于④，是等比数列，设首项为，公比为， 若时，，则，满足“线性数列”的定义； 若时，由，得， ， 累加的， 则， 经验证当时，满足，则， 若是“线性数列”，则存在实数，使得成立， 则， ， ， 则，则， 则是“线性数列”，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期；②的图像可以由的图像平移得到；③函数的最大值为2；④. （1）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数的解析式； （2）若曲线的图像只有一个对称中心落在区间内，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）分析四个条件可知只能同时满足①③④，进一步计算可得解析式； （2）求得函数的对称中心，然后可得答案. 【小问1详解】 由题意知条件②：，最大值为，与③矛盾，故②③不能同时成立，则①④必满足，所以， 所以，故排除②， 所以同时满足①③④． 所以，， 此时， 因为， 所以， 即， 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 令，， 解得，所以的对称中心是， 因为曲线只有一个对称中心落在区间，内， 所以， 所以的取值范围是． 17. 已知平行四边形，，，点是 的中点.沿把进行翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）点是的中点，棱上一点使得，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：在中，，，， 由余弦定理知，，∴， 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理，可得，再根据勾股定理可证，再根据线面面垂直的性质定理，即可证明结果； （2）设是的中点，在正三角形中，易证，，根据面面垂直的性质定理可证平面，即证.易证为正三角形，可得，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，根据，求出坐标，再分别求出平面和平面的一个法向量，根据空间向量夹角公式，即可求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设是的中点，因为，，则为正三角形， 则，，且， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，∴. 由题可知，，∴为正三角形，∴. 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 设，则， ，， ∵，∴，即，解得. ∴当点为棱的中点时满足题意，即， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，得， 又平面的一个法向量为， ∴， 由图可知，二面角为锐角， ∴二面角的余弦值是. 18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； （2）现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 【答案】（1），； （2）的分布列为： 0 1 2 期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有频率和为1求得，在频率分布直方图中求出频率为0.5对应的年龄即为中位数； （2）由频率分布直方图知抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，的可能值是，分别求出概率的分布列，由期望公式计算期望； （3）用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为， 则，由可求得值． 【小问1详解】 由题意，， 年龄在间的频率为，而间的频率为， 设中位为，则，． 所以年龄中位数为， 【小问2详解】 由频率分布直方图知，年龄在，的人员比为，因此抽取的8人中，年龄在的有6人，在的有2人，从这8人中抽取3人，X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，则的可能值是， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 ； 【小问3详解】 用样本的频率代替概率，从中任取1名人员，年龄在的概率为， 则， 由，解得，，所以， 所以时，最大． 19. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. 【小问2详解】 由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 20. 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）短轴长为2得，由椭圆定义可得，，由即可求得，进而写出椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程利用韦达定理得到，，从而得到，，求出的中点坐标代入直线方程可得答案. 【小问1详解】 因为短轴长为2，所以， 因为， 所以，， 又因为轴，所以， 则，且，解得， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，则，， 联立，整理得， 则，，则， 直线：， 令，得， 故，，， 则的中点坐标为， 由于与的面积相等，故到直线的距离相等， 因此的中点在上， 可得，， 则，解得，又，所以. 21. 若实数数列满足，则称数列为“数列”． （1）若数列是数列，且，求，的值； （2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； （3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值． 【答案】（1），； （2）假设数列的项都是正数，即， 所以，，与假设矛盾． 故数列的项不可能全是正数, 假设数列的项都是负数， 则而,与假设矛盾, 故数列的项不可能全是负数． （3）的取值集合为． 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，，，再由可得，，； （2）此命题是否定性命题，可用反证法证明，即假设数列中各项全是正数（或全是负数），由递推公式推出矛盾即可； （3）这类问题的数列应该是有一定的规律，最简单的就是周期数列，首先由（2）可知数列中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．因此存在最小的正整数满足（）．设，则由递推公式计算，最后可知数列是周期为9的周期数列，由刚才的计算可知在这9个数中有6个正数，3个负数，接着只要对分别讨论（关键是中有几个负数）． 【详解】（1）因为是数列，且， 所以， 所以, 所以，解得, 所以． （2）略 （3）由（2）可知数列中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数． 因此存在最小的正整数满足（）． 设，则 ． , 故有, 即数列是周期为9的数列 由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数． 因为, 所以当时，； 当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是, 记这项中负数项的个数为， 当时，若则，故为负数， 此时，； 若则，故为负数． 此时，， 当时，必须为负数，，, 综上可知的取值集合为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京八一学校高三零模 数 学 2025. 03 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则集合可以是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox为始边，终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为若，则（ ） A. B. C. 4 D. 7. 如图是函数在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（ ） A. 10 B. 40 C. 45 D. 50 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数是___________. 12. 若数列的前n项和，，2，3，…，则满足的n的最大值为___________. 13. 在中，，则的面积为___________. 14. 已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 15. 对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则给出下列四个结论： ①等差数列是“线性数列”； ②等比数列是“线性数列”； ③若是等差数列，则是“线性数列”； ④若是等比数列，则是“线性数列”. 其中正确的结论是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期；②的图像可以由的图像平移得到；③函数的最大值为2；④. （1）请选出这三个条件并说明理由，再求出函数的解析式； （2）若曲线的图像只有一个对称中心落在区间内，求a的取值范围. 17. 已知平行四边形，，，点是 的中点.沿把进行翻折，使得平面平面. （1）求证：平面； （2）点是的中点，棱上一点使得，求二面角的余弦值. 18. 某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按，，，，分组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）求a的值，并估计该社区参加2019年国庆活动的居民的年龄中位数； （2）现从年龄在，的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在的人数，求X的分布列和数学期望； （3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k名市民的年龄在的概率为（，1，2，…，20），当最大时，写出k的值.（不用说明理由） 19. 已知函数. （1）若函数的极值点在内，求m的取值范围； （2）若有两个零点，求m取值的范围. 20. 已知椭圆的短轴长为2，左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，且轴， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线且与椭圆C交于A，B两点，点A关于原点的对称点为、关于x轴的对称点为，直线与x轴交于点D，若与的面积相等，求m的值. 21. 若实数数列满足，则称数列为“数列”． （1）若数列是数列，且，求，的值； （2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数； （3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $