精品解析：福建省莆田市莆田第二十五中学2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

莆田第二十五中学2024—2025下学期高二 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知三角形的三个顶点，则△ABC的中线AD的长为（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 3. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 4. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 6. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（ ） A. ﹣e2 B. C. D. ﹣e 二、多选题（本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．） 9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 10. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 13. 如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为_____． 14. 已知函数，.若存在，使得成立，则的最小值为______. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）； （2）当时，证明：． 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 18. 如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． （1）若为的中点，用向量法证明：； （2）若，问是否存在点使得，并说明理由． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第二十五中学2024—2025下学期高二 第一次月考数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本题共有8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知三角形的三个顶点，则△ABC的中线AD的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求点D的坐标，再利用空间中两点间距离公式分析运算. 【详解】由中点坐标公式得， 所以. 故选：B. 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线的斜率为1. 故选：B 3. 丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出． 【详解】对A，，当时，，所以A错误； 对B，，在上恒成立，所以B正确； 对C，，，所以C错误； 对D，，，因为，所以D错误． 故选：B． 4. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案. 【详解】的定义域是， ，在区间上单调递增， ，所以存在， 使得，且在区间上在单调递减， 在区间上在单调递增，所以是的极小值点， 所以. 故选：B 5. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1千克莲藕，成本增加1元．种植万千克莲藕的销售额（单位：万元）是，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 8万千克 B. 6万千克 C. 3万千克 D. 5万千克 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，列出利润关于的函数，再利用导数求得函数取得最大值时对应的即可. 【详解】种植万千克莲藕的销售额是，成本为：， 则利润，， 求导得，当时，；当，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，也即当利润最大时，每年需种植莲藕万千克. 故选：D 6. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以， 解得， 故在基底下的坐标为. 故选：B. 7. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围. 【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立， 设，， 函数在区间上单调递减，函数的值域是， 所以或. 故选：C 8. 设k，b∈R，若关于x的不等式kx+b+1≥lnx在（0，+∞）上恒成立，则的最小值是（ ） A. ﹣e2 B. C. D. ﹣e 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，原不等式恒成立可转化为恒成立，利用导数求出函数最大值可得，可得，构造函数，求最小值即可. 【详解】令 ， 则， ⑴当时，， 所以函数在上为增函数， 当时，，此时在上不恒成立， （2）当时，由可得， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 故当时，， 因为在上恒成立， 所以， 即 所以， 令， 则， 当，，时，， 所以函数在上递减，在上递增， 故当时，， 故的最小值是， 故选：D 【点睛】本题主要考查了利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，考查了分类讨论思想，属于难题. 二、多选题（本题共有3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．） 9. 如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断正确的是（ ） A. 在区间内单调递减 B. 在区间内单调递增 C. 是极小值点 D. 是极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可． 【详解】解：．函数在区间内，则函数单调递增；故不正确， ．函数在区间的导数为， 在区间上单调递增，正确； ．由图象知当时，函数取得极小值，但是函数没有取得极小值，故错误， ．时，， 当时，，为增函数，， 此时此时函数为减函数， 则函数内有极大值，是极大值点；故正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识图和用图的能力．属于中档题． 10. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】建立直角坐标系，先求出点的坐标，得出数量积以，再结合可得范围． 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则． 设，则， 所以． 设，连接，则， 因为为长方体的中心，所以． 因为，所以，所以． 故选：BC. 11. 已知函数在区间内有唯一零点，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意，可以将问题转化为方程在区间内有唯一实数根，构造函数，，利用导数得在区间内单调递增，可得，进而确定答案. 【详解】由题意有方程在区间内有唯一实数根， 即方程在区间内有唯一实数根，令， ，所以在区间内单调递增， 所以，所以， 因为，， 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 13. 如图，在的二面角中，且，垂足分别为，已知，则线段的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】通过向量的运算法则，将用已知向量、、表示出来，然后利用向量的模长公式及向量的数量积公式来计算. 【详解】因为，所以. 可得.  因为，，所以，，.  由于，则. 同理，.  已知二面角为，与的夹角等于二面角的补角，所以.   可得：. 可得.  故答案为：10. 14. 已知函数，.若存在，使得成立，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，根据指数函数的函数值、对数函数的定义域，得到，， 利用，结合函数的单调性，可得，构造函数研究最值可得. 【详解】， ，则 ，上恒成立， 所以在单调递增，所以 则 设 ，则 令得 ；令得 在上单调递减，在上单调递增， ，的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值，确定两变量关系，构造函数是解题的关键，考查逻辑分析、数学计算能力，属于中档题. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求在点处的切线方程（其中为自然对数的底数）； （2）当时，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，利用求出切点坐标，代入点斜式方程可得答案； （2）利用导数判断出单调性可得答案． 【小问1详解】 ，切线的斜率为， 由得切点坐标为， 所以在点处的切线方程. 【小问2详解】 当时， 令，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，即. 16. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，， （1）用表示； （2）求对角线的长； （3）求 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合向量的运算法则，即可容易表示目标向量； （2）用基向量表示，再用数量积的运算法则求解即可； （3）根据（2）中所求，结合向量夹角余弦值的计算公式，代值即可. 【详解】（1）连接，如图： 因为，， 在，根据向量减法法则可得： 因为底面是平行四边形 故 因为 且 又为线段中点 在中 （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 故 由（1）可知 故平行四边形中 故： 故 （3）因为， 又 【点睛】本题考查用基向量表示空间向量，涉及空间向量数量积的运算、模长的求解以及夹角的求解，属综合基础题. 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可. 方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证. 【小问1详解】 因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 18. 如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． （1）若为的中点，用向量法证明：； （2）若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【小问1详解】 当为的中点时， ， ， 所以． 【小问2详解】 设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设是函数的两个极值点，若，求的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先对函数进行求导，通过讨论的范围，判断函数的单调性即可. （2）求出函数及其导数，由结合韦达定理计算，令，构造函数求出最小值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或，由，得， 函数在、上单调递增，在上单调递减； 当时，则，函数在上单调递增； 当时，由，得或，由，得， 函数在、上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在、单调递增上，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 函数，定义域为， 求导得，由是函数的两个极值点， 得是方程在上的两个不等实根，则， ，由， 令，则，于是， 则， 因此 ， 令，求导得， 函数在单调递减，， 依题意，，解得， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $