精品解析：江西省新余市2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024－2025学年下学期初三年级第一次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合），连接．若，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为边AC上一点，连接BD，作AH⊥BD的延长线于点H，过点C作CE//AH与BD交于点E，连结AE并延长与BC交于点F．现有如下4个结论：①∠HAD=∠CBD；②△ADE∽△BFE；③CE·AH=HD·BE；④若D为AC中点，则，其中正确结论有( )个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分） 7. 在中，，，，则边长为________， 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程是________． 9. 若一元二次方程的两个根分别为m、n，则代数式的值为________． 10. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 11. 如图，在中，若，AD与BE交于F，则________. 12. 在正方形ABCD中，.点E是BC的中点，连接AE，点M是AE上一点，连接MD，MC，若是等腰三角形，则AM的长为________. 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共30 分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，则恰好选中乙同学的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中丙、丁两位同学的概率． 15. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使． 16. 如图，，分别是的直径和弦，半径于点D，过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 17. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若原方程两个实数根为、，且满足，求的值． 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共24 分） 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　 　． 19. 如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． （1）求塔的高度；（结果保留两位小数） （2）若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=BD=，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足为E，F，AC交BF，BE分别于点G，H． （1）求∠EBF度数； （2）求证：△ABG∽△CHB； （3）若CG=，求tan∠HGB的值． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共18 分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=(m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D的坐标； （3）当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围． 22. 探究数学问题，我们通常遵循从特殊到一般的原则，关注问题的本质，这是数学学习的一个重要方法． （1）探究：如图①，在正方形中，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且．则 ；（直接写出答案） （2）迁移：矩形中，，，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且，求的值，并写出解答过程； （3）应用：如图③，四边形中，，，，，点M，N分别在边，上，求的值，并写出解答过程． 六、解答题（本大题共 12 分） 23. 如图，已知顶点为D的抛物线与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于B点． (1)求该抛物线的解析式及点D坐标； (2)若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当AQ＋QB最小时，直接写出直线AQ的函数解析式； (3)若点P为抛物上一个动点，且点P在x轴上方，过P作PK垂直x轴于点K，是否存在点P使得A,K,P三点形成的三角形与△DBC相似?如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年下学期初三年级第一次段考 数学试卷 考试时间：120分钟 一、单选题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分） 1. 下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 如图，由五个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看可得一行正方形的个数为3，故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3. 如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合），连接．若，则的度数不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形的性质计算出，然后根据三角形外角性质对各选项进行判断． 【详解】解：四边形为的内接四边形， ， ， ， 即， 的度数不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形外角性质． 4. 二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向上，得，与轴交于正半轴，得，根据二次函数的对称轴可得，从而得到一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴， ，， 又观察二次函数的图象，二次函数的对称轴为， ， 一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，只有选项D图象符合， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象、反比例函数的图象，根据二次函数的图象得到，，，是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ， 相似比为，， ， ， ， 正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 解得：， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的基本性质． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为边AC上一点，连接BD，作AH⊥BD的延长线于点H，过点C作CE//AH与BD交于点E，连结AE并延长与BC交于点F．现有如下4个结论：①∠HAD=∠CBD；②△ADE∽△BFE；③CE·AH=HD·BE；④若D为AC中点，则，其中正确结论有( )个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】在与中，利用三角形的内角和定理判断①，由相似三角形逆推得到与已知条件互相矛盾的结论判断②，利用已知条件证明判断③，利用相似三角形与平行线分线段成比例判断④． 【详解】解：∠ACB=90°，AH⊥BD， 所以①正确． 在△ADE与△BFE中，若△ADE∽△BFE， 则 为的中垂线， 与相交， 所以②错误， 由 所以③正确， 显然：与不平行， 所以 错误，故④错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形相似的判定与性质，平行线分线段成比例，掌握以上知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共18 分） 7. 在中，，，，则边的长为________， 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用正弦函数值求线段长．根据三角函数正弦值列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ，即， 解得， 故答案为：12． 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得， 每轮传染中平均一个人传染了x个人， 经过一轮传染之后有x+1人感染流感，两轮感染之后的人数为64人，依此列出一元二次方程即可. 【详解】解： 设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题可得： 1+x+x（1+x）=64. 故答案为1+x+x（1+x）=64. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的． 9. 若一元二次方程的两个根分别为m、n，则代数式的值为________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，注意：一元二次方程两根之和为，两根之积为．根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为m，n ∴，，即， ∴． 故答案为：2025． 10. 如图，点A是反比例函数图象上的一点，垂直于x轴，垂足为B．的面积为8，若点也在此函数的图象上，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的几何意义．由的面积可得的值，再把代入解析式即可得到答案． 【详解】解：∵的面积为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点也在此函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在中，若，AD与BE交于F，则________. 【答案】 【解析】 【分析】过点D作交AC于点H，根据平行线分线段成比例进行计算即可得到答案. 【详解】过点D作交AC于点H，∴，∴，∵，∴，∴. 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例. 12. 在正方形ABCD中，.点E是BC的中点，连接AE，点M是AE上一点，连接MD，MC，若是等腰三角形，则AM的长为________. 【答案】或或 【解析】 【分析】根据是等腰三角形，分三种情况：（1）；（2）；（3）；如图（见解析），（1）根据正方形和等腰三角形的性质得出点M是AE的中点，再根据勾股定理求出AE的长，从而可知AM的长；（2）利用相似三角形的判定定理与性质得出，再在中，利用勾股定理可求出ME的长，从而可得AM的长；（3）先根据正方形和等腰三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定定理与性质可得，从而可得AH的长，由此可得AM的长. 【详解】（1）如图①，当时 过点M作于点N，则MN垂直平分CD 正方形ABCD中， 点M是AE的中点 ， ； （2）如图②，当时 过点M作于点G，则 设，则 在中， ，即 解得（舍去）， . ； （3）如图③，当时，则 过点D作于点H，则 ，即 综上，AM的长为或或 故答案为：或或. 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，依据题意，分三种情况讨论是解题关键. 三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 6 分，共30 分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程的解法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式利用零指数幂，特殊角的三角函数值，算术平方根定义计算即可求出值； （2）方程利用公式法求出解即可． 【详解】解：（1） （2）， ，，，， ∴， 解得，． 14. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛． （1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，则恰好选中乙同学的概率为________； （2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中丙、丁两位同学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率所求情况数与总情况数之比． （1）由题意可得共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，则可利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中丙、丁两位同学的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【小问1详解】 解：共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况， （恰好选中乙同学）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图． 共有12种等可能的情况，恰好选中丙、丁两位同学的情况有2种，所以恰好选中丙、丁两位同学的概率是． 15. 如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点，连结，使； （2）在图②中的边上确定一点，连结，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查格点无刻度直尺作图，主要考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质； （1）勾股定理逆定理，得到为直角三角形，过点作于点，即为所求； （2）取格点，连接，交于点，连接，即为所求； 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 由勾股定理可得：， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 又， ∴； 【小问2详解】 如图，即为所求； 由图可知：， ∴， ∴， ∴； 16. 如图，，分别是的直径和弦，半径于点D，过点作的切线与的延长线交于点，，的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线证明以及不规则图形面积的求解，涉及了垂径定理、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）连接，可得是线段的垂直平分线；根据、，即可求证； （2）根据阴影部分的面积，求出即可求解． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是切线； 【小问2详解】 解：∵， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 图中阴影部分的面积为：． 17. 已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若原方程的两个实数根为、，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于0，据此建立关于的不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：原方程的两个实数根为、， ，， ， ，， ，， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，绝对值的性质，在一元二次方程中，，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根；方程的两根为、，则，． 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 8 分，共24 分） 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出将线段AB沿着直线AC翻折后的对应线段AD； （2）在图中画出将线段AB绕点A逆时针旋转90°后的线段AE； （3）连接DE，则cos∠ADE＝　 　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在方格中找出点B关于点C对称点点D，连接AD即可； （2）利用旋转变换的性质作图即可； （3）过点A作AT⊥DE于T，求出AD、DT，则． 【小问1详解】 如图，线段AD即为所求． 【小问2详解】 如图，线段AE即为所求． 【小问3详解】 解：如图，过点A作AT⊥DE于T． ∵AE＝AD， ∴DT＝ET＝， ∵AD＝， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——翻折变换、旋转变换，勾股定理和解直角三角形等知识点，解题关键是利用数形结合思想构造含∠ADE的直角三角形． 19. 如图，某铁塔附近有一建筑物，建筑物高米，一旅游爱好者站在建筑物一楼地面墙角处测得塔顶仰角为在楼顶处测得塔顶的仰角为，点在同一平面内． （1）求塔的高度；（结果保留两位小数） （2）若一无人机速度为米/秒，此无人机从楼顶沿方向飞行到塔顶，再立即沿方向飞回处，此过程一共需要多少秒？（结果保留整数．参考数据 【答案】（1）塔的高度为米 （2）秒 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）过点作于点，则四边形是矩形，在，中，分别求得，进而根据，即可求解； （2）根据（1）的结论求得的长，进而根据路程除以速度等于时间，即可求解． 小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴ 解得： 答：塔的高度为米； 【小问2详解】 解：由（1）可得 ∴， ∴米 ∴秒 答：此过程一共需要秒 20. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=BD=，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足为E，F，AC交BF，BE分别于点G，H． （1）求∠EBF的度数； （2）求证：△ABG∽△CHB； （3）若CG=，求tan∠HGB的值． 【答案】（1）45°；（2）见解析；（3）2 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质，∠EBD=∠EBA =∠ABD，∠CBF=∠DBF=∠DBC，由∠ABC=90°，可求∠EBF=∠ABC=45°； （2）由等腰直角三角形可求∠BAC=∠BCA=45°，由∠HBG=∠BAG=45°，∠AGB=∠BGH，可证△ABG∽△BHG，由∠GBH=∠BCH=45°，∠BHC=∠GHB，可证△CHB∽△BHG，利用传递性△ABG∽△CHB； （3）作BK⊥AC于K．由AB=BC=，利用勾股定理可求AC=，由BK⊥AC，可得AK=CK=1，BK =1，以及KG= ，利用三角函数的定义tan∠HGB=． 【详解】解：（1）∵AB=BD，BE⊥AD， ∴∠EBD=∠EBA =∠ABD， ∵BD=BC， BF⊥CD， ∴∠CBF=∠DBF=∠DBC， ∵∠ABC=90°， ∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=（∠ABD+∠DBC）=∠ABC=45°； （2）∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCA=45°，即∠BAG=∠BCH=45°， ∵∠HBG=∠BAG=45°，∠AGB=∠BGH， ∴△ABG∽△BHG， 又∵∠GBH=∠BCH=45°，∠BHC=∠GHB， ∴△CHB∽△BHG， ∴△ABG∽△CHB； （3）作BK⊥AC于K． ∵AB=BC=，∠ABC=90°， ∴AC=， ∵BK⊥AC， ∴AK=CK=1， ∴BK=AC=1， ∵CG=， ∴KG=KC-CG=1-=， ∴tan∠HGB=． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义，掌握等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义是集体关键． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共18 分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=(m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D的坐标； （3）当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）一次函数的解析式为y1=x-1；反比例函数的解析式为y2= （2）点D(0，-3)或(0，1) （3）x>4或-2＜x＜0 【解析】 【分析】（1）先求得反比例函数的解析式，根据平移的性质得到点B(4-2a，1-a)，再代入反比例函数的解析式，可求得a，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）利用S△ABD= S△ACD+ S△BCD列式求得CD=2，进一步计算即可求得点D的坐标； （3）根据函数的图象和交点坐标即可求得． 【小问1详解】 解：将A(4，1)代入y2=得：m=41=4， ∴反比例函数的解析式为y2=， ∵将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合， ∴点B(4-2a，1-a)， 把B(4-2a，1-a) 代入y2=得： ∴(4-2a) (1-a) =4， 解得：a=0(舍去)或a=3， ∴点B(-2，-2)， 将A(4，1)，B(-2，-2)代入y1=kx+b得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为y1=x-1； 【小问2详解】 解：由题意得：S△ABD= S△ACD+ S△BCD=CD4+CD2=6， 解得：CD=2， ∵y1=x-1， 当x=0时，y1=-1， ∴点C(0，-1)， ∵CD=2， ∴点D(0，-3)或(0，1)； 【小问3详解】 解：A(4，1)，B(-2，-2)， 当y1>y2时，自变量x的取值范围：x>4或-2＜x＜0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有平移的性质，待定系数法求解析式，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 22. 探究数学问题，我们通常遵循从特殊到一般的原则，关注问题的本质，这是数学学习的一个重要方法． （1）探究：如图①，在正方形中，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且．则 ；（直接写出答案） （2）迁移：矩形中，，，点E，F分别在，上，点G，H分别在，上且，求的值，并写出解答过程； （3）应用：如图③，四边形中，，，，，点M，N分别在边，上，求的值，并写出解答过程． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作，交于点O，过点C作，交的延长线于点Q，根据正方形的性质可得，，，，证明四边形、是平行四边形，可得，，再根据平行线定理可得，利用等量代换可得，证，可得，即可求解； （2）过点C作，交于点W，过点C作，交的延长线于点Q，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形、是平行四边形，可得，，再根据平行线定理可得，利用等量代换可得，证得，可得，即可求解； （3）过点D作，交的延长线于点F，过点A作，连接，根据矩形的性质与判定可得，，，证得，可得，从而可得，证得，可得，，利用勾股定理求得，即，过点A作，交的延长线于点G，根据平行四边形的判定与性质可得，再根据平行线定理和等量代换可得，证得，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：过点C作，交于点O，过点C作，交的延长线于点Q， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵，， ∴四边形、是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：过点C作，交于点W，过点C作，交的延长线于点Q， ∵四边形矩形， ∴，，， ∵，， ∴四边形、是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点D作，交的延长线于点F，过点A作，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，即， 解得，（不符合题意舍去）， ∴， 过点A作，交的延长线于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线定理、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相关定理，正确作出辅助线是解题的关键． 六、解答题（本大题共 12 分） 23. 如图，已知顶点为D的抛物线与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于B点． (1)求该抛物线的解析式及点D坐标； (2)若点Q是该抛物线的对称轴上的一个动点，当AQ＋QB最小时，直接写出直线AQ的函数解析式； (3)若点P为抛物上的一个动点，且点P在x轴上方，过P作PK垂直x轴于点K，是否存在点P使得A,K,P三点形成的三角形与△DBC相似?如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3，；（2）直线的函数解析式为.（3）存在点或，使得点三点围成的三角形与△DBC相似. 【解析】 【分析】（1）把A、C两点坐标代入求出a，c的值即可； （2）由抛物线的对称性找出点B关于对称轴对称点E，连接AE，则AE的长即为AQ+BQ的最小值，运用待定系数法可求出AQ的解析式； （3）先证明△DBC是直角三角形，设，则，再根据或列出比例式，得出关于t的方程，求解即可. 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于A(－1，0)，C(3，0)两点 ∴ 根据题意，把A（-1，0），C（3，0）两点代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵ ∴ （2）当x=0时，y=3， ∴， 则点B 关于对称轴对称点的坐标为（2，3） 连接AE，交抛物线对称轴于Q，则AE即为AQ+QB的最小值， 设AQ的解析式为：y=kx+b, 把A（-1，0），E(2,3)代入得，， 解得， ∴最小时，直线的函数解析式为. （3）过作垂直轴交于点，过作垂直于点，如图， 在中， ∴，是直角三形， ∴, 若点三点围成的三角形与△DBC相似，则或 则或 即或 设，则 得或 得或 解得，或（舍去），或 ∴存在点或，使得点三点围成的三角形与△DBC相似. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用二次函数的对称性结合两点之间线段最短找出点Q的位置；（3）利用相似三角形的判定与性质得出关于t的方程式求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$