精品解析：江苏省射阳中学2025届高三下学期模拟测试3数学试题

2025届高三数学学科模拟测试3 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集为空集，即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：A 2. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得，由此即可求出. 【详解】因为等比数列的前项和， 所以当时，， 所以该等比数列的公比, 所以，解得. 故选：A. 3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线线，线面，面面的位置关系逐项判断即可结论. 【详解】若，则或或或，故A错误； 若，则或，故B错误； 若，在内作，所以，又，所以， 又，所以，所以，故C正确； 若，则或或为异面直线，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数、百分位数、极差的知识求得正确答案. 【详解】中位数是，极差是， 则， ，所以第45百分位数是. 故选：B 6. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知每局比赛甲，乙获胜的概率都是，利用独立事件的概率乘法公式计算，，再结合条件概率公式求解. 【详解】因为甲、乙两人水平相当，所以每局比赛甲，乙获胜的概率都是， 比赛进行了五局，分甲获胜和乙获胜两种情况， 甲获得冠军，可能进行了3局或4局或5局比赛， 则，， ， 所以. 故选：. 7. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 【答案】D 【解析】 【分析】设点坐标为，由已知条件结合向量的坐标运算用表示出，结合可得的关系，从而可求出点的轨迹方程，再逐个分析判断. 【详解】设点的坐标为，因为，动点满足， 所以，得， 因为，所以， 即点的轨迹方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 当时，方程为， 所以点对应的轨迹如图所示，且，, 所以点的轨迹为菱形，所以AC错误， 原点到直线的距离为，所以B错误， 点轨迹所围成的图形面积为，所以D正确. 故选：D 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据赋值法可得，，进而可得，即可判断A，根据函数单调性的定义可判断在上为减函数，即可求解B，代值逐步求解即可判断CD. 【详解】令，，，所以； 令，，则． 令，得，故为偶函数．A错误， 任取，，，则， 则，故在上为减函数． 由已知，可得，故，解得，且．B错误， 若，则，C正确， 若，则，， ，所以，故D错误， 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的三角形式为 B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法逐个分析判断即可. 【详解】复数的三角形式为，故错误； 当，时，， 因为，， 所以，故正确； 当，时，， ，故正确； 当，时，， ， 若为纯虚数，则，则，所以，， 虽然，是偶数，但是偶数还有，的形式的数， 所以“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件，故错误. 故答案为：. 10. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（ ） A. 直接挑战第2关并过关的概率为 B. 连续挑战前两关并过关概率为 C. 若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则 D. 若直接挑战第4关，则过关的概率是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AD：利用古典概型的概率公式求解；对于B：利用独立事件的乘法公式求解；对于C：利用条件概率公式求解. 【详解】对于A：，所以两次点数之和应大于， 点数之和大于的情况有种，抛掷两次基本事件有种 即直接挑战第关并过关的概率为，A正确； 对于B：，挑战第一关通过的概率为， 所以连续挑战前两关并过关的概率为，B错误； 对于C：抛掷三次基本事件有种， 抛掷3次至少出现一个5点的事件共有种，故， 而事件同时发生包含：的1种，的有种，共7种， 故，所以，C正确； 对于D：当时，， 而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况: 含5，5，5，6的有4种， 含5，5，6，6的有6种， 含6，6，6，6的有1种， 含4，6，6，6的有4种， 含5，6，6，6的有4种， 含4，5，6，6的有12种， 含3，6，6，6的有4种 所以，D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 函数的对称中心为 C. ，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形 D. ，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的正负判断A；根据函数的对称性判断B；根据函数的性质判断C；根据导数的几何意义判断D. 【详解】因为，所以， 当时，在上恒成立，即在上单调递增，故A正确； 因为， 所以的对称中心为，故B正确； 由B项可知，函数的对称中心为且也关于对称， 假设与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形， 即与曲线有四个交点，即， 即除去0以外还有四个解，即，所以， 设和与曲线的交点分别为A，C，B，D， 所以，即，无解，假设不成立，故C错误； 设两直线与曲线的切点分别为，， 则，即，所以， ，总存在，使得上式成立， 即，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点是C的判断，解答时要注意结合对称性，采用假设得出矛盾的方法求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 13. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】连接，取的中点，连接， 则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则， 则⊥平面， 因为正四棱台中，，， 故，所以， 设四棱台的高为， 故，解得， 故， 设，则， ， 故，解得， 故半径， 故该棱台外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 14. 已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题结合余弦定理可得，然后由三角形面积公式结合三角函数恒等变换可得，然后通过图形可得范围，最后由与关系可得答案. 【详解】 .又， 则. 又注意到，则. 如图，过C点做AB垂线CE，则，又过B点做AB垂线BD，使， 过C做AB平行线，交DB为F，易得四边形CEBF为矩形，则， 从而，则为等腰三角形，则，则由图结合三角形三边关系可得， 则，则. 因， 则构造函数，因在上单调递减，则. 则，则最小值为. 故答案为： 【点睛】结论点睛：本题涉及的一些常见恒等式： ， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）若3是函数的极小值点，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案. （2）对求导，分，和，讨论的单调性，结合极小值的定义即可得出答案. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 因为曲线在点处与轴相切， 所以，所以， 则，解得：. 【小问2详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，不是的解，不合题意； 若，则， 令，可得：或， 令，可得：， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取的极小值，所以； 若，则， 令，可得：，令，可得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取的极小值，所以，不符合题意； 若，则在上单调递增，无极小值， 综上：. 16. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 因为，，函数， 所以 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 将图象上所有的点向右平移个单位得到， 再将向下平移1个单位得到， 最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到， 即， 由，即，所以，， 解得，， 令可得，令可得， 又，所以， 即在时不等式的解集为. 17. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据几何关系求出的长度，即为的值，再结合离心率求出的值，从而确定椭圆方程 （2）设直线AB的方程，根据几何关系分别求出点关于的坐标表达式，写出，，若二者相等，即可证明O，D，M三点共线 【小问1详解】 因为圆锥的母线与它的轴的夹角为，所以，且，所以直角三角形中，，所以 ，又因为，所以，，故椭圆的标准方程为 【小问2详解】 设， 由题可知直线AB的斜率存在且不为0， 设其方程为，代入椭圆 得： 所以 所以， 由题可知直线的方程为，且，所以 求得：，，所以 故O，D，M三点共线. 18. 在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）应用空间向量法计算异面直线所成角余弦值即可； （3）先设球心坐标为，再应用空间距离列式计算得出，再应用点到平面距离计算求解. 【小问1详解】 在中，因为，满，所以； 因为平面平面，平面平面平，故平面； 又因为平面，所以. 因为是等腰直角三角形，， 所以. 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，以垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，则，且， 则点的坐标为. 又， 则， ， ， ， ， 故异面直线与的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥外接球的球心的坐标为， 则由，可得， 解得，即. 球的半径， 由（1）知，平面，则平面的一个法向量为， 又因为，则球心到平面的距离为 . 故点到平面距离的最大值为. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. （1）求再打2球该局比赛结束的概率； （2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； （3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知甲连续得2分，或乙连续得2分比赛结束，再利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得结果； （2）由题意可知的可能取值为所有正偶数，然后根据题意分别求出相应的概率，表示出期望后，再利用错位相减法可求得结果； （3）设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为，当为奇数时，，当为偶数时，，则可求得甲获胜的概率. 【小问1详解】 平后，设事件“第个球甲得分”，则“第个球乙得分”， 设“再打两球该局比赛结束”，则， 所以. 小问2详解】 的可能取值为所有正偶数， 考虑第个球与第个球，如果这两球均由甲得分或均由乙得分，则比赛结束：如果这两球甲､乙各得1分， 则比赛相当于重新开始；这两球甲､乙各得1分的概率为， 所以 ， ， …… ， …… 所以， 记， 则， 以上两式相减得 ， 所以， 当趋于时，趋于4，所以. 【小问3详解】 设再打个球比赛结束且甲获胜的概率为， 则， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以该局比赛甲获胜的概率 当趋于时，趋于， 所以该局比赛甲获胜的概率为. 【点睛】关键点点睛：此题考查概率的求法，考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，考查等比数列求和公式，考查错位相减求和，第（3）问解题的关键是根据题意分为奇数和为偶数表示出通项公式，考查理解能力和计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三数学学科模拟测试3 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 若等比数列的前项和，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，以下判断正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数在上单调递增，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第45百分位数是（ ） A. 6 B. 4 C. 5 D. 12 6. 某校春季体育运动会上，甲，乙两人进行羽毛球项目决赛，约定“五局三胜制”，即先胜三局者获得冠军.已知甲、乙两人水平相当，记事件表示“甲获得冠军”，事件表示“比赛进行了五局”，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为2 C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为24 8. 已知函数满足，当时，，则（ ） A. 为奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（ ） A. 复数的三角形式为 B. 当，时， C. 当，时， D. 当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件 10. 现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第n关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则（ ） A. 直接挑战第2关并过关的概率为 B. 连续挑战前两关并过关的概率为 C. 若直接挑战第3关，设“三个点数之和等于15”，“至少出现一个5点”，则 D. 若直接挑战第4关，则过关的概率是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，在上单调递增 B. 函数对称中心为 C. ，使得与曲线的公共点中存在四点能连接成正方形 D. ，总存在两条斜率互为相反数的相交直线与曲线都相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，若与夹角是钝角，则实数的取值范围是______． 13. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________． 14. 已知的内角A，B，C对边分别为a，b，c，h是AB边上的高，若，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处与轴相切，求的值； （2）若3是函数极小值点，求的值. 16. 已知向量，，函数. （1）若，且，求的值； （2）将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式. 17. 如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线. 18. 在三棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与的夹角的余弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求到平面距离的最大值. 19. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成平后，甲先发球. （1）求再打2球该局比赛结束的概率； （2）两人又打了个球该局比赛结束，求的数学期望； （3）若将规则改为“打成平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $