精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

方城县第一高级中学2025年春期第一次月考模拟考试 数学试卷 一、单选题 1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 3. 若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为 A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 利用独立性检验方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得. 010 0.05 0.025 0.010 0005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 6. 某学生家长为缴纳该学生上大学时教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 7. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 已知 是项数为 的等差数列，其中 若 则k的最大值是 （ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 二、多选题 9. 已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 可能是等差数列 C. ，，是等比数列 D. 是等比数列 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 若数列是递增数列，则 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为 三、填空题 12. 已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值_________． 13. 已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是______. 14. 数列满足，前12项和为158，则的值为______. 四、解答题 15. 数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 16. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 17. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. （1）求，，并写出与的关系式； （2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 18. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； （2）求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 19. 已知数列的前n项和为，，且， （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 方城县第一高级中学2025年春期第一次月考模拟考试 数学试卷 一、单选题 1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于；  选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大.  选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.  选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大. 综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.  故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 12 B. 16 C. 20 D. 22 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列及前项和的性质即可求解； 【详解】由，可得：， 所以， 又， 故选：D 3. 若等比数列的前项和为，其中，是常数，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用，求出，由为等比数列，有，可得的值. 【详解】很明显，否则为常数，只能是，与是等比数列矛盾， ， 时，； 时，，得； 时，，得， 为等比数列，，即，得， 由，得 故选：D. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合已知条件可得，再结合可求得结果. 【详解】在等比数列中，， 所以， 所以，又， 设公比为q，则， 所以． 故选：B 5. 利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” B. 有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】B 【解析】 【分析】根据，再对照表格中的数据，即可判断 【详解】由于 对照表中数据得出有0.005的几率说明这两个变量之间的关系是不可信的， 即有1−0.005=99.5%的把握说明两个变量之间有关系 故选：B 6. 某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2018年8月20号从银行贷款a元，为还清这笔贷款，该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额，计划恰好在贷款的m年后还清．若银行按年利率为p的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 分析】根据给定条件，利用等比数列列式，再利用等比数列前项和公式求解. 【详解】设每年偿还的金额为x元，则， 则，解得， 所以该学生家长每年的偿还金额是元. 故选：D 7. 已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 8. 已知 是项数为 的等差数列，其中 若 则k的最大值是 （ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】设的公差为，通过条件 ，得，再利用条件得，进而得到不等关系，再解不等式可得答案. 【详解】设的公差为， 由 ，得 ， 得， 当时，恒有，得， 所以， 由得， 所以， 因为，整理得， 可得， 解得. 则k的最大值是17. 故选：C. 二、多选题 9. 已知数列和是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A. 是等比数列 B. 可能是等差数列 C. ，，是等比数列 D. 是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列性质，和等比，等差数列的定义来逐一分析每个选项是否正确. 【详解】对于选项A，设数列的公比为（），则（常数）. 所以是以为首项，为公比的等比数列，选项A正确. 对于选项B，当时，数列是等比数列，公比为， 此时，那么是公差为的等差数列，所以可能是等差数列，选项B正确. 对于选项C，设数列的公比为（）.当,. 因为等比数列的项不能为，所以此时不是等比数列，选项C错误. 对于选项D，设数列的公比为（），数列的公比为（）. 则（常数）， 所以是以为首项，为公比的等比数列，选项D正确. 故选：ABD. 10. 设等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. D. 中最大的是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的性质得到，，再利用等差数列的通项公式求得的范围可判断AC；进而得可判断B；利用可判断D，从而得解. 【详解】对于AC：因为， 且， 所以，，又因为， 所以，解得； 所以等差数列递减数列，故AC错误； 对于B：因为，所以，故C正确； 对于D：因为等差数列是递减数列， 且，，则，， 所以，，故D正确. 故选：BD 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 若数列是递增数列，则 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，通过取，可得，即可求解；对于B，因为，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；选项C，由得，再利用等比数列的前项和公式，即可求解；对于选项D，根据条件可得，即可求解. 【详解】对于选项A，取，则，此时是递增数列，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 则，又，数列是递增数列，则且， 且恒成立，则，所以选项B正确， 对于选项C，当时，， 则，所以选项C正确， 对于选项D，若，由选项B知，即，得到， 所以，即， 则， 所以使得成立的的最大值为10，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知关于x的一组数据： x 1 m 3 4 5 y 0.5 0.6 n 1.3 1.4 根据表中数据得到的线性回归直线方程为，则的值_________． 【答案】0.64 【解析】 【分析】先计算出，代入回归直线方程，得到. 【详解】，， 又题意得在上， 故，故 故答案为：0.64 13. 已知为递减数列，且对于任意正整数n，恒成立，恒成立，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】对于任意正整数n，恒成立，再由,可以构造出一个关于λ的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】∵恒成立，又由，∴恒成立， 即对于任意正整数n恒成立，∴，所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 数列满足，前12项和为158，则的值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】由，推出和，再利用前12项和为158求解 【详解】因为， 所以，，， ， 又，， ， . 故答案为：5 四、解答题 15. 数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）利用裂项相消求和求解即可. 【小问1详解】 依题可得：， 即：， 解得， 所以. 【小问2详解】 证明：设， 则， 所以， 16. 已知数列中，，数列满足. （1）证明是等差数列，并求的通项公式； （2）令；求． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义计算即可； （2）先算出数列的前项和为，根据或分类讨论即可. 【小问1详解】 证明：， 又数列是为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 记的前项和为，则 由，得，即时，时，， ①时，. ②时， 所以. 17. 甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司，每人出资50万元作为启动资金投入生产，到当年年底，资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定从第一年开始，每年年底拿出60万元分红，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为万元. （1）求，，并写出与的关系式； （2）至少经过多少年，公司分红后的剩余资金不低于1 200万元？（年数取整数，参考数据：，） 【答案】（1），， （2）7年 【解析】 【分析】（1）根据题设条件可得. （2）由（1）中的递推关系可得，结合题设条件可得关于的不等式，从而可得至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 【小问1详解】 由题意得，投入生产的启动资金共有万元， ， ， ． 【小问2详解】 由（1）知 ， 而也满足该式，故. 令，所以， 因为：，，即． 所以至少经过7年，公司分红后的剩余资金不低于1200万元. 18. 某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得： （1）根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量与变量之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明； （2）求经验回归方程（结果精确到 0.01 ）； （3）该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了0.8千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. (参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，. 参考值：) 【答案】（1）答案见解析 （2）； （3）答案见解析 【解析】 【分析】(1) 利用相关系数公式直接代入数据求解即可； (2) 利用公式，先求一次项系数，再利用经过样本中心点，可求出，从而可得回归直线方程； (3)利用一次项系数可解释会员平均每周锻炼时长增加2个小时，预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际效果相当，说明具有参考价价. 【小问1详解】 由表可知： 所以= , 因为与的相关系数接近1, 所以与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 由题可知： = ， 所以 【小问3详解】 由(2)可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2个小时， 预测平均体重减少量增加0.84千克，与实际增加值0.8千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少， 或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 19. 已知数列的前n项和为，，且， （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由的关系可判断为等差数列，进而可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由， ， ， ， 即是以2为公差，1为首项的等差数列， ，即， 当时，， 显然，时，上式不成立， 所以． 【小问2详解】 当时，， 当时，， 则， 两式相减得， 即， 化简可得：. 当时，，满足； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$