精品解析：2025届湖南省长沙市田家炳实验中学高三一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得集合，利用交集的运算即可求解. 【详解】， ， 则. 故选：D. 2. 已知，若，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数，利用导数求出最大值即可求出范围. 【详解】令函数在上单调递减，且， 则，即，而，于是， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数是解题的关键. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化， 【详解】由两边同时平方，可得， ，解得. . 故选：C. 4. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，利用正弦定理求出的外接圆的半径，再由勾股定理求出三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案． 【详解】如图， 设的外心为，过作底面的垂线，使，则为三棱锥的外接球的球心， 在中，由3，，7，得， 故，设的外接圆的半径为， 则，， ． 三棱锥外接球的表面积为． 故选：B 5. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果. 【详解】 故选B 6. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形面积减去三角形面积即可求解. 【详解】因为圆的半径为1，劣弧的长为，所以， 则， 所以阴影部分的面积为. 故选：B. 7. 若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为，由，可得，求解可得，进而可求得，可求得数列的前4项的和的值. 【详解】设正项等比数列的公比为， 因为，所以， 解得，所以， 所以，所以， 所以， 所以数列的前4项的和的值为. 故选：A. 8. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立如图平面直角坐标系，利用待定系数法求出抛物线方程，令得，则即为货车高度的最大值. 【详解】以抛物线的顶点为原点，建立如图平面直角坐标系， 设抛物线方程为， 由图可知抛物线过点，代入抛物线方程， 得，解得，所以抛物线方程为. 因为车道宽2米，两车道中间有隔离带，车宽2米， 所以车行驶时，的取值范围为. 当时，， 要使载货最高的货车通过隧道，货车高度的最大值为米. 故选：C 二、多选题（共18分） 9. 已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线PN的倾斜角 C. 若，则直线AB的方程为 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据向量夹角设直线再结合抛物线定义得出焦半径公式即可判断A,设点，分两种情况讨论判断B,求导函数得出直线的斜率即可得出直线方程判断C,先写出切线再联立得出，结合焦半径公式计算最小值判断D. 【详解】由题，则向量的夹角为，故F，A，B三点共线， 设，与C的方程联立得，设， 则，，故， 由抛物线的定义得， 故，，所以A错误； 设，，当时，直线PN倾斜角大于等于， 当时，，所以直线PN的倾斜角，B正确； 记直线AB的斜率为k，令，则，则， 又，所以，所以，又直线AB过点，故直线AB的方程为正确； ，又，所以， 同理，联立解得，即，又， 所以，当时，等号成立，所以的最小值为2，D正确； 故选:BCD. 【点睛】关键点点睛：解题关键点是应用导数求出切线斜率进而得出切线方程，再分别得出直线方程及焦半径的最小值. 10. 把一个三阶魔方看成是棱长为1正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. S的最大值为 D. S的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据定义域求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以，其中, 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故不关于对称，故B错误； 对于CD，， 因，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式. 11. 平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（ ） A. 为偶数时，存在“平均割线” B. 若存在“平均割线”，则唯一 C. 若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线 D. 若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据“平均割线”和“平衡点”的定义来分析每个选项。我们将通过假设存在“平均割线”，设出直线方程，然后与正弦曲线方程联立求解交点，再根据条件判断各个选项的正确性。 【详解】对于A选项,当，时，。 设直线的方程为（）。 联立，即。 令，是连续函数。 当时，。 根据函数的连续性，一定存在使得，即存在交点，所以存在“平均割线”，A选项正确。 对于B选项，设时，。 设直线的方程为（）。 联立，。 对于不同的值，都能找到满足条件的直线，所以不唯一，B选项错误。 对于C选项，设直线的方程为。 联立，设交点，。 因为是线段的中点，根据中点坐标公式，。 又因为，，所以。 设“平衡点”，则，所有“平衡点”满足，所以所有“平衡点”共线，C选项正确。 对于D选项，设直线的方程为。 联立，设交点，。 因为是线段的中点，，。 又因为，，。 设“平衡点”，之间关系比较复杂，并不一定能保证按从小到大顺序排列成等差数列，D选项错误。 故选：AC 三、填空题（共15分） 12. 一组数据，，，的中位数是，且是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平均数和中位数的定义即可得出答案. 【详解】解不等式组得，因为整数， 数据3，6，8，的中位数是，所以． 这组数据的平均数是． 故答案为：. 13. 在2024年8月8日召开的中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾驶､医疗健康､教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件先求，再根据在回归直线上可求，由此可求结论. 【详解】由题意，点在回归直线上，所以， 所以，又，由在回归直线上，得， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，再结合古典概率模型即可求解． 【详解】由题意可得：， ， ， ， 若，则， 从各随机从中选一个，共有种情况； 若， 可分为三类： 都取0，一种情况； 中两个取0，一个取1，一个取，共有， 中两个取1，两个取，共有， 共计19种情况， 所以的概率为：． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 16. 已知函数，． （1）若存在零点，求a的取值范围； （2）若，为的零点，且，证明：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，解不等式即可求解； （2）由零点的定义可得，只需证，令，利用导数证明不等式即可. 【小问1详解】 的定义域为， 令，即，等价于， 设，则（）， 令，可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则的最小值为，， 要使得存在零点，则， 即，得． 【小问2详解】 由为的零点，得， 即，即 两式相减得，即. 要证当时，， 只需证，只需证，， ，． 令，，只需证， ，则在上单调递增， ∴，即可得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的求解策略 形如的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面 （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面，平面 所以， 因为四边形是矩形，所以， 又因为、平面，， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，是的中点，所以平面， 所以平面， 又平面，所以， 由已知得，且平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 由知平面，所以为平面的一个法向量， 又，，设为平面的一个法向量， 则由得取， 则,， 设二面角的大小为， 则 所以二面角的正弦值为. 18. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如下面的图表所示：（单位：分） 班别 平均数 中位数 众数 八（1）班 ______ 80 ______ 八（2）班 85 85 ______ （1）将表填写完整； （2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明； （3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认为选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明．（方差计算公式：） 【答案】（1）表格见解析 （2）八（2）班，说明见解析 （3）八（2）班，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数以及众数的定义求解即可； （2）根据统计图中的数据可以计算两个班的方差，然后比较大小，即可解答本题； （3）在平均数相同的情况下，中位数高或方差小的成绩较好． 【小问1详解】 八（1）班的平均成绩是：（分），众数是80，八（2）班的众数是85； 填写表格如图所示： 班别 平均数 中位数 众数 八（1）班 85 80 80 八（2）班 85 85 85 【小问2详解】 八（2）班的成绩比较稳定，理由： 八（1）班的方差是：， 八（2）班的方差是：， 八（2）班的方差小于八（1）班的方差， 八（2）班成绩比较稳定； 【小问3详解】 八（2）班为优胜班， 因为两个班的平均数一样，八（2）班的中位数高，所以八（2）班为优胜班． 因为两个班的平均数一样，八（2）班的方差小，所以八（2）班为优胜班． 19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. （1）求点，的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得； （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证； （3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得. 【小问1详解】 由题知，所以双曲线， 又过点斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为， 即， 由，解得或， 当时，， 所以，所以； 【小问2详解】 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立， 消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上， 即有，所以， 因为， 则 ， 由（1）知， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列； 【小问3详解】 由（2）知，由， 即， 即， 则， ， 故，， ，， 从而， ， 即，则， 则，， 从而. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问的关键点在于得到后，结合，从而可得与，再利用面积公式计算即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，恒成立，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知三棱锥中，平面，4，3，，7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若正项等比数列满足，则数列的前4项的和的值是（ ） A B. C. D. 8. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知抛物线的焦点为F，A，B，P为抛物线C上的点，，若抛物线C在点A，B处的切线的斜率分别为，且两切线交于点M．N为抛物线C的准线与y轴的交点．则以下结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线PN的倾斜角 C. 若，则直线AB的方程为 D. 的最小值为2 10. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. S的最大值为 D. S的最大值为 11. 平面直角坐标系中，若过点，作斜率不为0的直线，使得与正弦曲线的交点中，存在点，满足是线段的中点，则称是曲线的“平均割线”，为“平衡点”，则对任何一个整数，下列描述正确的是（ ） A. 偶数时，存在“平均割线” B. 若存在“平均割线”，则唯一 C. 若存在“平均割线”，则所有“平衡点”共线 D. 若存在“平均割线”，则所有“平衡点”，中间隔相等，按从小到大顺序排列成等差数列 三、填空题（共15分） 12. 一组数据，，，中位数是，且是满足不等式组的整数，则这组数据的平均数是______． 13. 在2024年8月8日召开中国操作系统产业大会上，国产操作系统银河麒麟发布了首个人工智能版本，该系统通过多项技术创新实现了人工智能与操作系统的深度融合，可广泛应用于自动驾驶､医疗健康､教育等多个领域，标志着中国在自主操作系统领域实现新突破.某新能源车企采用随机调查的方式并统计发现市面上可以实现自动驾驶的新能源汽车上可为乘客提供的功能数目与汽车上所安装的人工智能芯片个数线性相关，且根据样本点求得的回归直线方程为，若在回归直线上，则______. 14. 已知数列，等可能取，0或1，数列满足，且，则的概率为_______． 四、解答题（共77分） 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 16. 已知函数，． （1）若存在零点，求a的取值范围； （2）若，为的零点，且，证明：． 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面 （2）求二面角的正弦值． 18. 某中学开展安全知识竞赛活动，八（1）班、八（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如下面的图表所示：（单位：分） 班别 平均数 中位数 众数 八（1）班 ______ 80 ______ 八（2）班 85 85 ______ （1）将表填写完整； （2）试问哪班的5名选手的复赛成绩更整齐？通过计算说明； （3）复赛后如果要在两班中选出一个优胜班，你认为选哪个班更合适些？并至少列举两条理由说明．（方差计算公式：） 19. 已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. （1）求点，的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$