精品解析：江苏省扬州中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期3月自主学习效果评估 高一数学试卷 注意事项：请将所有答案填写在答题卡上．考试时间为120分钟，满分值为150分． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二分法的原理即可判断即可. 【详解】因为，，且函数图象连续不断， 所以函数在区间内有零点， 所以下一步应计算，， 故选：C. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式即可. 【详解】. 故选：D. 3. 已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法以及数乘的运算，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， . 故选：C. 4. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知，再由向量平行的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由三点共线，得， 又，得，解得. 故选：B 5. 已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算律计算，再根据夹角公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得. 【详解】由，得， 由，得， 两式相加得，，所以可得， 因为，，所以， 所以，可得. 故选：B 7. 定义在实数集R上的函数，满足，当时， ，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，函数是以为周期的周期函数，且该函数为偶函数，作出函数与函数的图象，可知两个函数在区间上都有一个交点，由此可得出结论. 【详解】，所以，函数是以为周期的周期函数， 又，所以，函数是偶函数， ，的图象关于直线对称， 任取、且，则， 所以，，即，所以，函数在区间上为增函数， 令得，作出函数和的图象如图所示： 令得， 由图象可得函数和的图象在每个区间上都有个交点，所以，函数共有个零点． 故选：B． 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据共线定理得到，由基本不等式可得的最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点是线段的中点，所以， 所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. 在和上单调递减 B. 的值域为 C. 的取值范围是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数函数的图象，可得出，，的性质，的性质，判断各选项． 【详解】作出函数的图象，如图，设，则直线与的图象有三个交点， 对A，由图象知A正确， 对B，当时，，B错； 对C，或， 因为，所以，从而，又， 所以，C正确， 对D，由图可知 ，即，D正确， 故选：ACD． 【点睛】 10. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正弦的和差角公式即可判断A，由诱导公式和正弦的两角差的正弦公式可判断B；由正切的两角和公式可判断CD. 【详解】对于A，， 故A错误； 对于B，， 故B正确； 对于C，， 故C正确；     对于D， ，故D错误. 故选：BC. 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D. 【详解】取中点，如图， 因为点O是的重心，所以，故A正确； 因为点O是的垂心，所以， 故，故B错误； 因为，所以， 同理可得，所以，即为外心，故C正确； 如图， 因为 ， 所以， 两式相减可得， 同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以， 即，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及三角形中重心、外心、垂心、内心问题，需要掌握它们的性质，其次需要根据向量的线性运算、数量积运算及数量积的性质与其结合，属于应用比较灵活问题. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数性质即得答案. 【详解】由题意得， 由于，故， 即的值域为， 故答案为： 13. 已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为__________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用求出的值，令，由可得，分析函数的性质作出其图象，将函数恰有5个零点问题转化成与和的图象有5个交点问题，即可求得参数的范围. 【详解】由，得，解得，则 令，由可得：， 解得：，依题意，直线与直线与的图象恰有5个交点. 当时，在上单调递减，在上单调递增，故时，； 当时，可看成关于轴对称得到，故其在上单调递减. 作出函数的图象如图所示. 由图象可知，需使，即的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的零点个数问题，属于难题. 求解函数的零点个数问题，一般有以下方法： （1）直接法：求解方程可得零点个数； （2）零点存在定理法：结合函数的单调性和零点存在定理可判断； （3）两函数交点法：将原函数方程分解成两相等函数，利用两函数图象的交点个数确定. 14. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，先证明点为的重心，易得点为的外心，将用表示，再根据数量积的几何意义结合求出，再根据求出，进而可得出答案. 【详解】取的中点，则， 因为，所以， 所以，又为公共端点，所以三点共线， 所以点在边的中线上，且， 同理点在边的中线上，即点为的重心， 故， 因为， 所以点为的外心，即为为中垂线的交点， 故， 则， 所以， 而，所以， 即， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数量积的几何意义结合求出，是解决本题的关键. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量、满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算性质进行运算即可； （2）根据条件得，利用数量积的运算性质进行运算，化简后解方程即可. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为． 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 化为，解得. 16. 计算下列各值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，结合两角差的正弦公式可得答案； （2）由结合两角差的正切公式可得答案. 【小问1详解】 因则. 又，则， . 则 ； 【小问2详解】 由题 . 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系，根据题中条件求出点、的坐标，然后利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （2）设，其中，求出向量、的坐标，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 解：以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． 【小问2详解】 解：由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 18. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）①，②7 （3）9 【解析】 【分析】（1）根据数量积可求解余弦值，根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解. （2）①根据数量积的坐标运算求解夹角，进而根据同角关系可求解正弦值，进而根据定义即可求解，②直接利用①的结论，即可代入求解得解. （3）直接利用（2）的结论，结合基本不等式即可求解最值. 【小问1详解】 由，可得，则， 由于，因此，其中为的夹角， 故； 【小问2详解】 ①由，，可得， 结合，故， 故， ②由，，可得， 故 【小问3详解】 由,，结合（2）的结论可知： ， 当且仅当，等号成立，结合，故时取到等号， 因此的最小值为9. 19. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数，当时，记的最小值为，求. 【答案】（1） 为偶函数，证明如下： 由题可得的定义域为并且定义域关于原点对称， ， ， 是定义在上的偶函数： （2）不存在，理由如下： ， ， 令， 则可转化为， 当时，， 当时，， 有两个零点， 一个在之间，另一个在之间， 可转化为有两个零点， 其中一个在之间，另一个在之间，则有： 无解 不存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间； （3） 【解析】 【分析】（1）先判断函数的定义域为，再求出，由得为偶函数； （2）先将代入，得，令，利用换元思想将转化为函数，从而将问题转化为求解根的分布问题； （3）先将代入得，令，利用换元思想将转化为函数，因此可将问题转化为动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， ， 令， ， ， 则， 的最小值即为的最小值， ①当时，，在上单调递减， 此时最小值为， ②当时，为二次函数， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述， 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法将复合函数值域问题转化成基本初等函数问题，再利用函数单调性求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬州中学2024-2025学年第二学期3月自主学习效果评估 高一数学试卷 注意事项：请将所有答案填写在答题卡上．考试时间为120分钟，满分值为150分． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 用二分法研究函数的零点时，通过计算得：，，则下一步应计算，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知D是的边BC上的点，且，则向量（ ）. A. B. C. D. 4. 若向量，且A，C，D三点共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，，且，则夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在实数集R上的函数，满足，当时， ，则函数的零点个数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数（其中为自然对数的底数），若实数，，存在并能满足，且，则下列说法正确的有（ ） A. 在和上单调递减 B. 的值域为 C. 的取值范围是 D. 10. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若点O是的重心，则 B. 若点O是的垂心，则 C. 若，则点O是的外心 D. 若O为的外心，H为的垂心，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的值域为__________. 13. 已知函数，满足，若函数恰有5个零点，则实数的范围为__________. 14. 已知点在所在平面内，满足，且，，则边BC的长为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量、满足，，与的夹角为． （1）求； （2）当实数为何值时，． 16. 计算下列各值： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 17. 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． （1）求的值； （2）若为线段上任意一点，求的取值范围． 18. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题： （1）已知向量满足，，，求的值； （2）①若，，用坐标，，，表示； ②在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值. 19. 已知函数. （1）判断的奇偶性并证明； （2）若函数，请判断是否存在实数使得有两个零点，其中一个在之间，另一个在之间，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）若函数，当时，记的最小值为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $