精品解析：北京市东直门中学2024-2025学年高一下学期3月阶段考试数学试题

北京市东直门中学2024-2025学年度第二学期阶段考试 高一数学 考试时间：120分钟 总分150分 班级________ 姓名________ 学号________ 第一部分 一．选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合的交运算求. 【详解】由题设，，而， ∴. 故选：C. 2. 如果，那么下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的性质，对选项逐个分析可得出答案. 【详解】对于选项A，因为，所以，，则，故A错误； 对于选项B，因为，所以，则，故B错误； 对于选项C，因为，所以，则，故C错误； 对于选项D，由选项C知，则，故D正确. 【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了学生的推理能力，属于基础题. 3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 4. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由零点存在性定理，及充分必要条件的判定即可得解. 【详解】因为函数在区间上的图像是连续不断的， 由零点存在性定理，可知由可得函数在区间上有零点， 即由函数在区间上没有零点，可得， 而由推不出函数在区间上没有零点，如，，函数在区间上有零点， 所以“”是“函数在区间上没有零点”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以，故选A. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 6. 已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】非零向量，，满足，且， 对于A，不恒为，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，不恒为，故C错误； 对于D，不恒为，故D错误. 故选：B. 7. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】推出的等价式子，即可判断出结论. 【详解】为钝角三角形. ∴在中，“”是“为钝角三角形”的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查和与差的正切公式、充分性和必要性的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 8. 一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点的纵坐标减. 【详解】如图所示，以点为坐标原点，以水平方向为轴，以所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，则转动的角速度为每分钟， 经过分钟之后，转过的角度为， 所以，在转动的过程中，点的纵坐标满足： 则吊舱距离地面的距离. 故选：B． 【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论. 9. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 26 B. 13 C. 10 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由中点关系可得，利用为的外接圆的圆心，可得，同理可得，即可得出结论． 【详解】由于是边的中点，可得， 是的外接圆的圆心， ， 同理可得， ． 故选：B 10. 已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解. 【详解】设，如图所示： 则， 因为与的夹角为120°， 所以， 因为，且的起点相同， 所以其终点共线，即在直线AB上， 所以当时，最小，最小值为，无最大值， 所以的取值范围为， 故选；A 第二部分 二．填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 求函数的定义域________. 【答案】， 【解析】 【详解】由题意，，所以，解不等式可得，， 所以函数的定义域为，. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模长与向量的数量积之间的关系即可求解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，且，， 所以， 则. 故答案为： 13. 先将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象的左右平移和伸缩，即可得出结果. 【详解】 向右平移，可得， 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得，即 故答案为： 14. 设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量共线定理即可求出，但要注意是反向共线，要舍去同向共线的值. 【详解】用向量共线定理可知存在唯一一个实数，使得， 因为向量，的方向相反，所以， 又因为，， 则， 所以，解得或（舍去）， 故. 故答案为：. 15. 已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，， •0， 要使的最小，只需要 ，此时只需要取 此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正． 比如 则. 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题． 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三．解答题（本题有6小题，共85分） 16. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用同角公式和两角和正弦公式即可求解； (2)利用二倍角公式和两和余弦公式即可求解. 【小问1详解】 由，，结合同角公式可得：， 又因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可求得： 所以. 17. 某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 【答案】（1）；（2）320千瓦时． 【解析】 【分析】（1）根据题意求得y关于x的函数关系式. （2）根据y关于x的函数关系式，求得该户居民该月的用电量. 【详解】（1）由题意得 （2）当时，， 当时，， 当时，. 因为，所以， 则，解得． 即该户居民该月的用电量为320千瓦时． 18. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故，. 所以. 故①式. 故. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）若函数，求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），； （2）最大值，最小值0. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的图象与性质计算参数即可； （2）利用上问结论结合二倍角公式、辅助角公式化简函数式，再结合整体思想，正弦函数的性质计算最值即可. 【小问1详解】 由图象可知该三角函数的周期为， 又，所以， 因为，所以，则， 令，则，所以对称中心为； 【小问2详解】 由上可知 ， 当时，，所以， 所以，所以在区间上的最大值为，最小值为0. 20. 已知函数．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，①在上单调递增，则的最大值为；②的图象与直线的两个相邻交点间的距离为；③的对称轴间的最小距离为． （1）求的解析式； （2）求方程在上所有解的和． （注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，选①，②，③均可得，从而得出，求出的解析式. (2) 由题意可得，则所以，或，由可得出答案. 【详解】（1） 所以， 若选①：由在上单调递增，则的最大值为 所以的，所以 所以 若选②：由的图象与直线的两个相邻交点间的距离为 即方程的两个相邻的实根间的距离为. 即函数与轴两个相邻交点间的距离为 所以的，所以 所以 若选③：由的对称轴间的最小距离为． 所以的，所以 所以 （2）即， 所以，或 即，或 由，所以的取值为0，， 所以. 即方程在上所有解的和为. 21. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）对于的含5个元素的自邻集， 不妨设. 因为对于，都有或，，2，3，4，5， 所以，，或. 对于集合，，，，， 因为，所以，，2，3，4，5， ， 所以. 因为，，或. 所以，， 或， 所以对于任意或，，2，3，4，5， 所以集合也是自邻集.因为当为偶数时，， 所以. 所以对于集合的含5个元素的自邻集， 在上述对应方法下会存在一个不同的含有5个元素的自邻集与其对应. 所以的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数. （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，， 当时，，， 显然. 下面证明：. ①自邻集含有，，这三个元素，记去掉这个自邻集中的元素后的集合为， 因为，，所以仍是自邻集，且集合中的最大元素是， 所以含有，，这三个元素的自邻集的个数为. ②自邻集含有，这两个元素，不含，且不只有，这两个元素， 记自邻集除，之外最大元素为，则， 每个自邻集去掉，这两个元素后，仍为自邻集.此时的自邻集的最大元素为， 可将此时的自邻集分为个； 其中含有最大数为2的集合个数为，含有最大数为3的集合个数为，， 含有最大数为的集合个数为. 则这样的集合共有个. ③自邻集只含有，这两个元素，这样的自邻集只有1个. 综上可得， 所以，故时，得证. 【解析】 【分析】（1）根据自邻集的定义及子集的概念一一写出结果即可； （2）取的一个含5个元素的自邻集，判定 集合，再证明C也是自邻集且，从而得出结论； （3）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，，则当时有，再分类讨论证明即可. 【小问1详解】 由题意可得，的所有自邻集有：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市东直门中学2024-2025学年度第二学期阶段考试 高一数学 考试时间：120分钟 总分150分 班级________ 姓名________ 学号________ 第一部分 一．选择题：（本题有10道小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列不等式中正确的是 A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A. B. y= C. D. 4. 函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在△中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 6. 已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 一观览车的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），巨轮的半径长为，，巨轮逆时针旋转且每分钟转一圈，若点为吊舱的初始位置，经过分钟，该吊舱距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则（ ） A. 26 B. 13 C. 10 D. 5 10. 已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分 二．填空题：（本题有5道小题，每小题5分，共25分） 11. 求函数的定义域________. 12. 已知平面向量，的夹角为，且，，则________． 13. 先将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数的解析式为___________. 14. 设，是两个不共线的非零向量，向量，，若向量，的方向相反，则实数________． 15. 已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 三．解答题（本题有6小题，共85分） 16. 已知，，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 某地居民用电采用阶梯电价，其标准如下：每户每月用电量不超过180千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.6元；每户每月用电量超过180千瓦时，但不超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.65元；每户每月用电量超过350千瓦时的部分，每千瓦时电费是0.9元．某月某户居民交电费y元，已知该户居民该月用电量为x千瓦时． （1）求y关于x的函数关系式； （2）若该户居民该月交电费199元，求该户居民该月的用电量． 18. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 19. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式及对称中心坐标； （2）若函数，求在区间上的最大值和最小值． 20. 已知函数．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，①在上单调递增，则的最大值为；②的图象与直线的两个相邻交点间的距离为；③的对称轴间的最小距离为． （1）求的解析式； （2）求方程在上所有解的和． （注：如果选择多于一条件分别解答，按第一个解答计分） 21. 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称A为自邻集．记集合的所有子集中的自邻集的个数为． （1）直接写出的所有自邻集； （2）若n为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数； （3）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $