四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期第6周（3月）数学周测（A)

天之骄子 立己达人 2025年高一下3月第6周数学周测（A) 一、单选题 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，满足，，，则（    ） A． B． C．65 D．25 6．如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）. A． B．的图象关于点对称 C．在单调递增 D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 8．如图，已知点P是的中线上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是8 三、填空题 9．已知平面向量，，则的取值范围是 ． 10．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则 . . 11．已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 四、解答题 12．已知函数. (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)若，求函数的值域； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 13．建设生态文明是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系. (1)求的表达式： (2)请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一下3月第6周数学周测（A) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B D C ACD BC 1．C 【分析】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【详解】 . 故选：C. 2．A 【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解． 【详解】因为，且， 所以 所以， 所以， 因为，所以， 故选：A． 3．B 【分析】根据余弦型函数的图形与性质可求得，进而根据对恒成立列不等式组，求解的范围，再逐项判断即可. 【详解】根据三角函数的性质可知，函数的最大值为3， 又因为的图象与直线相邻两个交点的距离为， 所以的最小正周期，则，解得， 所以. 由对恒成立，得对恒成立， 所以，， 解得. 结合选项可知，当时，，故B正确. 故选：B. 4．B 【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【详解】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 5．D 【分析】先判断三角形是直角三角形，再结合向量线性运算与数量积运算知识进行计算即可. 【详解】如图所示， 因为在中，满足，，， 所以，即， 所以. 故选：D. 6．C 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 7．ACD 【分析】先根据图象求得的解析式，然后根据对称性、单调性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据图象可知，即， 所以，解得，所以A选项正确， 此时， 将代入得，即， 所以，解得， 又，所以，， B选项，，所以B选项错误. C选项，由得，， 是正弦函数的单调递增区间，所以在单调递增，C选项正确. D选项，将函数的图象向右平移个单位得到 ， 所以D选项正确. 故选：ACD 8．BC 【分析】利用向量的共线定理即可判断A选项；利用基本不等式即可判断B选项；将转化为，利用二次函数的最值即可判断C选项；利用基本不等式的乘“1”法，即可判断D选项. 【详解】对于A，，因为三点共线， 故，故A错误； 对于B，，故，当且仅当时，等号成立， 故B正确； 对于C，，故， 所以，故C正确； 对于D，， 当且仅当即时，等号成立，故D错误. 故选：BC 9．． 【分析】由平方得到，再设，，结合三角函数性质即可求解； 【详解】∵，，∴， 设，，， 则，，， ∵，∴，则， ∴． 故答案为： 10． 【分析】由条件结合投影向量公式可求，根据向量模的性质及数量积运算律求. 【详解】因为在上的投影向量为， 所以，又， 所以，又 ， 所以. 故答案为：，. 11． 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 12．(1)最小正周期为， (2) (3) 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【详解】（1） 即， 最小正周期为，令，解得， 故单调递增区间为. （2）由，，， 所以在区间上的值域为. （3）由，， 令的两个解为， 则，，，， 所以. 13．(1) (2)8小时 【分析】（1）根据三角函数的图像即可求得表达式； （2）根据正弦函数的图像与性质解即可得. 【详解】（1）因为图象上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以， 所以，解得， 将代入解析式，有， 故，解得， 由，故， 所以； （2）由（1）得，，所以， 所以， 解得， 因为，所以， 所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$