精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中星城实验中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

七年级下册第一次数学大练习 一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数是（ ） A. B. C. 3.14 D. 2. 下列车标的设计于与平移有关的是（　　） A. B. C. D. 3. 每年月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题是真命题的是（　　） A 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 相等的两个角是对顶角 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 16的平方根是_____． 12. 比较大小： ________． 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是__________． 14. 已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为_____． 15. 实数，在数轴上的对应点可能是点_____． 16. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是___________． 三．解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17. 计算：． 18. 求下列各式中实数x的值： （1）； （2）． 19. 请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： ，，，与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： ∵（已知） ∴ （ ） 即 又∵， 且， ∴ （ ） ∴（ ） 20. 已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点．将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）请在图中画出三角形． （2）三角形的面积为____________． 22. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 23. 苏果超市用2730元购进A、B两种型号的保温杯共60个，这两种型号的保温杯的进价、标价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价元个 35 65 标价元个 50 100 求这两种型号的保温杯各购进多少个？ 若A型保温杯按标价的9折出售，要使这批保温杯全部售出后超市获得810元的利润，则B型保温杯应按标价的几折出售？ 24. 定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为 ； （2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 25. 如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； （3）如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下册第一次数学大练习 一．选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 3.14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，对选项一一进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A、是无理数，故符合题意； B、是有理数，故不符合题意； C、3.14是有理数，故不符合题意； D、是有理数，故不符合题意． 故选：A 【点睛】本题考查了无理数的定义，解本题的关键在熟练掌握无理数的定义． 2. 下列车标的设计于与平移有关的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平移．根据平移的性质即可得到结论． 【详解】解：观察图形可知D中的图形是平移得到的． 故选：D． 3. 每年月日是中国航天日，年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道距地球最近点米．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 如图，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握“内错角相等两直线平行”成为解题的关键． 利用平行线判定定理逐项判断成为解题的关键． 【详解】A、由可推出，不符合题意； B、可推出，符合题意； C、可推出，不符合题意； D、可推出，不符合题意． 故选B． 5. 在平面直角坐标系中，下列各点是第三象限内的点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限中点的坐标特征，熟练掌握各象限中点的坐标的特征是解题的关键． 根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标和纵坐标均为负数可确定答案． 【详解】解：第三象限内的点的横纵坐标都为负数， 点符合要求． 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，开立方，算术平方根，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 7. 如图，将直尺和的三角尺叠放在一起，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案． 【详解】解：如图， ∴， ∴， 故选：B 8. 下列命题是真命题的是（　　） A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B. 在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行 C. 相等的两个角是对顶角 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 根据平行线的性质、平行线的判定、对顶角的性质、平行公理判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，本选项说法是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，本选项说法是真命题，符合题意； C、相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，本选项说法是假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：B． 9. 在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键． 【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数， 再取立方根，是有理数， 倒回再取的算术平方根为，是无理数， ∴输出的值为， 故选：B． 10. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 故选：A． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 16的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的意义是解题关键．根据平方根的定义计算得出结论． 【详解】解：∵， ∴ 16平方根是 ． 故答案为：． 12. 比较大小： ________． 【答案】＜ 【解析】 【分析】先求出与的差，再利用估算法判断差的大小，即可得解． 本题主要考查了利用作差法比较无理数的大小，掌握估算无理数的大小是解题的关键． 详解】， ， ， ， 即， ． 故答案为：< 13. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是__________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成是解题的关键．根据命题的条件与结论即可改写． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 14. 已知轴，，B在第一象限且，则B点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同确定出点B的横坐标，再分点B在点A的上边和下边两种情况讨论然后结合题目要求象限求解． 【详解】解：∵轴，， ∴点B的横坐标为1， ∵， ∴若点B在点A的上边，则点B的纵坐标为， 若点B在点A的下边，则点B的纵坐标为， ∴，点B的坐标为：(舍去)或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上点的横坐标相同，难点在于要分情况讨论． 15. 实数，在数轴上的对应点可能是点_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算、实数与数轴，熟练掌握无理数的估算是解题关键．根据无理数的估算可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则实数，在数轴上的对应点可能是点， 故答案为：． 16. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，我校体育老师提出将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入体育社团．图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则的度数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．延长交于点F，根据三角形的外角的性质得出，求出，再根据平行线的性质得出答案． 【详解】解：如图2所示：延长交于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三．解答题（17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据算术平方根、有理数的乘方、立方根、绝对值的性质计算，再合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 求下列各式中实数x的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查利用立方根和平方根的性质解方程，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义及运算法则． （1）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据立方根的定义求解； （2）先将方程变形为等于一个常数的形式，再根据平方根的定义求出的值，进而求出的值． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， 或． 19. 请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： ，，，与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： ∵（已知） ∴ （ ） 即 又∵， 且， ∴ （ ） ∴（ ） 【答案】90；垂直的定义；90；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定、余角的性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 即， 又∵（已知）， 且， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：90；垂直的定义；90；；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行． 20. 已知一个数的两个平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值． （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，立方根以及实数的估算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意得到，，，即可得到答案； （2）求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分c为3， 一个数的两个平方根分别是和，的立方根是，是的整数部分， ，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：由（1）可知：，，， ， 的平方根为：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点．将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形，且点A，B，C的对应点分别为D，E，F． （1）请在图中画出三角形． （2）三角形的面积为____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移．解题的关键是掌握平移规则，正确的画出平移后的图形． （1）根据平移规则，画出三角形即可； （2）割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所作； 【小问2详解】 解：． 22. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°． 【解析】 【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明； （2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°． 【详解】（1）∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°. ∵AD∥EF . （2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 23. 苏果超市用2730元购进A、B两种型号的保温杯共60个，这两种型号的保温杯的进价、标价如表所示： 价格类型 A型 B型 进价元个 35 65 标价元个 50 100 求这两种型号的保温杯各购进多少个？ 若A型保温杯按标价的9折出售，要使这批保温杯全部售出后超市获得810元的利润，则B型保温杯应按标价的几折出售？ 【答案】(1)购进A型保温杯39个，B型保温杯21个． (2) B型保温杯按标价八五折出售． 【解析】 【分析】（1）设购进A型保温杯x个，根据A型保温杯的总进价+B型保温杯的总进价=2730，列出方程求解即可； （2）设B型保温杯按标价y折出售，根据A型保温杯的利润+B型保温杯的利润=总利润，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）设购进A型保温杯x个则有 35x+65（60-x）=2730， 解得，x=39， 60-39=21（个） 答：购进A型保温杯39个，B型保温杯21个． （2）设B型保温杯按标价y折出售，则有 39×（0.9×50-35）+21×（×100-65）=810  解得，y=8.5 答：B型保温杯按标价八五折出售． 答：B型保温杯按标价八五折出售． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．理解利润、折扣、进价、标价间关系是解决本题的关键. 24. 定义：若无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： （1）的“共同体区间”为 ； （2）若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； （3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“共同体区间”． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，求出，进而得到，两式相减，得，求出m的算术平方根为，即可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“共同体区间”是． 25. 如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求度数； （3）如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和是，三角形的外角的性质，掌握性质及定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，，进而可得出结论． （2）过点F作，设，，可证，，即可求解． （3）设，，可证出，再证出，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ∴，， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图：过点F作， ∵平分，， ∴设，， ∵，∴， ∵，∴， 即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $