精品解析：山东省济南市第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2025年3月月考 一、单选题 1. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 3. 已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 6. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 8. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 二、多选题 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 方程无解 11. 已知函数是定义在上函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数定义域上有极小值． B. 函数在定义域上单调递增． C. 函数的单调递减区间为． D. 不等式的解集为． 三、填空题 12. 已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为______. 13. 已知函数在处取得极小值10，则值为 ___. 14. 已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示________条不同的直线． 四、解答题 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 16. 有四个数字， （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 17. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数R)． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）求的单调区间． 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． （3）若方程有两个不等正根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月月考 一、单选题 1. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线方程斜率为切点处的导数值,且切点在以及切线上即可求解. 【详解】由点处的切线方程是可得：, 时，,故, , 故选：B 2. 函数的导函数的图象如图所示，则下列判断中正确的 （　　） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 在上单调递减 D. 上单调递增 【答案】C 【解析】 【分析】由的增减性与的正负之间的关系进行判断， 【详解】时，，故在上单调递减， 时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 显然C正确，其他选项错误. 故选：C. 3. 已知函数，若的最小值为m，其中是函数的导函数，则在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由题得 ，则的最小值． ，，函数在处的切线方程是： ，即. 故选：B． 4. 已知在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得在恒成立，转化为最值问题求解 【详解】由可得， 由条件只需，即在上恒成立， 由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为4，只需． 故选：B 5. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】把甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，而后将丙、丁进行插空，利用乘法原理即可得出答案. 【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法， 而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法. 故选：B. 6. 函数的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断出函数的奇偶性，可排除AC，再利用导数得出单调性即可得出结果. 【详解】可得的定义域为关于原点对称，且， 为奇函数，图象关于原点对称，故AC错误； 当时，，故当时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，B正确. 故选：B. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7. 已知，且，，，其中是自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，令，利用导函数可得，再令，利用导函数求单调性即可求解. 【详解】由题意可得，，， 令，则， 因为当时，单调递增， 所以，即， 令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为且， 所以， 故选：A 8. 五一假期，小明和他的同学一行四人决定去看电影，从《功夫熊猫4》、《维和防暴队》、《哥斯拉大战金刚2》这三部电影中，每人任选一部电影，则不同的选择共有（    ） A. 9种 B. 36种 C. 64种 D. 81种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步计数原理求解. 【详解】四人依次选择电影，每人都有3种选择， 则不同的选择共有种. 故选：D. 二、多选题 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误. 【详解】A：，错误； B：，正确； C：，正确； D：，正确． 故选：BCD 10. 已知定义在上的奇函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 方程无解 【答案】BC 【解析】 【分析】利用奇函数及导数的定义，依次分析选项，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，为奇函数，且，则（2），A错误； 对于B，为奇函数，且，则（1），则有（1）（2），B正确； 对于C，由所给的函数的图象，可得，， 则，C正确； 对于D，由C的结论，则必定存在，使得， 即一定有解，D错误； 故选：BC 11. 已知函数是定义在上的函数，是的导函数，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在定义域上有极小值． B. 函数在定义域上单调递增． C. 函数的单调递减区间为． D. 不等式的解集为． 【答案】BC 【解析】 【分析】令并求导，结合已知可得，进而可得，构造并研究单调性判断A、B；构造、分别研究它们的单调性判断C、D. 【详解】令，则，又得：， 由得：， 令得：， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即， 所以单调递增，所以B正确，A不正确； 由且定义域为得：， 令，解得，即的单调递减区间为，故C正确． 的解集等价于的解集， 设，则， 当时，，此时，即在上递减， 所以，即在上成立，故D错误． 故选：BC 【点睛】关键点睛：令，根据已知得，利用导数研究其单调性和极值情况，构造研究单调性，对于D问题转化为判断在上的符号. 三、填空题 12. 已知函数的导函数为，且，，则实数t的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的知识列方程，化简求得的值. 【详解】依题意， 即，解得. 故答案为： 13. 已知函数在处取得极小值10，则的值为 ___. 【答案】 【解析】 【分析】题意说明，，由此可求得的值．然后代入检验1是极小值点． 【详解】，由题意， 解得或， 若，，不是极值点，舍去． 若时，， 当时，，当或时，， 是极大值点，是极小值点，满足题意． ∴． 故答案为：. 14. 已知直线方程，若从0、1、2、3、5、7这六个数中每次取两个不同的数分别作为A、B的值，则可表示________条不同的直线． 【答案】22 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，分情况计算可得答案. 【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线； 当时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线． 由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线． 故答案为：22 四、解答题 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【小问1详解】 函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 【小问2详解】 设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 16. 有四个数字， （1）可以组成多少个四位数？ （2）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？ （3）若将由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列，则第10个四位数是多少？（直接写出答案即可） 【答案】（1）192 （2）10 （3）2130 【解析】 【分析】（1）依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理可得答案； （2）分个位是0、2两种情况计算可得答案； （3）分千位数字是1、2两种情况计算可得答案. 小问1详解】 依次考虑千位、百位、十位、个位的数字，根据分步乘法计数原理， 共有个； 【小问2详解】 当个位是0时，共有个无重复数字的四位偶数； 当个位是2时，千位是1或3，共有个无重复数字的四位偶数， 因此，共有个； 【小问3详解】 当千位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个； 当千位数字是2百位数字是0时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 当千位数字是2百位数字是1时，由这四个数字组成的无重复数字的四位数共有个， 所以由这四个数字组成的无重复数字的四位数从小到大排列， 则第10个四位数是2130． 17. 已知函数在与处都取得极值． （1）求，的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）对求导，根据极值点列方程组求参数即可. （2）由（1）有，进而判断的单调性并确定最值，结合不等式恒成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，，又，，解得，． （2）由，知，即， 当时，，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，为极大值，又，则为在上的最大值， 要使对任意恒成立，则只需，解得或， ∴实数的取值范围为． 18. 已知函数R)． （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)根据切点处的导数等于切线斜率，切点在曲线上可得切线方程； (2)求导，分类讨论可得. 【小问1详解】 当时，，， ，则，所以在处的切线方程为． 【小问2详解】 ，， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令，则，当时，，单调递减； 当时，，单调递增 当时，的单调递增区间为， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 19. 已知函数． （1）求的极值； （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围． （3）若方程有两个不等正根，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值； （2）根据函数在上单调递增，再构造函数即可得出，再求导即可得出最大值求参； （3）把有两个正根得出方程有两个根，构造函数分讨论单调性，结合零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令，得，当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减， 故时函数取到极大值，极大值为，无极小值； 小问2详解】 因为在上单调递增，所以恒成立，所以恒成立， 设，所以，因为，当单调递增； 当单调递增； 当单调递减；所以，所以； 【小问3详解】 由题意与的图象有两个交点，即有两个根， 即方程有两个根， 令， 令， ①若，即， 则在上单调递增，至多有一个零点，不满足题意； ②若在上单调递减， 当时，， 令，得，故当时，， 当时，，令，得， 故当时，， 所以在上存在唯一零点，且， 当时，，当时，， 故时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因，即， 故， 要使得有两个零点，则必有，即， 由于，此时，得； 下证时，有两个零点， 因为，由（1）知恒成立， 故，仅当时取等号， 所以， 故在和上各有一个零点， 综上，当时，有两个零点，即与的图象有两个交点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$