精品解析：广东省潮州市饶平县2024-2025学年上学期期末统考九年级数学试卷

2024-2025学年广东省潮州市饶平县九年级（上） 期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误； B．是中心对称图形，故B正确； C．不是中心对称图形，故C错误； D．不是中心对称图形，故D错误． 故选：B． 2. 把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，，1 B. 3，6，1 C. 3，1，6 D. 3，6， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是（是常数，且），它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是0，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．通过移项，将方程化成一般形式，由此即可得． 【详解】解：把方程化成一般形式为， 则二次项系数为3、一次项系数为、常数项为1， 故选：A． 3. “小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件为（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是正确理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件是随机事件， 故选：． 4. 二次函数的图象的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是 故选：A． 5. 如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A. 50° B. 100° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB，已知∠ACB＝50°，从而求得∠AOB度数. 【详解】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝100°. 故选B． 【点睛】本题考查圆，结合圆周角定理可得∠AOB＝2∠ACB，从而分析求值. 6. 某品牌运动商店销售一种乒乓球拍，原来的销售价格为100元，为了清理库存，连续两次降价后的销售价格是64元，设每次降价的百分率为x，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每次降价的百分率为x，根据原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 7. 若扇形的半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：， 故选：C． 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可. 【详解】∵， 解得：， 故选：D． 9. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，可推出结果． 本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O逆时针旋转后得到，， ，， ， 故选：B． 10. 抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，根据抛物线的大致图象，以及开口方向，对称轴，与y轴的交点，与x轴的交点逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：二次函数的大致图象， 二次函数的图象开口向下， ， 故A选项错误，不符合题意； 抛物线与y轴的交点位于x轴下方， ， 故B选项错误，不符合题意； 抛物线的顶点坐标为， ， ， 即， 故C选项正确，符合题意； 抛物线与x轴与两个不同的交点， 有两个不相等的实数根， ， 故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比，黑球个数除以总个数即可算得黑球的概率． 【详解】解：根据题意，布袋中装有个球，其中个黑球， 则摸出的球是黑球的概率是． 故答案为： 12. 已知m是方程的一个实数根，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得：把代入一元二次方程中得：，然后进行计算即可解答． 本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ， 故答案为： 13. 把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图像的平移，解题关键是熟练掌握函数图像平移的规律：左加右减，上加下减．根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的分析式为，即． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，与相交于点E，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据含角的直角三角形的性质得出的长，再根据将绕点B逆时针旋转得到，得出，，推出，即可推出结果． 【详解】解：在中，，，， ∴， 将绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，已知线段，动点C满足，则的面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，圆心为点O，连接、、，则，故，作于点F，于点E，则，由，求得，所以，由，得，所以，则的面积的最大值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点O，连接、、，则， ，， ， ， 作于点F，于点E，则，， ， ， ， ， ， ， ， ，且， ， 的面积的最大值为， 故答案为： 【点睛】此题重点考查三角形的外接圆与外心、圆周角定理、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 16. 解方程:． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 原方程有两个不相等的实数根， ∴，． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于原点O的对称图形并写出点，，的坐标； （2）的面积为______． 【答案】（1）图见解析，，， （2）4 【解析】 【分析】根据中心对称的性质作图即可． 利用三角形的面积公式计算即可． 本题考查作图-旋转变换、三角形的面积，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 由图可得，，， 【小问2详解】 解：的面积为 故答案为： 18. 如图，在中，，平分． （1）请按下列要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画圆． （2）在（1）中所作的图形中，求证：是的切线． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）①分别以为圆心，以大于的长度为半径作弧，分别交于两点，作直线并交于点；②以点为圆心，以长为半径画圆即可； （2）首先证明，进而可得，即，可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所做的图形； 【小问2详解】 由（1）作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． 【点睛】本题主要考查了尺规作图—作垂线、作圆，切线的判定、垂直平分线的性质、平行线的性质等知识，根据题意正确作出图形是解题关键． 19. 如图，两个可自由转动的转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． （1）用列表法或画树状图求小王获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 【答案】（1） （2）不公平，规则见解析 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可； 修改使双方获胜的概率相等即可． 本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：根据题意，列表如下： 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 一共有6种等可能结果，其中两个数的积为2的倍数有4种结果， 所以，积为2的倍数， 因此小王获胜的概率是 【小问2详解】 解：不公平， 游戏规则修改为：两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相加， 如果和为2的倍数，则小王获胜：否则，小张获胜答案不唯一 20. 如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 【答案】（1）能，理由见解析 （2）AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 【解析】 【分析】先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园． 【小问2详解】 解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 21. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），喷出水最大射程为 （2）点B的坐标为 （3） 【解析】 【分析】易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； 设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得的分析式是解决本题的关键；易错点是根据二次函数的平移规律得到的分析式；难点是判断出洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带时，点D或点F对应的位置． 【小问1详解】 解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数分析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 喷出水的最大射程为． 【小问2详解】 解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，舍去， ， 把代入，得： 解得：，舍去， 点B的坐标为． 【小问3详解】 解：要使洒水车行驶时喷出水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，不合题意，舍去， ， ， 的取值范围是 22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析；的半径为 【解析】 【分析】由垂径定理得出，则是的垂直平分线，则可得出结论； ① 证明是等腰三角形，由等腰三角形的性质得出结论； ②连接，则，求出设的半径为r，则，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 证明：点F为弦的中点， ， 是的垂直平分线， 【小问2详解】 ① 证明：点F为弦的中点， ， ， 又是的直径， ， ， ， ， 由得， 是等腰三角形， 点F为的中点， 平分， ， ②解：连接，则，如图所示， ， ， 由①得， ， ， ， ， ， 设的半径为r，则， ， ， ， 整理得， 解得，不符合题意，舍去， 的半径为 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题的关键． 23. 综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当，t的值为___________； （3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）1 （3） （4）存在，，， 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点，然后代入二次函数求解即可； （2）根据点，确定点，，得出，，根据题意代入求解即可； （3）点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值，连接，根据（2）中代入确定面积最大值，然后由等面积法求解即可； （4）分两种情况分析：当时，当时，分别利用全等三角形的判定和性质及二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点A的坐标为； 当时，，解得；， ∴点B的坐标为． 将，代入， 得：， 解得：， ∴这个抛物线的解析式为； 【小问2详解】 点，则点，， ∴，， ∵， ∴， 解得：或（与点B重合，舍去）， 故答案为：1； 【小问3详解】 点N到直线的距离为d，求d的最大值即为求面积的最大值， 连接，如图所示： ∵点B的坐标为． ∴，， 由（2）得， ∴， ∴面积最大为：8， ∵， ∴，解得：； 【小问4详解】 存在， ，，，理由如下： 当时，如图所示：， 过点N作轴，过点B作轴交延长线于点C， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，（负值舍去） ∴； 当时，如图所示：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴或， ∵点Q在x轴下方， ∴，； 综上可得：，，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，线段及面积问题，特殊三角形的问题及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省潮州市饶平县九年级（上） 期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A. 3，，1 B. 3，6，1 C. 3，1，6 D. 3，6， 3. “小伟掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为”，这个事件为（ ） A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 确定事件 D. 随机事件 4. 二次函数的图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，则∠AOB的度数为（　　） A. 50° B. 100° C. 120° D. 150° 6. 某品牌运动商店销售一种乒乓球拍，原来的销售价格为100元，为了清理库存，连续两次降价后的销售价格是64元，设每次降价的百分率为x，根据题意列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若扇形半径为4，圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A B. C. D. 9. 如图，将绕点O逆时针旋转后得到，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点坐标为，抛物线与y轴的交点位于x轴下方．以下结论正确的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个不透明的口袋中装有除颜色外完全相同的个红球、个白球、个黑球，则任意摸出一个球是黑球的概率为______． 12. 已知m是方程的一个实数根，则______． 13. 把抛物线向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 14. 如图，在中，，，，将绕点B逆时针旋转得到，与相交于点E，则的长为______． 15. 如图，已知线段，动点C满足，则的面积的最大值为______． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 16. 解方程:． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于原点O的对称图形并写出点，，的坐标； （2）面积为______． 18. 如图，在中，，平分． （1）请按下列要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①作线段的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画圆． （2）在（1）中所作的图形中，求证：是的切线． 19. 如图，两个可自由转动转盘，转盘A被分成3等份，转盘B被分成2等份，转盘A上的数字分别是1，2，3，转盘B上的数字分别是1，小王与小张两名同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：同时用力转动A，B两个转盘．两个转盘停止后，将指针所指区域的两数相乘（当指针落在两个扇形的交线上时，当作指向右边的扇形），如果积为2的倍数，则小王获胜；否则，小张获胜． （1）用列表法或画树状图求小王获胜的概率； （2）你认为这个游戏对双方公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你改变游戏规则，使这个游戏对双方都公平． 20. 如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 21. 综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 （1）求外边缘抛物线的函数分析式，并求喷出水的最大射程； （2）请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点F为弦的中点，连接且延长交于点C，连接，． （1）求证：； （2）如图2，延长，相交于点 求证：； 若，，求的半径． 23. 综合与探究 如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B，点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线解析式； （2）当，t的值为___________； （3）若点N到直线的距离为d，求d的最大值； （4）在y轴上是否存在点Q，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$