精品解析：江苏省无锡市宜兴市和桥镇第二中学2024-2025学年九年级下学期3月阶段性练习数学试题

2024—2025学年第二学期阶段性作业诊断 九年级数学 练习时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是( ) A. 打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件 B. 天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨 C. 两组数据平均数相同，则方差大的更稳定 D. 数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的两个根分别为，，则的值为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 7. 若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的边长为12，，点E为边的中点．点M从点E出发，以每秒个单位的速度向点B运动，点N同时从点A出发，以每秒2个单位的速度向点D运动，连接，过点C作于点H．当点M到达点B时，点N也停止运动，则点H的运动路径长是（ ） A. 6 B. 12 C. π D. π 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分） 11. 因式分解：______． 12. 无锡和江阴之间的市域轨道交通号线一期工程线路全长约，数据30400用科学记数法表示为________． 13. 分式方程的解为______． 14. 写出一个函数的表达式，满足图象经过点，则这个函数的表达式为_____． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积是________． 16. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是____________． 17. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则______． 18. 已知抛物线，交y轴交于点，则____________，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为____________． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 解方程或不等式 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 22. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因．今年春晚和元宵晚会上，无锡形式多样的非物质文化遗产大放异彩，某学校的同学们看后都很感兴趣．为了让大家深入了解，学校决定邀请三个国家级非物质文化遗产A（惠山泥人）、B（无锡精微绣）、C（无锡留青竹刻）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：惠山泥人传承人的概率是______； （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（无锡精微绣）和C（无锡留青竹刻）传承人的概率． 23. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 24. 如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 25. 如图，在中， （1）尺规作图：请在图中作，使得经过点B，同时与相切于点C；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若．则所作的的面积是____． 26. 这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图像如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个． （1）当时，求y与x的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 27. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； （3）如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期阶段性作业诊断 九年级数学 练习时间：120分钟 满分分值：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根．根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：B． 2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列不等式即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 因此自变量x的取值范围是． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形；将一个图形绕某点旋转，能与本身重合的图形，这样的图形称为中心对称图形． 【详解】解：因为图A不是中心对称图形，但是轴对称图形，所以A不符合题意； 因为图B不是中心对称图形，是轴对称图形，所以B不符合题意； 因为图C是中心对称图形，也是轴对称图形，所以C符合题意； 因为图D不是中心对称图形，是轴对称图形，所以D不符合题意． 故选：C． 4. 下列说法正确的是( ) A. 打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件 B. 天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨 C. 两组数据平均数相同，则方差大的更稳定 D. 数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的意义、概率的意义、方差的意义、中位数和众数的概念逐一进行判断即可. 【详解】A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A选项错误； B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B选项错误； C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C选项错误； D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确， 故选D． 【点睛】本题考查了概率、方差、众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识的概念、意义以及求解方法是解题的关键. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的计算，根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：C． 6. 已知方程的两个根分别为，，则的值为（ ） A. 7 B. 5 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别为、， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【详解】解：正多边形的边数为：， 则这个多边形是正八边形， 所以该正多边形的内角和为． 故选：C． 8. 在矩形中，沿对角线将矩形折叠，顶点C落在点E处，，，在上取点F，使得，并延长交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和折叠的性质得，利用勾股定理求出，证明得，代入数据求出，进而可求出． 【详解】解∶如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，． 由折叠的性质得，，，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，反比例函数的性质等知识，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故选：D． 10. 如图，菱形的边长为12，，点E为边的中点．点M从点E出发，以每秒个单位的速度向点B运动，点N同时从点A出发，以每秒2个单位的速度向点D运动，连接，过点C作于点H．当点M到达点B时，点N也停止运动，则点H的运动路径长是（ ） A. 6 B. 12 C. π D. π 【答案】D 【解析】 【分析】连接、交于，连接交于，取的中点，连接、、， 与交于，由菱形的性质结合相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理及三角函数求出，可得点与重合，由圆的定义得点在以为圆心，的长为半径的圆上，点的运动轨迹为，由圆周角定理及弧长公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于，连接交于，取的中点，连接、、， 与交于， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， 点M以每秒个单位的速度运动，点N以每秒2个单位的速度运动， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 点与重合， ， ， 点在以为圆心，的长为半径的圆上， 点的运动轨迹为， ， ， ； 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，圆的定义，圆周角定理，弧长公式等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，圆的定义，圆周角定理，弧长公式，能找出动点的轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 12. 无锡和江阴之间的市域轨道交通号线一期工程线路全长约，数据30400用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：，即 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为， 故答案为：． 14. 写出一个函数的表达式，满足图象经过点，则这个函数的表达式为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了求函数解析式，根据函数的特征进行求解即可． 【详解】解：函数的图象经过点， 函数的表达式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 15. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，关键是利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 圆锥的侧面积底面周长母线长． 【详解】解：底面圆的半径为，则底面周长，侧面面积． 故答案为： 16. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为，已知，，则左视图的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱，高为，设，由求出的值，进而确定，即可解答． 【详解】解：过点A作，由简图可知，这个几何体是三棱柱，高为，设， ， ∵，， 解得， ∴， 则， ∴左视图长方形的长为2，宽为1，所以左视图的面积是2． 故答案为：． 17. 如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交于E，分别以点C，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交的延长线于点F，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到，平分，则，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明，所以． 【详解】解：由作法得，平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定． 18. 已知抛物线，交y轴交于点，则____________，抛物线与x轴正半轴交于点B，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线垂直平分时，点M的坐标为____________． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】先把代入，即可求得；得抛物线解析式为，得到抛物线对称轴为直线和点，再用待定系数法求得直线的解析式为，设，直线与对称轴的交于点H，与交于G，证明是等腰直角三角形，从而可求得，再根据直线垂直平分，得G点是的中点，利用中点坐标公式求得，然后代入抛物线解析式得，求解即可． 【详解】解：把代入，得 ，解得：， ∴， ∴抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，直线与对称轴的交于点H，与交于G， 令时，则， ∴， ， ，当直线垂直平分时， 是等腰直角三角形， ∵，， ∴点G的纵坐标为， ∵点G过直线， ∴，解得， 则， 直线垂直平分， 点是的中点， ， ∵点N为抛物线上， ， 解得或． 故答案为：；或． 【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，线段垂直平分线性质，等腰直角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式的运算及零指数幂，负整数指数幂的运算法则，熟知相关的运算法则是解题的关键． （1）先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，计算出各数，再计算加减即可； （2）先根据平方差公式及完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式， ， 20. 解方程或不等式 （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程和一元一次不等式组． （1）利用因式分解法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，和相交于点O，，，． （1）求证：； （2）连接，若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的性质，三角形的外角的性质． （1）先证明，，再利用证明即可； （2）先求得，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因．今年春晚和元宵晚会上，无锡形式多样的非物质文化遗产大放异彩，某学校的同学们看后都很感兴趣．为了让大家深入了解，学校决定邀请三个国家级非物质文化遗产A（惠山泥人）、B（无锡精微绣）、C（无锡留青竹刻）的传承人进校园宣讲，每项邀请1名传承人． （1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中A：惠山泥人传承人的概率是______； （2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B（无锡精微绣）和C（无锡留青竹刻）传承人的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用概率公式求概率，画树状图求概率， 对于（1），根据概率公式计算即可； 对于（2），画树状图得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：一共有三个国家级非物质文化遗产的传承人，选择一个的概率是. 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图为： 由图可知共有种等可能的结果，其中符合题意的结果共有2种， ． 23. 为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党知识测试，该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息： a．八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； b．八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是： 80 、81、 82 、83、 84、 84、84、84、84、85、85、 86、86.5、87、88、89.5 c．七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 87.2 85 91 八年级 85.3 m 90 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中m的值为 ； （2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在 年级排名更靠前，理由是 ； （3）若各年级建党知识测试成绩前90名将参加线上建党知识竞赛，预估八年级分数至少达到 分的学生才能入选； （4）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数． 【答案】（1）83.5 （2）①八，②该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； （3）88 （4）八年级达到优秀的人数为120人． 【解析】 【分析】(1)根据八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分，即可求出m的值； (2)根据八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分，可得该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数，进而可得结论； (3)根据题意可得在抽取的50名学生中，必须有15人参加线上建党知识竞赛，观察直方图成绩是90至100分的有13人，进而可作出判断； (4)用样本的优秀率估计总体的优秀率，根据总人数和优秀率求得优秀人数． 【小问1详解】 八年级共有50名学生，第25， 26名学生的成绩为83分，84分， ∴m= = 83.5(分)； 故答案为： 83.5； 【小问2详解】 在八年级排名更靠前，理由如下： ∵八年级的中位数是83.5分，七年级的中位数是85分， ∴该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数， ∴在八年级排名更靠前； 故答案为：八，该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数； 【小问3详解】 根据题意得： ×50=15(人) 则在抽取的50名学生中，必须有15人参加建党知识竞赛， 所以至少达到88分； 故答案为： 88； 【小问4详解】 因为成绩85分及以上有20人， 所以300= 120(人)， 所以八年级达到优秀的人数为120人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键． 24. 如图，AB是的直径，AC是弦，D是的中点，CD与AB交于点E．F是AB延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若，，求AG的长． 【答案】（1） 方法一：如图1，连接OC，OD． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． 方法二：如图2，连接OC，BC．设． ∵AB是的直径，D是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵AB是的直径， ∴． ∴． ∴，即． ∴． ∴CF为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：如图1，连接OC，OD．由，，可得，由是的直径，D是的中点，，进而可得，即可证明CF为的切线； 方法二：如图2，连接OC，BC．设．同方法一证明，即可证明CF为的切线； （2）方法一：如图3，过G作，垂足为H．设的半径为r，则．在Rt△OCF中，勾股定理求得，证明，得出，根据，求得，进而求得，根据勾股定理即可求得； 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得．，D是的中点，可得，根据勾股定理即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方法一：如图3，过G作，垂足为H． 设的半径为r，则． 在Rt△OCF中，， 解之得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴，． ∴． ∴． 方法二：如图4，连接AD．由方法一，得． ∵AB是的直径， ∴． ∵，D是的中点， ∴． ∵G为BD中点， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 25. 如图，在中， （1）尺规作图：请在图中作，使得经过点B，同时与相切于点C；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若．则所作的的面积是____． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2）． 【解析】 【分析】（1）过点作的垂线，作的垂直平分线，与的垂线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； （2）连接，过点作于点，则，根据已知条件和解直角三角形求出，再证明四边形是矩形，得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：过点作的垂线，作的垂直平分线，与的垂线交于点，以点为圆心，的长为半径作圆，则即为所求； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点，则，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ 相切于点C， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，切线的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，圆的面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 26. 这个冬天，“哈尔滨”爆火的背后，除了回忆青春的热情高涨，还有网友们的推波助澜，更离不开文旅产品的推动．某文创公司生产甲、乙两种产品共360个，其中甲产品的制作费y（元）与产量x（个）的函数图像如图中实线所示，乙产品的制作费始终为15元/个． （1）当时，求y与x的函数表达式； （2）若甲产品的生产数量不少于30个，且乙产品的生产数量不低于甲产品生产数量的3倍，如何分配甲，乙两产品的生产数量，才能使该文创公司的总制作费最低？ 【答案】（1）； （2）甲产品生产90个，乙产品生产270个，才能使文创公司的制作费最少，最少5625元． 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数表达式为，把 ，代入，得到方程组，解方程组，即得； （2）设总制作费为元，根据，，得到，当时，，W随x的增大而增大，得到时，最小值为5850元；当时，，对称轴为直线，与关于对称，当时，W随x的增大而减小，时，最小值为5625元，即得． 【小问1详解】 设y与x的函数表达式为， 把 ，代入， 得，， ， ∴； 【小问2详解】 设总制作费为元， 由题知：，， ∴ ①当时， ， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，最小，最小为（元）， ②当时， ， ∴对称轴为直线， ∵， 与关于对称，当时，W随x的增大而减小， ∴时，取最小值， 最小值为（元）， ∵， ∴当时，取最小值，最小为5625元， 此时， 答：甲产品生产90个，乙产品生产270个，才能使文创公司的制作费最少，最少5625元． 【点睛】本题主要考查了函数的应用．熟练掌握函数图象信息，待定系数法求函数解析式，总价与单价和数量的关系，一次函数的增减性，二次函数的对称性和增减性，是解答本题的关键． 27. 如图，抛物线交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）坐标分别为，，交y轴于点C． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，过y轴上点D作的垂线，交线段于点E，交抛物线于点F，当时，请求出点F的坐标； （3）如图2，点H的坐标是，点Q为x轴上一动点，点在抛物线上，把沿翻折，使点P刚好落在x轴上，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴的垂线交于， 交轴于，得出，根据三角函数求出，设，，求得，，，，其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去； （3）分两种情况讨论：如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：将，代入表达式得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 过点作轴的垂线交于， 交轴于， ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴直线：， 设，， ∴或， ∴或， 解得：，，，， ∴或或或 其中和两点所对应的点不在线段上，所以舍去， ∴点的坐标为或 ； 【小问3详解】 分两种情况讨论： ①如图所示，当点位于轴负半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点，则四边形为矩形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 由折叠可知：，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； ②如图所示，当点位于轴正半轴时，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点， 由得： ，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用． 28. 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转90°，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形． （1）如图1，连接，求的度数和的值； （2）如图2，当点在射线上时，求线段的长； （3）如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，，进而根据正切函数得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，证明，根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）过点作于点，由矩形和矩形可得，，，证明，进而得出，设，则，根据，得出，求出，进而可得出答案； （3）连接，先证明是等边三角形，，得出， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到，进而求出，，，得出，可得当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【小问1详解】 解：∵矩形中，，， ∴，，， ∴， ∴， 由矩形和矩形可得，， ∴，即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如答案图1，过点作于点， 由矩形和矩形可得，， ， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如答案图2，连接， ∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， 将绕点顺时针旋转120°，与重合，得到， ∴，，， ∴， ∴当点，，三点共线时，的值最小，此时为． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $