精品解析：辽宁省盘锦市双台子区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期双台子区九年级期末统考数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查判别式与根的关系，能够熟练计算判别式并判断根的情况是解题关键．根据判别式的值确定根的情况即可． 【详解】解：， 有两个不相等的实数根， 故选：． 2. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 【答案】B 【解析】 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 3. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等． 问方(面)圆径各若干? ”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少? 设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据正方形与圆的面积公式求得总面积，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设正方形田的边长为x，则圆的半径等于，则所列方程可以为， ， 故选：C． 4. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个有编号的小正方体后，余下几何体的左视图不会改变，则移走编号为（ ）的小正方体． A. ①或③ B. ②或④ C. ③或④ D. ②、③、④、⑤中的任何一个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，据左视图是从左边看得到的图形，可得答案． 【详解】解：单独移开②、③、④、⑤中的任何一个， 从左边看得到的图形可得：     故选：D． 5. 若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求出二次函数的对称轴以及开口方向，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可． 【详解】解：∵ ∴二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ∵到3的距离为4，2到3的距离为1，4.5到3的距离为1.5， ∴a、b、c的大小关系. 故选：D． 6. 有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到计算正确卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、简单概率计算等，先根据整式的运算法则判断出计算正确卡片的张数，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：，计算正确； ，计算错误； ，计算正确； ； 综上可知，4张卡片中计算正确的卡片有2张， 因此抽到计算正确卡片的概率是， 故选B． 7. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ） A. 150N B. 90N C. 75N D. 60N 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 8. 如图，的半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ） A. 的大小 B. 的长度 C. 的长度 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理即可判断A；过点O作于点D，根据垂径定理得到，求出，，进而可判断B；根据弧长公式即可求出的长度，进而可判断C；根据现有条件求出不能求出的面积，进而得到答案． 【详解】∵ ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点O作于点D ∵的半径是， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； ∵， ∴，故C不符合题意； ∵，但点C的位置不固定，即点C到的距离不固定 ∴的面积不能根据现有条件求出，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了圆周角定理，弧长公式，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③：④（常数）．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ，故①错误； 对称轴是直线， ， 整理得，故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，，故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即，故④正确； 综上所述，正确的有2个． 故选：C． 10. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 由作法得：垂直平分，，再由线段垂直平分线的性质，可得，可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再证得，设，则，根据，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分，， ∴，，故A选项正确，不符合题意； ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在锐角中，若，则的余弦值是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键．先根据非负数的性质得出，，由特殊角的三角函数值得出及的度数，再由三角形内角和定理得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：， ，， ，， ，为锐角， ，， ， 的余弦值是． 故答案为：． 12. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 13. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 根据物体回落到地面，即，求解即可． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍），， 因此物体经过落回地面． 故答案为：． 14. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则阴影部分的面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、扇形面积公式，根据圆周角定理，勾股定理求出的长是解题的关键． 先根据圆周角定理可得是等腰直角三角形，从而可得，再根据勾股定理可得的长，最后根据阴影部分的面积等于半圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在等腰中，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 15. 如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，比例的性质，过点D作，交于点H，利用相似三角形的判定与性质得，设，则，由已知条件求得，，再利用相似三角形的判定与性质和比例的性质解答即可得出结论． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案：． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值的混合运算． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】解：（1） ∴， ∵， ∴， 解得； （2） ． 17. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）0.1，16，0.4； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键； （1）先求出总人数，再求出b的值，进而a和c的值； （2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可； （3）画出树状图，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ，， 故答案为：0.1，16，0.4； 【小问2详解】 （人）， 答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种， 所以恰好选到一名女生和一名男生的概率= 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为：，一次函数解析式为： （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． 【小问2详解】 在一次函数中，令，则， ， ； 【小问3详解】 根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 19. 在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理，先根据在Rt中，，，且结合勾股定理列式计算得，，运用线段的和差关系得，然后根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于点． 在Rt中，，， 则设， ∴， 则， ∴， 解得（负值已舍去） ，， ，， ， ． 20. 在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由的平分线交于点，得，进而得到，即，根据的等边对等角得到，进而即可证明； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等得到，即可求出，然后利用勾股定理求出半径长． 【小问1详解】 证明：在中，以为直径作，与交于点，的平分线交于点，交于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 为直径， 切线； 【小问2详解】 解：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， ， ， 半径为． 【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键． 21. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）4元 （2）售价为70元时，最大利润为4000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润=单件利润×销售量,列出二次函数解析式． （1）设销售单价提高x元，根据题意由总利润每件利润销量，列出方程求解即可；（2）设销售利润为M元，求得顶点式函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 小问1详解】 解：设T恤的销售单价提高x元，依题意得： ， 解得：或， ∵要尽可能减少库存， ∴不合题意，舍去． ∴T恤的销售单价应提高4元， 【小问2详解】 设利润为M元，由题意得： ， ， ∴当时，元， ∴销售单价：（元）， ∴当服装店将销售单价定为70元时，得到最大利润是4000元． 22. 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为_____； 【拓展应用】 （2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）2；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可； （2）由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点G，由平移可知，，，即可判定，有，即可求得； （3）由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵，， ∴，， 在中，，即，解得， 则， 故答案为：2； （2）如图： 由（1）得：，， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即，， 连接，，并延长交于点G， 由平移可知，，， ，，， ∴ ∴ ∴， （3）解：由折叠得，由旋转得， 当点D，，三点共线时，设和交于点H，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 当点D，，三点共线时，过点作交延长线于点G，如图， 则四边形为矩形， 那么，，， 在中，， 故的长或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用． 23. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，或或 【解析】 【分析】（1）根据定义，确定c值，再建立方程组求解即可． （2）把点代入解析式，确定，根据定义建立方程求解即可． （3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设与对称轴交于点G，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于的绝对值方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， 当时，， 解得：， ∴抛物线极限分割线与这条抛物线的交点坐标为和； 故答案为：和； （2）把点代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线与轴的交点为， 当时，， 解得：或， ∴点的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点，， ∴， ∵垂直平分 ∴， ∴， 解得：， ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，， 当时， ∴点； ②存在， 如图，设交对称轴于点H， 由（2）得：，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的极限分割线为， ∵直线垂直平分， ∴直线， ∴点B直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线， ∵， ∴点P到直线的距离为， ∴点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或或． 【点睛】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期双台子区九年级期末统考数学试卷 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ） A. ①和② B. ②和③ C. ①和④ D. ②和④ 3. 我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等． 问方(面)圆径各若干? ”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少? 设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，移走一个有编号的小正方体后，余下几何体的左视图不会改变，则移走编号为（ ）的小正方体． A. ①或③ B. ②或④ C. ③或④ D. ②、③、④、⑤中的任何一个 5. 若二次函数的图象经过三点，则a、b、c 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到计算正确卡片的概率是（ ） A. B. C. D. 1 7. 某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（ ） A. 150N B. 90N C. 75N D. 60N 8. 如图，半径是，，则下列各个量不能根据现有条件求出的是（ ） A. 的大小 B. 的长度 C. 的长度 D. 的面积 9. 如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③：④（常数）．其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，在中，，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线分别交于点F，G．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，．则下列说法错误的是（ ） A. B. C D. 二．填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 在锐角中，若，则的余弦值是______． 12. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为_____． 13. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为．根据物理学规律，物体经过______秒落回地面．（结果精确到） 14. 如图，为半圆的直径，为半圆上一点，且，连接，以为圆心，长为半径画弧交于点，若，则阴影部分的面积为_____（结果保留）． 15. 如图，点、分别位于边、上，与交于点．已知，，则_____． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：． 17. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 19. 在日常生活中我们经常会便用到订书机，如图是装订机底座，是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆的点固定，点从向处滑动，压柄可绕着转轴旋转．已知，．当托板与压柄夹角时，如图，点从点滑动了，求连接杆的长度．（结果保留根号）（参考数据：，，） 20. 在中，以为直径作，与交于点，连接，的平分线交于点，交于，连接，若，． （1）求证：为的切线； （2）若，求的半径长． 21. 某服装店以每件50元的价格购进一批T恤，如果以每件60元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元． （1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3640元，并且尽可能减少库存，问T恤销售单价应提高多少元？ （2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 22. 综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图1，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为_____； 【拓展应用】 （2）如图2，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图3，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 23. 定义：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点坐标为，那么我们把经过点且平行于轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为_____． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与轴交于点，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为，请用含的代数式表示点的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为，直线垂直平分，垂足为，交该抛物线的对称轴于点． ①当时，求点的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点到直线的距离与点到直线的距离相等的的值？若存在，直接写出的值：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$