精品解析：福建省福州市第一中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试卷

福州一中2024—2025学年九年级下 数学适应性练习（2） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 是6的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 平方根 【答案】A 【解析】 【分析】-6+6=0，根据相反数的定义，-6是6的相反数． 【详解】选项B，-6+6=0，则-6是6的相反数，符合题意； 选项B，6的绝对值是6，不符合题意； 选项C，6的倒数是 ，不符合题意； 选项D，6的平方根是 ，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查相反数的定义，除了熟练掌握相反数的定义外，对于各选项中涉及的绝对值、倒数、平方根等概念也要清楚． 2. 下列图形既是旋转图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 水（化学式为），是由氢﹑氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．水分子的半径约是，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．根据科学记数法的定义解题即可． 【详解】解：依题意得：． 故选A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣a）•a2＝a3 B. 2a﹣a＝1 C. （﹣2）0＝1 D. 3-2＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用单项式乘以单项式以及合并同类项法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A、（﹣a）•a2＝﹣a3，故此选项错误； B、2a﹣a＝a，故此选项错误； C、（﹣2）0＝1，正确； D、3-2＝，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式乘法，合并同类项，零指数幂和负指数幂，准确分析判断是解题的关键． 5. 如图，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义，从左边看到的图形是左视图，看得到线用实线表示，看不到的线用虚线表示，即可判断． 【详解】解：该几何体的左视图为 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，解题的关键是明确左视图是从几何体的左边观察得到的图形． 6. 如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由P点所在的位置确定点P的取值范围，即可求出点P表示的可能数值． 【详解】解：设点P表示的实数为x，由数轴可知，， ∴符合题意的数为． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，利用了数形结合的思想． 7. 如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（ ） A. 36 B. 18 C. 32 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F， ∴，， ∵， ∴的周长， 故选：A． 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，根据两种酒共用30钱，共2斗等量关系列出方程组即可． 【详解】设优质酒为x斗，劣质酒为y斗，由题意，则有 ， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键． 9. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为(　　) A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接BE，得出∠ABE＝90°，在△ACO中，由垂径定理和勾股定理得出AO的值，进而求得BE的值，根据勾股定理，即可求出CE的长． 【详解】连接BE， ∵AE是直径， ∴∠ABE=90°． ∵半径OD⊥弦AB， ∴∠ACO=90°，ACAB． ∵AB=4， ∴AC=2． 设AO=x，则CO=x﹣1． 在Rt△ACO中， 由勾股定理，得x2﹣(x﹣1)2=4， 解得：x=2.5， ∴AE=5． 在Rt△ABE中， 由勾股定理，得BE=3． 在Rt△BCE中， 由勾股定理，得CE． 故选：B． 【点睛】本题考查垂径定理的应用、勾股定理的应用、圆周角定理的应用，解题的关键是求出圆的半径AO的长． 10. 二次函数（）的图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．由二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．可得，则，由或，故①不符合题意；由顶点坐标为：，即，可得过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意；当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线．可得抛物线与轴的另一个交点为：；把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线（）；再结合函数图像可得关于的不等式的解集为；故③符合题意；当，实数时，，，如图，可得点，中点与对称轴的距离较近，可得．故④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：二次函数（）的图像与轴交于点， 对称轴为直线． ， ，则， ∵或，故①不符合题意； 对称轴为直线． 顶点坐标为：，即， 过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；故②符合题意； 当，二次函数（）的图像与轴交于点，对称轴为直线． 抛物线与轴的另一个交点为：； 把抛物线（）向左平移1个单位长度可得抛物线 （）； 如图， 而的解集为：， 的解集为：， 即关于的不等式的解集为；故③符合题意； 当，实数时，，如图， 点，中点与对称轴的距离较近， ．故④符合题意； 故选：B． 二、填空题 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法；直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在黄色区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】用黄色区域的个数除以所有区域的个数的和即可求得答案． 【详解】解：∵共分成了6部分，其中黄色区域有2部分， ∴指针落在黄色区域的概率是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式，利用概率=符合题意数据与总数的比值，求出是解题关键． 13. 已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，以及三角形中位线性质，首先根据菱形的性质可得再根据平行线的性质和等角对等边，证明E为的中点再有直角三角形斜边上中线的性质，得到，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ∴， 由菱形性质可知， ∴， ∴， ∴， ∴同理，， ∴， 为的中点， 是的中位线， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点B作BD⊥AC于D．利用勾股定理求出AB即可解决问题． 【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D． ∵AB＝＝5， 在Rt△ABD中，cos∠BAC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 15. 泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长为x，进而得到，，，进而得到，利用勾股定理得到，解得． 【详解】解：连接，，过O点作于M点，交于N点，设正方形边长x， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， 故正方形边长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质，垂径定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16. 如图，是的内接三角形，，，将绕点A逆时针旋转后得到（点B，C的对应点分别为D，E）．当与相切时，恰好所在的直线也与相切，若的半径为3，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先画出图形，设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于，由，的半径为3，可得，，，再由旋转可得，，由切线长定理可得，，，，得到，，再证明，求出，再在中利用勾股定理求即可． 【详解】解：设所在的直线也与的切点为，连接，，，，连接过的直径，连接，连接交于，过作于， ∵，的半径为3， ∴，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转后得到， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵当与相切时，恰好所在的直线也与相切， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， 由图可得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及切线长定理，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点． 三、解答题 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，解一元二次方程，掌握零次幂，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值的计算，因式分解法求一元二次方程的根的方法是解题的关键．（1）先计算零次幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算计算即可求解；（2）运用因式分解法求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）， 移项，得， 因式分解得，， 解得，． 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB． 求证：AB＝AC． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】证明：∵BD＝CE，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB， ∴△BCE≌△CBD ∴∠ACB＝∠ABC ∴AB＝AC． 19. 化简：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键；根据分式的加减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的添加确定的值，代入计算得到答案． 【详解】解：， ，，且， 当时，原式； 当时，原式． 20. 濮阳市教育局为了解初二学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了我市某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天； （3）请你估计这个学校初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少（结果保留整数）？ 【答案】（1）见解析 （2）； （3）4 【解析】 【分析】（1）先根据2天的人数及其所占百分比可得总人数，再算出a的值，再用总人数乘以对应百分比分别求得5天的人数即可补全图形； （2）根据众数和中位数的定义求解可得； （3）根据加权平均数和样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：一个学期参加综合实践活动的天数为5天的人数占总人数的百分比为： ， 本次调查的总人数为：（人） 一个学期参加综合实践活动的天数为5天的人数为： （人）， 补全频数分布直方图，如图所示： 【小问2详解】 众数是4天，中位数为：＝4天． 故答案为4；4． 【小问3详解】 估计该市初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是：2×15%+3×20%+4×30%+5×20%+6×10%+7×5%＝4.05≈4（天）． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ （2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克 （2）超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）根据题意，先设出甲、乙两种水果的单价，然后根据超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； （2）根据题意，可以写出利润和购买甲种水果数量的函数关系式，然后根据甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍，可以得到甲种水果数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值． 【小问1详解】 解：设甲种水果的进价是x元/千克，则乙种水果的进价为元/千克， 由题意得：， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：甲种水果的进价是10元/千克，乙种水果的进价为25元/千克； 【小问2详解】 解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元， 由题意可得：， ∵， ∴w随a的减小而增大， ∵甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍， ∴， 解得， ∴当时，w取得最大值， 此时， ， 答：超市第二次购进甲种水果75千克，乙种水果25千克时获得最大利润，最大利润是425元． 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2经过点A（m,-2），将点A向右平移7个单位长度，得到点B，抛物线的顶点为C. （1）求m的值和点B的坐标； （2）求点C的坐标（用含n的代数式表示）； （3）若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求n的取值范围. 【答案】（1）m=－4，B（3，-2）；（2）C（2，1-4n）；（3）n≤或n=或n＞1. 【解析】 【分析】（1）根据直线 y=x+2 经过点 A（m,-2）可求点A的坐标，根据平移的性质可求点B的坐标； （2）将二次函数解析式用配方法变形为顶点式即可求出C点坐标； （3）结合图形，分三种情况：①n＞0；②n＜0，③抛物线的顶点在线段BC上；进行讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵直线 y=x+2 经过点 A（m,-2）， ∴m+2=-2， ∴m=-4， ∵将点 A（-4，-2） 向右平移7个单位长度，得到点B， ∴B点坐标为（3，-2） （2）， ∴ ∴ ∴ ∴抛物线的顶点为C为（2，1-4n） （3）又（2）可知抛物线对称轴为x=2， 顶点C为（2，1-4n），点（3，1-3n）、（-4，1+32n） 当n＜0时，抛物线顶点C为（2，1-4n）、（3，1-3n），在B在抛物线下方，右侧无交点， ∴A在抛物线上方，即：1+32n≤-2， ∴n≤ 当n＞0时，若抛物线顶点在AB上，如图： 即1-4n=-2， n=， 当n＞0时，若抛物线顶点在AB下方，而点B在抛物线下方，点A在抛物线下方， 即：， ∴ n＞1 故当n≤或n=或n＞1时，若抛物线与线段AB只有一个公共点， 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是待定系数法求抛物线解析式．数形结合求抛物线与抛物线交点是解题难点． 23. 已知：如图，及外任意一点． （1）尺规作图：求作过点的的切线（保留作图痕迹）； （2），是的切线，连接，，，并延长与的延长线交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了过圆外一点作圆的切线的作法，切线的性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质和勾股定理及相似三角形判定与性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识； （1）根据题意作图即可； （2）先证明，得出，，再证明求出，进而求出，即可求出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，直线，即为圆的切线； ； 【小问2详解】 设与交于点， 由题意得，即为的切线， ，， ， ， ， ，， 在中，，， ， ，， ， ，即， ， 在中，， ， ， ， ． 24. 阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”． 这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等． 从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数． （1）根据材料规律，请直接写出的展开式； （2）根据材料规律，如果将看成，直接写出展开式（结果化简）；若，求的值； （3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值． 【答案】（1）； （2），=1或9； （3）或 【解析】 【分析】（1）依据规律进行计算即可； （2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解； （3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值． 【详解】解：（1）； （2） ∵ ∴，即，可得， ∵，可得 当时，= 当时，= （3）∵ 整理得到 ∵ 设，，， 则 ，解得 ∴ ∴ ∴当时，； 当时，； ∴或 【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数． 25. 如图，在中，，是边的中线，，交于点M，过点M作交的平行线于点F，交于点N． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若，求的值． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）由“等腰三角形三线合一”的性质可得，再根据平行线的判定可得．又由，可得四边形是平行四边形，则可得． （2）先证，则可得．又由，可得．再证，则可得，即可得． （3）先证，则可得．再证，则可得．设，，则，，则可得，求出的值即可． 【小问1详解】 ∵在中，，是边的中线， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， ， ， ， ∴平分． 【小问3详解】 和中， ， ， ， 又， ， 又，， ， ． 设，， 则，， ， 得， ， ， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了“等腰三角形三线合一”的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大．熟练掌握以上知识，利用设未知数法及整体思想求的值是解题的关键． 26. 如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． （1）当点P位于中点时，则________； （2）如图1，当时：求点P到的距离； （3）如图2，若点P为线段中点时，求此时的长度； （4）若，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）点P到的距离为； （3） （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理即可求解； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）先求得，推出，再利用弧长公式即可求解； （4）连接，作于点，作于点，求得，，由勾股定理求得的长，利用等积法求得的长，再分两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直径互相垂直， ∴， 当点P位于中点时， ， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离为； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴是的直径， 若点P线段中点时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时的长度； 【小问4详解】 解：若，连接，作于点，作于点， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， 由， 得， 在中，， 当点在上时， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式，圆周角定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，求解二次函数的对称轴； （1）直接利用对称轴公式求解对称轴即可； （2）设点关于对称轴的对称点为，可得，再分与分析求解即可. 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为：． 【小问2详解】 解：点，在抛物线上． 设点关于对称轴的对称点为， 则． ∴．    ∴． ①若，则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴，不符合题意． （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴． ②若，则当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． （i）当时， ∵对于，，都有， ∴． ∴． ∴． ∴； （ii）当时， ∵对于，，都有， ∴，即． ∴． ∴．不符合题意舍去； 综上所述，a的取值范围是或． 28. （1）解不等式，并求出它的正整数解． （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），1，2，3；（2），数轴表示见解析 【解析】 【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，然后系数化1，即可求解； （2）先分别解出两个不等式，即可求解． 【详解】解：（1） 去括号，得：， 移项合并同类项，得： ， 系数化1，得： ， 所以出它的正整数解为1，2，3； （2）， 解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， 所以不等式组的解集为：， 如图，把它的解集在数轴上表示出来： ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式和解一元一次不等式组的基本步骤是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州一中2024—2025学年九年级下 数学适应性练习（2） 一、单选题（每小题4分，共40分） 1. 是6的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 平方根 2. 下列图形既是旋转图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 水（化学式为），是由氢﹑氧两种元素组成的无机物，在常温常压下为无色无味的透明液体，被称为人类生命的源泉．水分子的半径约是，将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣a）•a2＝a3 B. 2a﹣a＝1 C. （﹣2）0＝1 D. 3-2＝﹣ 5. 如图，该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（ ） A. 36 B. 18 C. 32 D. 不能确定 8. 《九章算术》中有这样一道题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？其意思为：1斗优质酒价值50钱，1斗劣质酒价值10钱．用30钱恰好买得优质酒和劣质酒共2斗，问优质酒和劣质酒各能买得多少斗？设买优质酒x斗，劣质酒y斗，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=4，CD=1，则EC的长为(　　) A B. C. D. 4 10. 二次函数（）图像与轴交于点，与轴的交点为，对称轴为直线．下列四个结论：①；②过点平行于轴的直线与抛物线有唯一的公共点；③若，关于的不等式的解集为；④若，点，在该抛物线上，当实数时，．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ③④ D. ②④ 二、填空题 11. 因式分解______． 12. 如图，将转盘六等分，分别涂上红、黄、绿三种颜色，则指针落在黄色区域概率是______． 13. 已知，如图，菱形中，对角线相交于点O，交于点E，，则的长为______． 14. 如图，在6x6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是_____． 15. 泰兴古城形制独特，状如西瓜，故俗称西瓜城．据《泰兴县志》记载，泰兴古城有桥梁54座，最钜者朝阳桥、阜成桥、文明桥、析津桥，因直通四城门，故称之为四门大桥．小明同学根据古籍自行设计了一幅简易的泰兴城县志全图．为城墙，城区为正方形，其内接于，四门大桥区为正方形、正方形、正方形、正方形，点在上，在正方形边上．若正方形边长为，则正方形的边长为________．（用含的代数式表示） 16. 如图，是的内接三角形，，，将绕点A逆时针旋转后得到（点B，C的对应点分别为D，E）．当与相切时，恰好所在的直线也与相切，若的半径为3，则的长为______． 三、解答题 17 （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，BD＝CE，∠DBC＝∠ECB． 求证：AB＝AC． 19. 化简：，并从的范围内选取一个合适的的整数值代入求值． 20. 濮阳市教育局为了解初二学生每学期参加综合实践活动情况，随机抽样调查了我市某校初二学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）在这次抽样调查中，众数是 天，中位数是 天； （3）请你估计这个学校初二学生每学期参加综合实践活动的平均天数约是多少（结果保留整数）？ 21. 招远市某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有机水果．某超市从该示范园第一次用500元购进甲种水果，500元购进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的2.5倍，超市所进甲种水果比所进乙种水果多30千克． （1）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ （2）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲，乙两种有机水果共100千克，其中甲种水果的质量不少于乙种水果质量的3倍．若甲种水果的售价为14元/千克，乙种水果的售价为30元/千克，超市第二次购进两种有机水果各多少千克时获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2经过点A（m,-2），将点A向右平移7个单位长度，得到点B，抛物线的顶点为C. （1）求m的值和点B的坐标； （2）求点C的坐标（用含n的代数式表示）； （3）若抛物线与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，求n的取值范围. 23. 已知：如图，及外任意一点． （1）尺规作图：求作过点的的切线（保留作图痕迹）； （2），是的切线，连接，，，并延长与的延长线交于点，若，，求的长． 24. 阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”． 这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等． 从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数． （1）根据材料规律，请直接写出的展开式； （2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值； （3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值． 25. 如图，在中，，是边的中线，，交于点M，过点M作交的平行线于点F，交于点N． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若，求的值． 26. 如图，半径为5，直径互相垂直，点P为上一点，连接，过点C作垂线交于点M，连接，设直线与直线相交于点Q． （1）当点P位于中点时，则________； （2）如图1，当时：求点P到的距离； （3）如图2，若点P为线段中点时，求此时的长度； （4）若，直接写出的长． 27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）已知点，在抛物线上．对于，都有，求的取值范围． 28. （1）解不等式，并求出它的正整数解． （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$